3.3: Вектори

Використання векторів у фізиці

З останнього розділу ми маємо три важливі ідеї щодо векторів:

1. вектори можуть існувати в будь-якій\(P\) точці простору,
2. вектори мають напрямок і величину, і
3. будь-які два вектори, які мають однаковий напрямок і величину, рівні незалежно від того, де в просторі вони розташовані.

Коли ми застосовуємо вектори до фізичних величин, приємно тримати в задній частині нашого розуму всі ці формальні властивості. Однак, з точки зору фізика, ми зацікавлені у представленні фізичних величин, таких як переміщення, швидкість, прискорення, сила, імпульс та імпульс, як вектори. Ми не можемо додати силу до швидкості або відняти імпульс від сили. Ми завжди повинні розуміти фізичний контекст для векторної величини. Таким чином, замість того, щоб наближатися до векторів як формальних математичних об'єктів, ми натомість розглянемо наступні істотні властивості, які дозволяють нам представляти фізичні величини як вектори.

Вектори в декартових координатах

Векторне розкладання

Виберіть систему координат з початковим, осями та векторами одиниць. Ми можемо розкласти вектор на складові вектори уздовж кожної осі координат (рис. 3.14).

Рисунок 3.14 Вектори компонентів в декартових координатах. (CC BY-NC; Відповідальний)

Вектор\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\) на P можна розкласти на векторну суму,

\[\overrightarrow{\mathbf{A}}=\overrightarrow{\mathbf{A}}_{x}+\overrightarrow{\mathbf{A}}_{y}+\overrightarrow{\mathbf{A}}_{z} \nonumber \]

де\(\overrightarrow{\mathbf{A}}_{x}\) -\(x\) компонентний вектор, що вказує на позитивне або негативне\(x\) -напрямок,\(\overrightarrow{\mathbf{A}}_{y}\) - це вектор\(y\) -компонент, що вказує на позитивний або негативний\(y\) -напрямок, і\(\overrightarrow{\mathbf{A}}_{z}\) -\(z\) компонент вектор, що вказує на позитивний або негативний \(z\)-напрямок.

Векторні компоненти

Після того, як ми визначили\(\left(\hat{\mathbf{i}}, \hat{\mathbf{j}}, \hat{\mathbf{k}}\right)\) одиничні вектори, ми визначаємо компоненти вектора. Нагадаємо наше векторне розкладання,\(\overrightarrow{\mathbf{A}}=\overrightarrow{\mathbf{A}}_{x}+\overrightarrow{\mathbf{A}}_{y}+\overrightarrow{\mathbf{A}}_{z}.\) ми визначаємо\(x\) -компонентний вектор,\(\overrightarrow{\mathbf{A}}_{x},\) так як\[\overrightarrow{\mathbf{A}}_{x}=A_{x} \, \hat{\mathbf{i}}. \nonumber \] в цьому виразі термін\(A_{x}\) (без стрілки вище) називається\(x\) -компонентом\(\overrightarrow{\mathbf{A}}_{x}.\) вектора.\(x\) -компонент\(A_{x}\) може бути позитивним, нульовий, або негативний. Це не величина\(\overrightarrow{\mathbf{A}}_{x}\) якої задається\(\left(A_{x}^{2}\right)^{1 / 2}\). \(x\)-component\(A_{x}\) - це скалярна величина, а вектор x -компонент\(\overrightarrow{\mathbf{A}}_{x}\) - вектор. Аналогічним чином ми визначаємо\(y\) -компонент\(A_{y}\), і\(z\) -компонент вектора\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\) відповідно до\(A_{z}\)

\[\overrightarrow{\mathbf{A}}_{y}=A_{y} \, \hat{\mathbf{j}}, \quad \overrightarrow{\mathbf{A}}_{z}=A_{z} \, \hat{\mathbf{k}}. \nonumber \]

Вектор\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\) представлений трьома його складовими\((A_{x},A_{y},A_{z})\). Таким чином, нам потрібно три числа для опису вектора в тривимірному просторі. Записуємо вектор\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\) як

\[\overrightarrow{\mathbf{A}}=A_{x} \, \hat{\mathbf{i}}+A_{y} \, \hat{\mathbf{j}}+A_{z} \, \hat{\mathbf{k}} \nonumber \]

Величина

Використовуючи теорему Піфагора, величина\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\) є,\[A=\sqrt{A_{x}^{2}+A_{y}^{2}+A_{z}^{2}} \nonumber \]

Напрямок

Розглянемо вектор\(\overrightarrow{\mathbf{A}}=\left(A_{x}, A_{y}, 0\right)\). Оскільки\(z\) -компонент дорівнює нулю, вектор\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\) лежить у\(x-y\) площині. \(θ\)Позначимо кут, який вектор\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\) робить в напрямку проти годинникової стрілки з позитивною\(x\) -віссю (рис. 3.15).

Малюнок 3.15 Складові вектора в xy -площині. (CC BY-NC; Відповідальний)

Тоді\(x\) -компонент і\(y\) -компонент\[A_{\mathrm{r}}=A \cos (\theta), \quad A_{y}=A \sin (\theta) \nonumber \] Ми тепер пишемо вектор в\(xy\) -plane як

\[\overrightarrow{\mathbf{A}}=A \cos (\theta) \hat{\mathbf{i}}+A \sin (\theta) \hat{\mathbf{j}} \nonumber \]

Після того, як компоненти вектора відомі, тангенс кута\(θ\) можна визначити за

\[\frac{A_{y}}{A_{x}}=\frac{A \sin (\theta)}{A \cos (\theta)}=\tan (\theta) \nonumber \]і, отже, кут\(θ\) задається\[\theta=\tan ^{-1}\left(\frac{A_{y}}{A_{x}}\right) \nonumber \]

Зрозуміло, що напрямок вектора залежить від знака\(A_{x}\) і\(A_{y}\). Наприклад, якщо і те,\(A_{x} > 0\) і інше\(A_{y} > 0\), то\(0 < θ < \pi / 2\). Якщо\(A_{x} < 0\) і\(A_{y} > 0\) тоді\(\pi / 2 < θ < \pi\). Якщо\(A_{x} <0\) і\(A_{y} <0 \) тоді\( \pi<\theta<3 \pi / 2\). Якщо\(A_{x} >0\) і\ (A
{y} <0\), то\(3 \pi/2< \theta<2 \). Зверніть увагу, що tan\(\theta\) є подвійним значенням функції, оскільки

\[\frac{-A_{y}}{-A_{x}}=\frac{A_{y}}{A_{x}}, \text { and } \frac{A_{y}}{-A_{x}}=\frac{-A_{y}}{A_{x}} \nonumber \]

Одиниця Вектори

Одиничний вектор у напрямку\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\): Дозволяти\(\overrightarrow{\mathbf{A}}=A_{x} \hat{\mathbf{i}}+A_{\mathrm{v}} \hat{\mathbf{j}}+A_{7} \hat{\mathbf{k}}\). \(\overrightarrow{\mathbf{A}}\)Дозволяти позначити одиничний вектор в напрямку\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\). Потім,\[\hat{\mathbf{A}}=\frac{\overrightarrow{\mathbf{A}}}{|\overrightarrow{\mathbf{A}}|}=\frac{A_{x} \hat{\mathbf{i}}+A_{y} \hat{\mathbf{j}}+A_{z} \hat{\mathbf{k}}}{\left(A_x^{2}+A_y^{2}+A_z^{2}\right)^{1 / 2}} \nonumber \]

Векторне додавання

\(\overrightarrow{\mathbf{B}}\)Дозволяти\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\) і бути два вектори в\(x-y\) площині. Нехай\( \theta_{A}\) і\(\theta_{B}\) позначають кути, які вектори\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\) і\(\overrightarrow{\mathbf{B}}\) роблять (в напрямку проти годинникової стрілки) з позитивною\(x\) -віссю. Потім\ [
\ overrightarrow {\ mathbf {A}} =A\ cos\ left (\ theta_ {A}\ праворуч)\ hat {\ mathbf {i}} +A\ sin\ left (\ theta_ {A}\ право)\ hat {\ mathbf {j}}\ nonumber\]\[\overrightarrow{\mathbf{B}}=B \cos \left(\theta_{B}\right) \hat{\mathbf{i}}+B \sin \left(\theta_{B}\right) \hat{\mathbf{j}} \nonumber \] На малюнку 3.16\(\overrightarrow{\mathbf{C}}=\overrightarrow{\mathbf{A}}+\overrightarrow{\mathbf{B}}\) показано додавання вектора. Дозвольте\(\theta_{C}\) позначити кут, який вектор\(\overrightarrow{\mathbf{C}}\) робить з позитивною\(x\) -віссю.

Малюнок 3.16 Додавання векторів за допомогою компонентів. (CC BY-NC; Відповідальний)

З малюнка 3.16, компоненти\(\overrightarrow{\mathbf{C}}\) є З\[C_{x}=A_{x}+B_{x}, \quad C_{y}=A_{y}+B_{y} \nonumber \] точки зору величин і кутів, ми маємо

\ [\ почати {масив} {l}
C_ {x} =C\ cos\ ліворуч (\ theta_ {C}\ праворуч) =A\ cos\ ліворуч (\ theta_ {A}\ праворуч) +B\ cos\ ліворуч (\ theta_ {B}\ праворуч)\\
C_ {y} =C\ sin\ ліворуч (\ theta_ {C}\ праворуч) =A\ sin\\ left (\ theta_ {A}\ право) +B\ sin\ left (\ theta_ {B}\ право)
\ end {масив}\ nonumber\] Ми можемо записати вектор \(\overrightarrow{\mathbf{C}}\)як\[\overrightarrow{\mathbf{C}}=\left(A_{x}+B_{x}\right) \hat{\mathbf{i}}+\left(A_{y}+B_{y}\right) \hat{\mathbf{j}}=C \cos \left(\theta_{C}\right) \hat{\mathbf{i}}+C \sin \left(\theta_{C}\right) \hat{\mathbf{j}} \nonumber \]

Приклад 3.1: Додавання векторів

За даними двох векторів\(\overrightarrow{\mathbf{A}}=2 \hat{\mathbf{i}}+-3 \hat{\mathbf{j}}+7 \hat{\mathbf{k}} \, \text {and} \, \overrightarrow{\mathbf{B}}=5 \hat{\mathbf{i}}+\hat{\mathbf{j}}+2 \hat{\mathbf{k}}\), знайти: (a)\(|\overrightarrow{\mathbf{A}}|\); (b)\(|\overrightarrow{\mathbf{B}}|\); (c)\(\overrightarrow{\mathbf{A}}+\overrightarrow{\mathbf{B}}\); (d)\(\overrightarrow{\mathbf{A}}-\overrightarrow{\mathbf{B}}\); (e) одиничний вектор,\(\hat{\mathbf{A}}\) що вказує у напрямку\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\); (f) одиничний вектор,\(\hat{\mathbf{B}}\) що вказує у напрямку\(\overrightarrow{\mathbf{B}}\);

Рішення

(а)

\( |\overrightarrow{\mathbf{A}}|=\left(2^{2}+(-3)^{2}+7^{2}\right)^{1/2}=\sqrt{62}=7.87\).

(б)

\(|\overrightarrow{\mathbf{B}}|=\left(5^{2}+1^{2}+2^{2}\right)^{1 / 2}=\sqrt{30}=5.48\).

(c)

\ (\ почати {вирівняний}
\ переправо стрілка {\ mathbf {A}} +\ переправа стрілка {\ mathbf {B}} &=\ ліворуч (A_ {x} +B_ {x}\ праворуч)\ капелюх {\ mathbf {i}} +\ ліворуч (A_ {y} +B_ {y}\ праворуч)\ капелюх {\ mathbf {i}} +\ ліворуч (A_ {y} +B_ {y}\ праворуч)\ капелюх {\ mathbf {i}} f {j}} +\ лівий (A_ {z} +B_ {z}\ праворуч)\ капелюх {\ mathbf {k}}\\
& =( 2+5)\ капелюх {\ mathbf {i}} + (-3+1)\ капелюх {\ mathbf {j}} + (7+2)\ капелюх {\ mathbf {k}} \\
&=7\ капелюх {\ mathbf {i}} -2\ капелюх {\ mathbf {j}} +9\ капелюх {\ mathbf {k}}
\ кінець {вирівняний}\ nonumber\)

(г)

\ (\ почати {вирівняний}
\ переправа стрілка {\ mathbf {A}} -\ переправа стрілка {\ mathbf {B}} &=\ ліворуч (A_ {x} -B_ {x}\ праворуч)\ капелюх {\ mathbf {i}} +\ ліворуч (A_ {y} -B_ {y}\ праворуч)\ капелюх {\ mathbf {i}} +\ ліворуч (A_ {y} -B_ {y}\ праворуч)\ капелюх {\ mathbf {i}} f {j}} +\ лівий (A_ {z} -B_ {z}\ праворуч)\ капелюх {\ mathbf {k}}\\
& =( 2-5)\ капелюх {\ mathbf {i}} + (-3-1)\ капелюх {\ mathbf {j}} + (7-2)\ капелюх {\ mathbf {k}} \\
&=-3\ капелюх {\ mathbf {i}} -4\ капелюх {\ mathbf {j}} +5\ капелюх {\ mathbf {k}}
\ кінець {вирівняний}\)

(е)

\(\hat{\mathbf{A}}\)Одиничний вектор в напрямку\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\) можна знайти шляхом ділення вектора\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\) на величину\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\). Тому\[\hat{\mathbf{A}}=\overrightarrow{\mathbf{A}} /|\overrightarrow{\mathbf{A}}|=(2 \hat{\mathbf{i}}+-3 \hat{\mathbf{j}}+7 \hat{\mathbf{k}}) / \sqrt{62} \nonumber \]

(f)

Аналогічним чином,\(\hat{\mathbf{B}}=\overrightarrow{\mathbf{B}} /|\overrightarrow{\mathbf{B}}|=(5 \hat{\mathbf{i}}+\hat{\mathbf{j}}+2 \hat{\mathbf{k}}) / \sqrt{30}\)

Приклад 3.2 Затонуючий вітрильник

Корабель берегової охорони розташований в 35 км від контрольно-пропускного пункту в напрямку на\(52^{\circ}\) північ від заходу. Проблемний вітрильник, розташований у негазованій воді за 24 км від того ж контрольно-пропускного пункту в напрямку на\(18^{\circ}\) південь від сходу, ось-ось потоне. Намалюйте схему із зазначенням положення обох кораблів. В якому напрямку і як далеко повинен проїхати корабель берегової охорони, щоб дістатися до вітрильника?

Рішення

Схема настройки - рис. 3.17.

Малюнок 3.17 Приклад 3.2. (CC BY-NC; Відповідальний)

Малюнок 3.18 Система координат для вітрильника та корабля. (CC BY-NC; Відповідальний)

Виберіть контрольну точку як початок декартової системи координат з додатною віссю x у східному напрямку та додатною віссю y —у напрямку на північ. Виберіть відповідні вектори одиниць\(\hat{\mathbf{i}}\) і\(\hat{\mathbf{j}}\) як показано на малюнку 3.18. Корабель берегової охорони тоді відстань\(r = 35\) км під кутом\(\theta_{1}=180^{\circ}-52^{\circ}=128^{\circ}\) від позитивної осі х, положення корабля берегової охорони

\ [\ почати {вирівняний}
&\ переправа стрілка {\ mathbf {r}} _ {1} =r_ {1}\ ліворуч (\ cos\ theta_ {1}\ hat {\ mathbf {i}} +\ sin\ theta_ {1}\ капелюх {\ mathbf {j}}\ праворуч)\\
&\ переправа стрілка {\ mathbf {\ mathbf {bf {r}} =-21.5\ матхм {км}\ hat {\ mathbf {i}} +27,6\ математика {км}\ hat {\ mathbf {j}}
\ кінець {вирівняний}\ nonumber\] і позиція вітрильника є\ [\ begin {масив} {l}
\ overrightarrow {\ mathbf {r}} _ {2} =r_ {2}\ лівий (\ cos\ theta_ {2}\ hat {\ mathbf {i}} +\ sin\ theta_ {2}\ hat {\ mathbf {j}}\ праворуч)
\\ переправа стрілка {\ mathbf {r}} _ {2} =22,8\ математична {км}\ hat {\ mathbf {i}} -7.4\ mathrm {км}\ hat {\ mathbf {j}}
\ end {масив}\ nonumber\]

Малюнок 3.19 Вектор відносного положення від корабля до вітрильника. (CC BY-NC; Відповідальний)

Вектор відносного положення від корабля берегової охорони до вітрильника (рис. 3.19)\ [\ begin {вирівняний}
&\ overrightarrow {\ mathbf {r}} _ {2} -\ overrightarrow {\ mathbf {r}} _ {1} =( 22.8\ mathrm {км}\ hat {\ mathbf {i}} -7.4\ mathrm m {км}\ hat {\ mathbf {j}}) - (-21.5\ матхм {км}\ капелюх {\ mathbf {i}} +27,6\ матхрм {км}\ шапка {\ mathbf {j}})\\
&\ переправа стрілка {\ mathbf {r}} _ {2} -\ переправа стрілка {\ mathbf {r}} _ {1} =44.4\ математика {км}\ hat {\ mathbf {i}} -35.0\ mathrm {км}\ капелюх {\ mathbf {j}}
\ end {aligned}\ nonumber\] Відстань між кораблем і вітрильником є\[\left|\overrightarrow{\mathbf{r}}_{2}-\overrightarrow{\mathbf{r}}_{1}\right|=\left((44.4 \mathrm{km})^{2}+(-35.0 \mathrm{km})^{2}\right)^{1 / 2}=56.5 \mathrm{km} \nonumber \]. обернений тангенс співвідношення y - і x - складових вектора взаємного положення,\[\theta_{21}=\tan ^{-1}(-35.0 \mathrm{km} / 44.4 \mathrm{km})=-38.3^{\circ} \nonumber \] або на\(38.3^{\circ}\) південь від сходу.

Приклад 3.3: Додавання векторів

Два вектори\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\) і\(\overrightarrow{\mathbf{B}}\), такі\(|\overrightarrow{\mathbf{B}}|=2|\overrightarrow{\mathbf{A}}|\), що мають результуючу\(\overrightarrow{\mathbf{C}}=\overrightarrow{\mathbf{A}}+\overrightarrow{\mathbf{B}}\) величину 26,5. Вектор\(\overrightarrow{\mathbf{C}}\) робить кут\(\theta_{c} = 41^{\circ}\) по відношенню до вектора\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\). Знайти величину кожного вектора і кут між векторами\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\) і\(\overrightarrow{\mathbf{B}}\).

Рішення: Ми починаємо з створення ескізу трьох векторів, вибираючи точку\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\) в додатному напрямку x (рис. 3.20).

Малюнок 3.20: Вибір системи координат для Приклад 3.3. (CC BY-NC; Відповідальний)

Позначимо величину\(\overrightarrow{\mathbf{C}}\) по\(C \equiv|\overrightarrow{\mathbf{C}}|=\sqrt{\left(C_{x}\right)^{2}+\left(C_{y}\right)^{2}}=26.5\). Складові\(\overrightarrow{\mathbf{C}}=\overrightarrow{\mathbf{A}}+\overrightarrow{\mathbf{B}}\) частини наведені

\[ C_{x}=A_{x}+B_{x}=C \cos \theta_{C}=(26.5) \cos \left(41^{\circ}\right)=20 \nonumber \]

\[ C_{y}=B_{y}=C \sin \theta_{C}=(26.5) \sin \left(41^{\circ}\right)=17.4. \nonumber \]

З тієї умови\(|\overrightarrow{\mathbf{B}}|=2|\overrightarrow{\mathbf{A}}|\), що квадрат їх величин задовольняє

\[\left(B_{x}\right)^{2}+\left(B_{y}\right)^{2}=4\left(A_{x}\right)^{2}. \nonumber \]

Використовуючи рівняння (3.3.17) та (3.3.18), рівняння (3.3.19) стає\[\left(C_{x}-A_{x}\right)^{2}+\left(C_{y}\right)^{2}=4\left(A_{x}\right)^{2} \nonumber \]

\[ \left(C_{x}\right)^{2}-2C_{x}A_{x}+\left(A_{x}\right)^{2}+\left(C_{y}\right)^{2}=4\left(A_{x}\right)^{2} \nonumber \]

Це квадратне рівняння

\[ 0=3\left(A_{x}\right)^{2}+2 C_{x} A_{x}-C^{2} \nonumber \]

які ми вирішуємо для компонента\(A_{x}\):

\[A_{x}=\frac{-2 C_{x} \pm \sqrt{\left(2 C_{x}\right)^{2}+(4)(3)\left(C^{2}\right)}}{6}=\frac{-2(20) \pm \sqrt{(40))^{2}+(4)(3)(26.5)^{2}}}{6}=10.0 \nonumber \]

де ми вибираємо позитивний квадратний корінь, тому що ми спочатку вибрали\(A_{x} > 0\). Потім компоненти\(\overrightarrow{\mathbf{B}}\) задаються рівняннями (3.3.17) та (3.3.18):

\[B_{x}=C_{x}-A_{x}=20.0-10.0=10.0 \nonumber \]\[B_{.}=17.4 \nonumber \]

Величина\(|\overrightarrow{\mathbf{B}}|=\sqrt{\left(B_{x}\right)^{2}+\left(B_{y}\right)^{2}}=20.0\) якого дорівнює двократній величині\(|\overrightarrow{\mathbf{A}}|=10.0\). Кут між\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\) і\(\overrightarrow{\mathbf{B}}\) задається

\[\theta=\sin ^{-1}\left(B_{y} /|\overrightarrow{\mathbf{B}}|\right)=\sin ^{-1}(17.4 / 20.0 \mathrm{N})=60^{\circ} \nonumber \]

Приклад 3.4 Векторний опис точки на прямій

Розглянемо дві точки,\(P_{1}\) з координатами\((x_{1}, y_{1})\) і\(P_{2}\) з координатами\((x_{1}, y_{1})\) розділені відстанню\(d\). Знайдіть вектор\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\) від початку до точки на лінії, що з'єднує \(P_{1}\)і\(P_{2}\) що знаходиться на відстані\(a\) від точки\(P_{2}\) (рис. 3.21).

Малюнок\(\PageIndex{21}\): Приклад 3.4. (CC BY-NC; Відповідальний)

Рішення

\(\overrightarrow{\mathbf{r}}_{1}=x_{1} \hat{\mathbf{i}}+y_{1} \hat{\mathbf{j}}\)Дозволяти бути вектор\(\overrightarrow{\mathbf{r}}_{2}=x_{2} \hat{\mathbf{i}}+y_{2} \hat{\mathbf{j}}\) положення\(P_{1}\) і вектор положення\(P_{2}\). \(\overrightarrow{\mathbf{r}}_{1}-\overrightarrow{\mathbf{r}}_{2}\)Дозволяти вектор від\(P_{2}\) до\(P_{1}\) (рис. 3.22а). Одиничний вектор, що вказує від\(P_{2}\) до\(P_{1}\), задається

\(\hat{\mathbf{r}}_{21}=\left(\overrightarrow{\mathbf{r}}_{1}-\overrightarrow{\mathbf{r}}_{2}\right) /\left|\overrightarrow{\mathbf{r}}_{1}-\overrightarrow{\mathbf{r}}_{2}\right|=\left(\overrightarrow{\mathbf{r}}_{1}-\overrightarrow{\mathbf{r}}_{2}\right) / d\), де\(d=\left(\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}\right)^{1 / 2}\)

Малюнок 3.22a: Вектор відносного положення

Малюнок 3.22b: Вектор відносного положення

Вектор\(\overrightarrow{\mathbf{s}}\) на малюнку 3.22b з'єднується\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\) з точкою в\(\overrightarrow{\mathbf{r_{1}}}\), точки в напрямку\(\overrightarrow{\mathbf{r_{12}}}\) і має довжину\(a\). Тому\(\overrightarrow{\mathbf{s}}=a \hat{\mathbf{r}}_{21}=a\left(\overrightarrow{\mathbf{r}}_{1}-\overrightarrow{\mathbf{r}}_{2}\right) / d\). Вектор\(\overrightarrow{\mathbf{r}}_{1}=\overrightarrow{\mathbf{A}}+\overrightarrow{\mathbf{s}}\). Тому\[\overrightarrow{\mathbf{A}}=\overrightarrow{\mathbf{r}}_{1}-\overrightarrow{\mathbf{s}}=\overrightarrow{\mathbf{r}}_{1}-a\left(\overrightarrow{\mathbf{r}}_{1}-\overrightarrow{\mathbf{r}}_{2}\right) / d=(1-a / d) \overrightarrow{\mathbf{r}}_{1}+(a / d) \overrightarrow{\mathbf{r}}_{2} \nonumber \]\[\overrightarrow{\mathbf{A}}=(1-a / d)\left(x_{1} \hat{\mathbf{i}}+y_{1} \hat{\mathbf{j}}\right)+(a / d)\left(x_{2} \hat{\mathbf{i}}+y_{2} \hat{\mathbf{j}}\right) \nonumber \]\[\overrightarrow{\mathbf{A}}=\left(x_{1}+\frac{a\left(x_{2}-x_{1}\right)}{\left(\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}\right)^{1 / 2}}\right) \hat{\mathbf{i}}+\left(y_{1}+\frac{a\left(y_{2}-y_{1}\right)}{\left(\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}\right)^{1 / 2}}\right) \hat{\mathbf{j}} \nonumber \]

Перетворення векторів в обертових системах координат

Розглянемо дві декартові системи координат\(S\) і\(S'\) такі, щоб осі\((x', y')\) координат в були\(S'\) повернуті на кут\( \theta \) по відношенню до осей\((x, y)\) координат в\(S\), (рис. 3.23).

Малюнок 3.23: Повернуті системи координат. (CC BY-NC; Відповідальний)

Складові одиничного вектора\(\hat{\mathbf{i^{\prime}}}\) в\(\hat{\mathbf{j}}\) напрямку\(\hat{\mathbf{i}}\) і задаються

\[i_{x}^{\prime}=\left|\hat{\mathbf{i}}^{\prime}\right| \cos \theta=\cos \theta \nonumber \]

і

\[i_{y}^{\prime}=\left|\hat{\mathbf{i}}^{\prime}\right| \sin \theta=\sin \theta. \nonumber \]

Тому

\[\hat{\mathbf{i}}^{\prime}=i_{x}^{\prime} \hat{\mathbf{i}}+i_{y}^{\prime} \hat{\mathbf{j}}=\hat{\mathbf{i}} \cos \theta+\hat{\mathbf{j}} \sin \theta \nonumber \]

Аналогічний аргумент має місце для компонентів вектора одиниць\(\hat{\mathbf{j^{'}}}\). Складові\(\hat{\mathbf{j^{'}}}\) в\(\hat{\mathbf{i}}\) і\(\hat{\mathbf{j}}\) напрямку задаються

\[j_{x}^{\prime}=-\left|\hat{\mathbf{j}}^{\prime}\right| \sin \theta=-\sin \theta \nonumber \]

і

\[j_{y}^{\prime}=\left|\hat{\mathbf{j}}^{\prime}\right| \cos \theta=\cos \theta. \nonumber \]

Тому

\[\hat{\mathbf{j}^{\prime}}=j_{x}^{\prime} \hat{\mathbf{i}}+j_{y}^{\prime} \hat{\mathbf{j}}=\hat{\mathbf{j}} \cos \theta-\hat{\mathbf{i}} \sin \theta \nonumber \]

І навпаки, з малюнка 3.23 та аналогічних аргументів векторного розкладання компоненти (\ hat {\ mathbf {i}}\) та (\ hat {\ mathbf {j}}\)\(S'\) задаються у

\[\hat{\mathbf{i}}=\hat{\mathbf{i}}^{\prime} \cos \theta-\hat{\mathbf{j}}^{\prime} \sin \theta \nonumber \]\[\hat{\mathbf{j}}=\hat{\mathbf{i}}^{\prime} \sin \theta+\hat{\mathbf{j}}^{\prime} \cos \theta \nonumber \]

Розглянемо фіксований вектор\(\overrightarrow{\mathbf{r}}=x \hat{\mathbf{i}}+y \hat{\mathbf{j}}\) з компонентами\((x, y)\) в системі координат\(S\). У системі\(S'\) координат вектор задається тим\(\overrightarrow{\mathbf{r}}=x^{\prime} \hat{\mathbf{i}}^{\prime}+y^{\hat{\prime}} \hat{\mathbf{j}}^{\prime}, \text { where }\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right)\), де\((x',y')\) знаходяться компоненти в\(S'\), (рис. 3.24).

Малюнок 3.24: Трансформація векторних компонентів. (CC BY-NC; Відповідальний)

Використовуючи рівняння (3.3.20) та (3.3.21), ми маємо це

\ [\ почати {масив} {l}
\ overrightarrow {\ mathbf {r}} =x\ hat {\ mathbf {i}} +y\ hat {\ mathbf {j}} = х\ ліворуч (\ капелюх {\ mathbf {i}} ^ {\ прайм}\ cos\ тета-\ капелюх {\ mathbf {j}} ^ {\ правий}\ sin\ тета\ праворуч) +у\ лівий (\ hat {\ mathbf {j}}} ^ {\ прайм}\ cos\ theta+\ hat {\ mathbf {i}} ^ {\ прайм}\ sin\ тета\ праворуч)\
\ overrightarrow { \ mathbf {r}} = (х\ cos\ тета+у\ сін\ тета)\ капелюх {\ mathbf {i}} ^ {\ прайм} + (х\ sin\ тета-у\ cos\ тета)\ капелюх {\ mathbf {j}} ^ {\ прайм}\ кінець {масив}\ nonumber\]

Тому компоненти вектора трансформуються відповідно до

\[ x^{\prime}=x \cos \theta+y \sin \theta \nonumber \]

\[y^{\prime}=x \sin \theta-y \cos \theta \nonumber \]

Розглянуто альтернативний підхід до розуміння законів трансформації складових вектора положення нерухомої точки в просторі. У системі координат припустимо\(S\), що вектор положення\(\overrightarrow{\mathbf{r}}\) має довжину\(r=|\overrightarrow{\mathbf{r}}|\) і робить кут\( \phi\) по відношенню до позитивної\(x\) -осі (рис. 3.25).

Малюнок 3.25: Трансформація векторних складових вектора положення. (CC BY-NC; Відповідальний)

Потім компоненти\(\overrightarrow{\mathbf{r}}\) in\(S\) задаються по\[x=r \cos \phi \nonumber \]\[y=r \sin \phi \nonumber \]. У системі\(S'\) координат компоненти\(\overrightarrow{\mathbf{r}}\) задаються

\[x^{\prime}=r \cos (\phi-\theta) \nonumber \]\[y^{\prime}=r \sin (\phi-\theta) \nonumber \]

Застосувати додавання кутових тригонометричних тотожностей до рівнянь (3.3.29) та (3.3.30), що дають

\[ x^{\prime}=r \cos (\phi-\theta)=r \cos \phi \cos \theta+r \sin \phi \sin \theta=x \cos \theta+y \sin \theta \nonumber \]

\[y^{\prime}=r \sin (\phi-\theta)=r \sin \phi \cos \theta-r \cos \phi \sin \theta=y \cos \theta-x \sin \theta \nonumber \]

відповідно до Рівняння (3.3.25) і (3.3.26).

Приклад 3.5 Векторне розкладання в повернутих системах координат

Стосовно заданої декартової системи\(S\) координат вектор\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\) має компоненти\(A_{x} = 5\),\(A_{y} = -3\),\(A_{z} = 0\). Розглянемо другу систему координат\(S'\) таким чином, щоб осі\((x',y'\) координат в\(S'\) поверталися на кут\( \theta = 60^{\circ} \) по відношенню до осей\((x, y)\) координат в\(S\), (рис. 3.26).

1. Які складові\(A_{x}\) та \(A_{y}\)вектори\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\) в системі координат\(S'\)?
2. Обчисліть величину вектора за допомогою\((A_{x}\), \(A_{y})\)компонентів і за допомогою\((A_{x}\), \(A_{y})\)компонентів. Чи погоджується ваш результат з тим, що ви очікуєте?

Малюнок 3.26 Приклад 3.4. (CC BY-NC; Відповідальний)

Рішення:

Почнемо\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\) з розгляду векторного розкладання по відношенню до системи координат\(S\),\[\overrightarrow{\mathbf{A}}=A_{x} \hat{\mathbf{i}}+A_{y} \hat{\mathbf{j}} \nonumber \] Тепер ми можемо використовувати наші результати для перетворення одиничних векторів\(\overrightarrow{\mathbf{i}}\) і\(\overrightarrow{\mathbf{j}}\) через\(\overrightarrow{\mathbf{i^{'}}}\) і\(\overrightarrow{\mathbf{j^{'}}}\), (Рівняння (3.3.22) і (3.3.23)) в порядок розкладання вектора\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\) в системі координат\(S'\)

\ [\ почати {масив} {l}
\ overrightarrow {\ mathbf {A}} =A\ капелюх {\ mathbf {i}} +A_ {y}\ hat {\ mathbf {j}} =A_ {x}\ ліворуч (\ cos\ тета\ шапка {\ mathbf {i}} ^ {\ прайм} -\ sin\ тета\ капелюх {\ тета\ капелюх {я}} ^ {\ прайм} -\ син\ тета\ капелюх {\ mathbf {j}} ^ {\ прайм}\ праворуч) +A_ {y}\ лівий (\ sin\ тета\ капелюх {\ mathbf {i}} ^ {\ прайм} +\ cos\ тета\ капелюх {\ mathbf {j}} ^ {\ прайм}\ право)\\
=\ ліворуч (A_ {x}\ cos\ theta+A_ {y}\ sin\ тета\ справа)\ капелюх {\ mathbf {i}} ^ {\ прайм} +\ лівий (-A_ {x}\ sin\ theta+A_ {y}\ cos\ тета\ праворуч)\ капелюх {\ mathbf {j}} ^ {\ прайм}\
=A_ {x}\ hat {\ mathbf {i}} +A_ {y}\ hat {\ mathbf {j}}
\ кінець {масив}\ nonumber\]

де

\[A_{x^{\prime}}=A_{x} \cos \theta+A_{y} \sin \theta \nonumber \]\[A_{y^{\prime}}=-A_{x} \sin \theta+A_{y} \cos \theta \nonumber \]

Тепер ми використовуємо задану інформацію\(A_{x} = 5\), що\(A_{y} = -3\), і\( \theta = 60^{\circ} \) вирішити для компонентів\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\) в системі координат\(S'\)

\[A_{x^{\prime}}=A_{x} \cos \theta+A_{y} \sin \theta=(1 / 2)(5-3 \sqrt{3}) \nonumber \]

\[A_{y^{\prime}}=-A_{x} \sin \theta+A_{y} \cos \theta=(1 / 2)(-5 \sqrt{3}-3) \nonumber \]

б) Величина може бути розрахована в будь-якій системі координат

\[|\overrightarrow{\mathbf{A}}|=\sqrt{\left(A_{x}\right)^{2}+\left(A_{y}\right)^{2}}=\sqrt{(5)^{2}+(-3)^{2}}=\sqrt{34} \nonumber \]

\[|\overrightarrow{\mathbf{A}}|=\sqrt{\left(A_{x^{\prime}}\right)^{2}+\left(A_{y^{\prime}}\right)^{2}}=\sqrt{((1 / 2)(5-3 \sqrt{3}))^{2}+((1 / 2)(-5 \sqrt{3}-3))^{2}}=\sqrt{34} \nonumber \]

Цей результат узгоджується з тим, що я очікую, оскільки довжина вектора не\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\) залежить від вибору системи координат.