17,9: вібраційна струна

Цілком можливо, що три режими вібрації трьох мас у Розділі 17.8 нагадали вам про фундаментальні та перші дві гармонічні коливання розтягнутої струни - і це цілком правильно, що це сталося. Якби ви уявляли собі десять мас, прикріплених до розтягнутої струни, і провести такий же аналіз, ви б знайшли десять нормальних режимів, з яких один був би цілком схожий на основний режим розтягнутої струни, а решта нагадувала б вам про перші дев'ять гармонік. Ви можете продовжувати той самий аналіз, але з дуже великою кількістю мас, і врешті-решт ви аналізуєте вібрації безперервної важкої струни. Ми робимо це зараз, і ми припускаємо, що у нас є важка, підтягнута$\mu$ струна маси на одиницю довжини, і під напругою$F$.

Я показую на малюнку XVII.9 частину довжини$\delta x$ вібруючого каната, представлену$A_0B_0$ в її рівноважному положенні і АВ в зміщеному положенні. Канат робить кут$\psi$ А з горизонтальним на А і кут В з горизонтальним в$\psi$ Б. Натяг в мотузці є$F$. Вертикальне рівняння руху дорівнює

$$F(\sin \psi_B - \sin \psi_A ) = \mu\delta x\dfrac{\partial^2y}{\partial t^2} . \label{17.9.1}$$

Якщо кути маленькі, то, значить$\sin \psi \cong \frac{\partial y }{\partial x }$, вираз в дужках є$\frac{\partial ^2 y }{\partial x^2 }\delta x$. Рівняння руху, отже,

$$c^2 \dfrac{\partial ^2 y}{\partial x^2} = \frac{ \partial^2 y}{\partial t ^2} \label{17.9.2a}$$

де

$$c = \sqrt{\frac{T}{\mu}} \label{17.9.2b}$$

Як можна переконатися підміною, загальне рішення цього має вигляд

$$y = f (x-ct) + g(x + ct) \label{17.9.3}$$

Це являє собою функцію, яка може рухатися в будь-якому напрямку вздовж мотузки зі швидкістю,$c$ заданою рівнянням$\ref{17.9.2b}$. Якщо порушення буде періодичним порушенням, то хвиля буде рухатися по мотузці з такою швидкістю. Подальший аналіз хвиль у мотузках і струн, як правило, робиться в розділах, пов'язаних з хвилевим рухом. Цей розділ, однак, принаймні встановлює швидкість, з якою порушення (періодичне чи інше) рухається уздовж натягнутої міцної або мотузки.