17.5: Подвійний маятник

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 17,4: Подвійний торсіонний маятник
- 17.6: Лінійна триатомна молекула

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Це ще одна подібна проблема, хоча замість того, щоб припускати закон Гука, ми припустимо, що кути малі ( $\sin \theta \approx \theta , \cos \theta \approx 1 - \frac{1}{2} \theta^2$ ). Для наочності малюнка, однак, я намалював великі кути на малюнку XVIII.4.

альт

Оскільки я збираюся використовувати лагранжеві рівняння руху, я не відзначив у силах і прискореннях; скоріше, я відзначив у швидкостях. Я сподіваюся, що дві складові швидкості $m_{2}$ , яку я позначив, є зрозумілими; швидкість $m_{2}$ задається $v^2_{2} = l^2_{1}\dot{\theta}^2_{1} + l^2_{2}\dot{\theta}^2_{2} + 2 l_{1}l_{2}\dot{\theta}_1 \dot{\theta}_2 \cos(\theta_2- \theta_1)$ . Кінетична і потенційна енергія

\ [Т =\ гідророзриву {1} {2} m_1l^2_1\ точка {\ тета} ^2_1 +\ гідророзриву {1} m_1
[l^2_1\ точка {\ тета} ^2_1 + l^2_2\ точка {\ тета} ^2_2 + 2l_1l_2\ точка {\ тета} _1\ точка {\ тета} _2\ cos (\ тета_2 -\ тета_1)],\ етикетка {17.5.1}\]

$V = constant - m_1gl_1 \cos \theta_1 - m_2g(l_1\cos \theta_1 + l_2 \cos \theta_2). \label{17.5.2}$

Якщо ми зараз зробимо малий кут наближення, вони стануть

$T = \frac{1}{2} m_1l^2_1 \dot{\theta}^2_1 + \frac{1}{2} m_2(l_1 \dot{\theta}_1 + l_2 \dot{\theta}_2)^2 \label{17.5.3}$

$V = contant + \frac{1}{2}m_1gl_1\theta^2_1 + \frac{1}{2}m_1g(l_1\theta^2_1 + l_2\theta^2_2) - m_1gl_1 - m_2gl_2. \label{17.5.4}$

Застосовуйте рівняння лагранжа по черзі до $\theta_1$ і $\theta_2$ :

$(m_1 + m_2)l^2_1\ddot{\theta}_1 + m_2l_1l_2\ddot{\theta} = -(m_1 + m_2)gl_1 \theta_1 \label{17.5.5}$

$m_2l_1l_2 \ddot{\theta}_1 + m_2l^2_2 \ddot{\theta}_2 = -m_2gl_2\theta_2. \label{17.5.6}$

Шукайте рішення у вигляді $\dot{\theta}_1 = - \omega \theta_1$ і $\dot{\theta}_2 = - \omega^2 \theta_2$ .

Тоді

$(m_1 + m_2)(l_2 \omega^2 -g)\theta_1 + m_2l_1l_2 \omega^2 \theta_2 = 0 \label{17.5.7}$

$l_1 \omega^2\theta_1 + (l_2\omega^2 - g)\theta_2 =0. \label{17.5.8}$

Будь-який з них дає коефіцієнт зміщення $\theta_2/\theta_1$ . Прирівнявши два вирази для співвідношення $\theta_2/\theta_1$ , або поставивши детермінант коефіцієнтів до нуля, дає наступне рівняння для частот нормальних режимів:

$m_1l_1l_2\omega^4 - (m_1+m_2)g(l_1+l_2)\omega^2 + (m_1+m_2)g^2 = 0. \label{17.5.9}$

Як і в попередніх прикладах, є повільний режим в фазі, і швидкий позафазовий режим.

Наприклад, припустимо $m_1$ = 0,01 кг, $m_2$ = 0,02 кг, $l_1$ = 0,3 м, $l_2$ = 0,6 м, $g$ = 9,8 м с ⁻².

Потім $0.0018\omega^4 - 0.02446\omega^2 = 0$ . Повільний $\omega$ розв'язок = 3,441 рад с ⁻¹ ( $P$ = 1,826 с), а швидкий розв'язок $\omega$ = 11,626 рад с ⁻¹ ( $P$ =0,540 с). Якщо поставити перше з них (повільне рішення) в будь-якому з рівнянь 17.5.7 або 8 (або обидва, як перевірка на помилки), ми отримаємо коефіцієнт зміщення $\theta_2 / \theta_1$ = 1.319, що є режимом фази. Якщо поставити друге (швидке рішення) в будь-якому рівнянні, то отримаємо $\theta_2 / \theta_1$ = −0,5689, що є позафазовим режимом. Якби ви почали з $\theta_2 / \theta_1$ = 1.319 і відпустили, маятник розгойдувався б у повільному режимі у фазі. Якби ви починали з $\theta_2 / \theta_1$ = −0.5689 і відпустили, маятник буде коливатися у швидкому позафазовому режимі. В іншому випадку рух буде лінійною комбінацією нормальних режимів, причому частка кожного визначається початковими умовами, як у прикладі в розділі 17.3.