17,9: вібраційна струна

Last updated
Save as PDF

Page ID: 76310

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Цілком можливо, що три режими вібрації трьох мас у Розділі 17.8 нагадали вам про фундаментальні та перші дві гармонічні коливання розтягнутої струни - і це цілком правильно, що це сталося. Якби ви уявляли собі десять мас, прикріплених до розтягнутої струни, і провести такий же аналіз, ви б знайшли десять нормальних режимів, з яких один був би цілком схожий на основний режим розтягнутої струни, а решта нагадувала б вам про перші дев'ять гармонік. Ви можете продовжувати той самий аналіз, але з дуже великою кількістю мас, і врешті-решт ви аналізуєте вібрації безперервної важкої струни. Ми робимо це зараз, і ми припускаємо, що у нас є важка, підтягнута\( \mu \) струна маси на одиницю довжини, і під напругою\( F \).

альт

Я показую на малюнку XVII.9 частину довжини\( \delta x \) вібруючого каната, представлену\(A_0B_0\) в її рівноважному положенні і АВ в зміщеному положенні. Канат робить кут\(\psi \) А з горизонтальним на А і кут В з горизонтальним в\(\psi\) Б. Натяг в мотузці є\(F\). Вертикальне рівняння руху дорівнює

\[ F(\sin \psi_B - \sin \psi_A ) = \mu\delta x\dfrac{\partial^2y}{\partial t^2} . \label{17.9.1} \]

Якщо кути маленькі, то, значить\( \sin \psi \cong \frac{\partial y }{\partial x }\), вираз в дужках є\( \frac{\partial ^2 y }{\partial x^2 }\delta x \). Рівняння руху, отже,

\[ c^2 \dfrac{\partial ^2 y}{\partial x^2} = \frac{ \partial^2 y}{\partial t ^2} \label{17.9.2a} \]

де

\[c = \sqrt{\frac{T}{\mu}} \label{17.9.2b} \]

Як можна переконатися підміною, загальне рішення цього має вигляд

\[ y = f (x-ct) + g(x + ct) \label{17.9.3} \]

Це являє собою функцію, яка може рухатися в будь-якому напрямку вздовж мотузки зі швидкістю,\( c\) заданою рівнянням\(\ref{17.9.2b}\). Якщо порушення буде періодичним порушенням, то хвиля буде рухатися по мотузці з такою швидкістю. Подальший аналіз хвиль у мотузках і струн, як правило, робиться в розділах, пов'язаних з хвилевим рухом. Цей розділ, однак, принаймні встановлює швидкість, з якою порушення (періодичне чи інше) рухається уздовж натягнутої міцної або мотузки.