3.3: Вектори
Використання векторів у фізиці
З останнього розділу ми маємо три важливі ідеї щодо векторів:
- вектори можуть існувати в будь-якійP точці простору,
- вектори мають напрямок і величину, і
- будь-які два вектори, які мають однаковий напрямок і величину, рівні незалежно від того, де в просторі вони розташовані.
Коли ми застосовуємо вектори до фізичних величин, приємно тримати в задній частині нашого розуму всі ці формальні властивості. Однак, з точки зору фізика, ми зацікавлені у представленні фізичних величин, таких як переміщення, швидкість, прискорення, сила, імпульс та імпульс, як вектори. Ми не можемо додати силу до швидкості або відняти імпульс від сили. Ми завжди повинні розуміти фізичний контекст для векторної величини. Таким чином, замість того, щоб наближатися до векторів як формальних математичних об'єктів, ми натомість розглянемо наступні істотні властивості, які дозволяють нам представляти фізичні величини як вектори.
Вектори в декартових координатах
Векторне розкладання
Виберіть систему координат з початковим, осями та векторами одиниць. Ми можемо розкласти вектор на складові вектори уздовж кожної осі координат (рис. 3.14).
Вектор→A на P можна розкласти на векторну суму,
→A=→Ax+→Ay+→Az
де→Ax -x компонентний вектор, що вказує на позитивне або негативнеx -напрямок,→Ay - це векторy -компонент, що вказує на позитивний або негативнийy -напрямок, і→Az -z компонент вектор, що вказує на позитивний або негативний z-напрямок.
Векторні компоненти
Після того, як ми визначили(ˆi,ˆj,ˆk) одиничні вектори, ми визначаємо компоненти вектора. Нагадаємо наше векторне розкладання,→A=→Ax+→Ay+→Az. ми визначаємоx -компонентний вектор,→Ax, так як→Ax=Axˆi. в цьому виразі термінAx (без стрілки вище) називаєтьсяx -компонентом→Ax. вектора.x -компонентAx може бути позитивним, нульовий, або негативний. Це не величина→Ax якої задається(A2x)1/2. x-componentAx - це скалярна величина, а вектор x -компонент→Ax - вектор. Аналогічним чином ми визначаємоy -компонентAy, іz -компонент вектора→A відповідно доAz
→Ay=Ayˆj,→Az=Azˆk.
Вектор→A представлений трьома його складовими(Ax,Ay,Az). Таким чином, нам потрібно три числа для опису вектора в тривимірному просторі. Записуємо вектор→A як
→A=Axˆi+Ayˆj+Azˆk
Величина
Використовуючи теорему Піфагора, величина→A є,A=√A2x+A2y+A2z
Напрямок
Розглянемо вектор→A=(Ax,Ay,0). Оскількиz -компонент дорівнює нулю, вектор→A лежить уx−y площині. θПозначимо кут, який вектор\overrightarrow{\mathbf{A}} робить в напрямку проти годинникової стрілки з позитивноюx -віссю (рис. 3.15).
Тодіx -компонент іy -компонентA_{\mathrm{r}}=A \cos (\theta), \quad A_{y}=A \sin (\theta) \nonumber Ми тепер пишемо вектор вxy -plane як
\overrightarrow{\mathbf{A}}=A \cos (\theta) \hat{\mathbf{i}}+A \sin (\theta) \hat{\mathbf{j}} \nonumber
Після того, як компоненти вектора відомі, тангенс кутаθ можна визначити за
\frac{A_{y}}{A_{x}}=\frac{A \sin (\theta)}{A \cos (\theta)}=\tan (\theta) \nonumber і, отже, кутθ задається\theta=\tan ^{-1}\left(\frac{A_{y}}{A_{x}}\right) \nonumber
Зрозуміло, що напрямок вектора залежить від знакаA_{x} іA_{y}. Наприклад, якщо і те,A_{x} > 0 і іншеA_{y} > 0, то0 < θ < \pi / 2. ЯкщоA_{x} < 0 іA_{y} > 0 тоді\pi / 2 < θ < \pi. ЯкщоA_{x} <0 іA_{y} <0 тоді \pi<\theta<3 \pi / 2. ЯкщоA_{x} >0 і\ (A
{y} <0\), то3 \pi/2< \theta<2 . Зверніть увагу, що tan\theta є подвійним значенням функції, оскільки
\frac{-A_{y}}{-A_{x}}=\frac{A_{y}}{A_{x}}, \text { and } \frac{A_{y}}{-A_{x}}=\frac{-A_{y}}{A_{x}} \nonumber
Одиниця Вектори
Одиничний вектор у напрямку\overrightarrow{\mathbf{A}}: Дозволяти\overrightarrow{\mathbf{A}}=A_{x} \hat{\mathbf{i}}+A_{\mathrm{v}} \hat{\mathbf{j}}+A_{7} \hat{\mathbf{k}}. \overrightarrow{\mathbf{A}}Дозволяти позначити одиничний вектор в напрямку\overrightarrow{\mathbf{A}}. Потім,\hat{\mathbf{A}}=\frac{\overrightarrow{\mathbf{A}}}{|\overrightarrow{\mathbf{A}}|}=\frac{A_{x} \hat{\mathbf{i}}+A_{y} \hat{\mathbf{j}}+A_{z} \hat{\mathbf{k}}}{\left(A_x^{2}+A_y^{2}+A_z^{2}\right)^{1 / 2}} \nonumber
Векторне додавання
\overrightarrow{\mathbf{B}}Дозволяти\overrightarrow{\mathbf{A}} і бути два вектори вx-y площині. Нехай \theta_{A} і\theta_{B} позначають кути, які вектори\overrightarrow{\mathbf{A}} і\overrightarrow{\mathbf{B}} роблять (в напрямку проти годинникової стрілки) з позитивноюx -віссю. Потім\ [
\ overrightarrow {\ mathbf {A}} =A\ cos\ left (\ theta_ {A}\ праворуч)\ hat {\ mathbf {i}} +A\ sin\ left (\ theta_ {A}\ право)\ hat {\ mathbf {j}}\ nonumber\]\overrightarrow{\mathbf{B}}=B \cos \left(\theta_{B}\right) \hat{\mathbf{i}}+B \sin \left(\theta_{B}\right) \hat{\mathbf{j}} \nonumber На малюнку 3.16\overrightarrow{\mathbf{C}}=\overrightarrow{\mathbf{A}}+\overrightarrow{\mathbf{B}} показано додавання вектора. Дозвольте\theta_{C} позначити кут, який вектор\overrightarrow{\mathbf{C}} робить з позитивноюx -віссю.
З малюнка 3.16, компоненти\overrightarrow{\mathbf{C}} є ЗC_{x}=A_{x}+B_{x}, \quad C_{y}=A_{y}+B_{y} \nonumber точки зору величин і кутів, ми маємо
\ [\ почати {масив} {l}
C_ {x} =C\ cos\ ліворуч (\ theta_ {C}\ праворуч) =A\ cos\ ліворуч (\ theta_ {A}\ праворуч) +B\ cos\ ліворуч (\ theta_ {B}\ праворуч)\\
C_ {y} =C\ sin\ ліворуч (\ theta_ {C}\ праворуч) =A\ sin\\ left (\ theta_ {A}\ право) +B\ sin\ left (\ theta_ {B}\ право)
\ end {масив}\ nonumber\] Ми можемо записати вектор \overrightarrow{\mathbf{C}}як\overrightarrow{\mathbf{C}}=\left(A_{x}+B_{x}\right) \hat{\mathbf{i}}+\left(A_{y}+B_{y}\right) \hat{\mathbf{j}}=C \cos \left(\theta_{C}\right) \hat{\mathbf{i}}+C \sin \left(\theta_{C}\right) \hat{\mathbf{j}} \nonumber
Приклад 3.1: Додавання векторів
За даними двох векторів\overrightarrow{\mathbf{A}}=2 \hat{\mathbf{i}}+-3 \hat{\mathbf{j}}+7 \hat{\mathbf{k}} \, \text {and} \, \overrightarrow{\mathbf{B}}=5 \hat{\mathbf{i}}+\hat{\mathbf{j}}+2 \hat{\mathbf{k}}, знайти: (a)|\overrightarrow{\mathbf{A}}|; (b)|\overrightarrow{\mathbf{B}}|; (c)\overrightarrow{\mathbf{A}}+\overrightarrow{\mathbf{B}}; (d)\overrightarrow{\mathbf{A}}-\overrightarrow{\mathbf{B}}; (e) одиничний вектор,\hat{\mathbf{A}} що вказує у напрямку\overrightarrow{\mathbf{A}}; (f) одиничний вектор,\hat{\mathbf{B}} що вказує у напрямку\overrightarrow{\mathbf{B}};
Рішення
(а)
|\overrightarrow{\mathbf{A}}|=\left(2^{2}+(-3)^{2}+7^{2}\right)^{1/2}=\sqrt{62}=7.87.
(б)
|\overrightarrow{\mathbf{B}}|=\left(5^{2}+1^{2}+2^{2}\right)^{1 / 2}=\sqrt{30}=5.48.
(c)
\ (\ почати {вирівняний}
\ переправо стрілка {\ mathbf {A}} +\ переправа стрілка {\ mathbf {B}} &=\ ліворуч (A_ {x} +B_ {x}\ праворуч)\ капелюх {\ mathbf {i}} +\ ліворуч (A_ {y} +B_ {y}\ праворуч)\ капелюх {\ mathbf {i}} +\ ліворуч (A_ {y} +B_ {y}\ праворуч)\ капелюх {\ mathbf {i}} f {j}} +\ лівий (A_ {z} +B_ {z}\ праворуч)\ капелюх {\ mathbf {k}}\\
& =( 2+5)\ капелюх {\ mathbf {i}} + (-3+1)\ капелюх {\ mathbf {j}} + (7+2)\ капелюх {\ mathbf {k}} \\
&=7\ капелюх {\ mathbf {i}} -2\ капелюх {\ mathbf {j}} +9\ капелюх {\ mathbf {k}}
\ кінець {вирівняний}\ nonumber\)
(г)
\ (\ почати {вирівняний}
\ переправа стрілка {\ mathbf {A}} -\ переправа стрілка {\ mathbf {B}} &=\ ліворуч (A_ {x} -B_ {x}\ праворуч)\ капелюх {\ mathbf {i}} +\ ліворуч (A_ {y} -B_ {y}\ праворуч)\ капелюх {\ mathbf {i}} +\ ліворуч (A_ {y} -B_ {y}\ праворуч)\ капелюх {\ mathbf {i}} f {j}} +\ лівий (A_ {z} -B_ {z}\ праворуч)\ капелюх {\ mathbf {k}}\\
& =( 2-5)\ капелюх {\ mathbf {i}} + (-3-1)\ капелюх {\ mathbf {j}} + (7-2)\ капелюх {\ mathbf {k}} \\
&=-3\ капелюх {\ mathbf {i}} -4\ капелюх {\ mathbf {j}} +5\ капелюх {\ mathbf {k}}
\ кінець {вирівняний}\)
(е)
\hat{\mathbf{A}}Одиничний вектор в напрямку\overrightarrow{\mathbf{A}} можна знайти шляхом ділення вектора\overrightarrow{\mathbf{A}} на величину\overrightarrow{\mathbf{A}}. Тому\hat{\mathbf{A}}=\overrightarrow{\mathbf{A}} /|\overrightarrow{\mathbf{A}}|=(2 \hat{\mathbf{i}}+-3 \hat{\mathbf{j}}+7 \hat{\mathbf{k}}) / \sqrt{62} \nonumber
(f)
Аналогічним чином,\hat{\mathbf{B}}=\overrightarrow{\mathbf{B}} /|\overrightarrow{\mathbf{B}}|=(5 \hat{\mathbf{i}}+\hat{\mathbf{j}}+2 \hat{\mathbf{k}}) / \sqrt{30}
Приклад 3.2 Затонуючий вітрильник
Корабель берегової охорони розташований в 35 км від контрольно-пропускного пункту в напрямку на52^{\circ} північ від заходу. Проблемний вітрильник, розташований у негазованій воді за 24 км від того ж контрольно-пропускного пункту в напрямку на18^{\circ} південь від сходу, ось-ось потоне. Намалюйте схему із зазначенням положення обох кораблів. В якому напрямку і як далеко повинен проїхати корабель берегової охорони, щоб дістатися до вітрильника?
Рішення
Схема настройки - рис. 3.17.
Виберіть контрольну точку як початок декартової системи координат з додатною віссю x у східному напрямку та додатною віссю y —у напрямку на північ. Виберіть відповідні вектори одиниць\hat{\mathbf{i}} і\hat{\mathbf{j}} як показано на малюнку 3.18. Корабель берегової охорони тоді відстаньr = 35 км під кутом\theta_{1}=180^{\circ}-52^{\circ}=128^{\circ} від позитивної осі х, положення корабля берегової охорони
\ [\ почати {вирівняний}
&\ переправа стрілка {\ mathbf {r}} _ {1} =r_ {1}\ ліворуч (\ cos\ theta_ {1}\ hat {\ mathbf {i}} +\ sin\ theta_ {1}\ капелюх {\ mathbf {j}}\ праворуч)\\
&\ переправа стрілка {\ mathbf {\ mathbf {bf {r}} =-21.5\ матхм {км}\ hat {\ mathbf {i}} +27,6\ математика {км}\ hat {\ mathbf {j}}
\ кінець {вирівняний}\ nonumber\] і позиція вітрильника є\ [\ begin {масив} {l}
\ overrightarrow {\ mathbf {r}} _ {2} =r_ {2}\ лівий (\ cos\ theta_ {2}\ hat {\ mathbf {i}} +\ sin\ theta_ {2}\ hat {\ mathbf {j}}\ праворуч)
\\ переправа стрілка {\ mathbf {r}} _ {2} =22,8\ математична {км}\ hat {\ mathbf {i}} -7.4\ mathrm {км}\ hat {\ mathbf {j}}
\ end {масив}\ nonumber\]
Вектор відносного положення від корабля берегової охорони до вітрильника (рис. 3.19)\ [\ begin {вирівняний}
&\ overrightarrow {\ mathbf {r}} _ {2} -\ overrightarrow {\ mathbf {r}} _ {1} =( 22.8\ mathrm {км}\ hat {\ mathbf {i}} -7.4\ mathrm m {км}\ hat {\ mathbf {j}}) - (-21.5\ матхм {км}\ капелюх {\ mathbf {i}} +27,6\ матхрм {км}\ шапка {\ mathbf {j}})\\
&\ переправа стрілка {\ mathbf {r}} _ {2} -\ переправа стрілка {\ mathbf {r}} _ {1} =44.4\ математика {км}\ hat {\ mathbf {i}} -35.0\ mathrm {км}\ капелюх {\ mathbf {j}}
\ end {aligned}\ nonumber\] Відстань між кораблем і вітрильником є\left|\overrightarrow{\mathbf{r}}_{2}-\overrightarrow{\mathbf{r}}_{1}\right|=\left((44.4 \mathrm{km})^{2}+(-35.0 \mathrm{km})^{2}\right)^{1 / 2}=56.5 \mathrm{km} \nonumber . обернений тангенс співвідношення y - і x - складових вектора взаємного положення,\theta_{21}=\tan ^{-1}(-35.0 \mathrm{km} / 44.4 \mathrm{km})=-38.3^{\circ} \nonumber або на38.3^{\circ} південь від сходу.
Приклад 3.3: Додавання векторів
Два вектори\overrightarrow{\mathbf{A}} і\overrightarrow{\mathbf{B}}, такі|\overrightarrow{\mathbf{B}}|=2|\overrightarrow{\mathbf{A}}|, що мають результуючу\overrightarrow{\mathbf{C}}=\overrightarrow{\mathbf{A}}+\overrightarrow{\mathbf{B}} величину 26,5. Вектор\overrightarrow{\mathbf{C}} робить кут\theta_{c} = 41^{\circ} по відношенню до вектора\overrightarrow{\mathbf{A}}. Знайти величину кожного вектора і кут між векторами\overrightarrow{\mathbf{A}} і\overrightarrow{\mathbf{B}}.
Рішення: Ми починаємо з створення ескізу трьох векторів, вибираючи точку\overrightarrow{\mathbf{A}} в додатному напрямку x (рис. 3.20).
Позначимо величину\overrightarrow{\mathbf{C}} поC \equiv|\overrightarrow{\mathbf{C}}|=\sqrt{\left(C_{x}\right)^{2}+\left(C_{y}\right)^{2}}=26.5. Складові\overrightarrow{\mathbf{C}}=\overrightarrow{\mathbf{A}}+\overrightarrow{\mathbf{B}} частини наведені
C_{x}=A_{x}+B_{x}=C \cos \theta_{C}=(26.5) \cos \left(41^{\circ}\right)=20 \nonumber
C_{y}=B_{y}=C \sin \theta_{C}=(26.5) \sin \left(41^{\circ}\right)=17.4. \nonumber
З тієї умови|\overrightarrow{\mathbf{B}}|=2|\overrightarrow{\mathbf{A}}|, що квадрат їх величин задовольняє
\left(B_{x}\right)^{2}+\left(B_{y}\right)^{2}=4\left(A_{x}\right)^{2}. \nonumber
Використовуючи рівняння (3.3.17) та (3.3.18), рівняння (3.3.19) стає\left(C_{x}-A_{x}\right)^{2}+\left(C_{y}\right)^{2}=4\left(A_{x}\right)^{2} \nonumber
\left(C_{x}\right)^{2}-2C_{x}A_{x}+\left(A_{x}\right)^{2}+\left(C_{y}\right)^{2}=4\left(A_{x}\right)^{2} \nonumber
Це квадратне рівняння
0=3\left(A_{x}\right)^{2}+2 C_{x} A_{x}-C^{2} \nonumber
які ми вирішуємо для компонентаA_{x}:
A_{x}=\frac{-2 C_{x} \pm \sqrt{\left(2 C_{x}\right)^{2}+(4)(3)\left(C^{2}\right)}}{6}=\frac{-2(20) \pm \sqrt{(40))^{2}+(4)(3)(26.5)^{2}}}{6}=10.0 \nonumber
де ми вибираємо позитивний квадратний корінь, тому що ми спочатку вибралиA_{x} > 0. Потім компоненти\overrightarrow{\mathbf{B}} задаються рівняннями (3.3.17) та (3.3.18):
B_{x}=C_{x}-A_{x}=20.0-10.0=10.0 \nonumber B_{.}=17.4 \nonumber
Величина|\overrightarrow{\mathbf{B}}|=\sqrt{\left(B_{x}\right)^{2}+\left(B_{y}\right)^{2}}=20.0 якого дорівнює двократній величині|\overrightarrow{\mathbf{A}}|=10.0. Кут між\overrightarrow{\mathbf{A}} і\overrightarrow{\mathbf{B}} задається
\theta=\sin ^{-1}\left(B_{y} /|\overrightarrow{\mathbf{B}}|\right)=\sin ^{-1}(17.4 / 20.0 \mathrm{N})=60^{\circ} \nonumber
Приклад 3.4 Векторний опис точки на прямій
Розглянемо дві точки,P_{1} з координатами(x_{1}, y_{1}) іP_{2} з координатами(x_{1}, y_{1}) розділені відстаннюd. Знайдіть вектор\overrightarrow{\mathbf{A}} від початку до точки на лінії, що з'єднує P_{1}іP_{2} що знаходиться на відстаніa від точкиP_{2} (рис. 3.21).
Рішення
\overrightarrow{\mathbf{r}}_{1}=x_{1} \hat{\mathbf{i}}+y_{1} \hat{\mathbf{j}}Дозволяти бути вектор\overrightarrow{\mathbf{r}}_{2}=x_{2} \hat{\mathbf{i}}+y_{2} \hat{\mathbf{j}} положенняP_{1} і вектор положенняP_{2}. \overrightarrow{\mathbf{r}}_{1}-\overrightarrow{\mathbf{r}}_{2}Дозволяти вектор відP_{2} доP_{1} (рис. 3.22а). Одиничний вектор, що вказує відP_{2} доP_{1}, задається
\hat{\mathbf{r}}_{21}=\left(\overrightarrow{\mathbf{r}}_{1}-\overrightarrow{\mathbf{r}}_{2}\right) /\left|\overrightarrow{\mathbf{r}}_{1}-\overrightarrow{\mathbf{r}}_{2}\right|=\left(\overrightarrow{\mathbf{r}}_{1}-\overrightarrow{\mathbf{r}}_{2}\right) / d, деd=\left(\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}\right)^{1 / 2}
Вектор\overrightarrow{\mathbf{s}} на малюнку 3.22b з'єднується\overrightarrow{\mathbf{A}} з точкою в\overrightarrow{\mathbf{r_{1}}}, точки в напрямку\overrightarrow{\mathbf{r_{12}}} і має довжинуa. Тому\overrightarrow{\mathbf{s}}=a \hat{\mathbf{r}}_{21}=a\left(\overrightarrow{\mathbf{r}}_{1}-\overrightarrow{\mathbf{r}}_{2}\right) / d. Вектор\overrightarrow{\mathbf{r}}_{1}=\overrightarrow{\mathbf{A}}+\overrightarrow{\mathbf{s}}. Тому\overrightarrow{\mathbf{A}}=\overrightarrow{\mathbf{r}}_{1}-\overrightarrow{\mathbf{s}}=\overrightarrow{\mathbf{r}}_{1}-a\left(\overrightarrow{\mathbf{r}}_{1}-\overrightarrow{\mathbf{r}}_{2}\right) / d=(1-a / d) \overrightarrow{\mathbf{r}}_{1}+(a / d) \overrightarrow{\mathbf{r}}_{2} \nonumber \overrightarrow{\mathbf{A}}=(1-a / d)\left(x_{1} \hat{\mathbf{i}}+y_{1} \hat{\mathbf{j}}\right)+(a / d)\left(x_{2} \hat{\mathbf{i}}+y_{2} \hat{\mathbf{j}}\right) \nonumber \overrightarrow{\mathbf{A}}=\left(x_{1}+\frac{a\left(x_{2}-x_{1}\right)}{\left(\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}\right)^{1 / 2}}\right) \hat{\mathbf{i}}+\left(y_{1}+\frac{a\left(y_{2}-y_{1}\right)}{\left(\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}\right)^{1 / 2}}\right) \hat{\mathbf{j}} \nonumber
Перетворення векторів в обертових системах координат
Розглянемо дві декартові системи координатS іS' такі, щоб осі(x', y') координат в булиS' повернуті на кут \theta по відношенню до осей(x, y) координат вS, (рис. 3.23).
Складові одиничного вектора\hat{\mathbf{i^{\prime}}} в\hat{\mathbf{j}} напрямку\hat{\mathbf{i}} і задаються
i_{x}^{\prime}=\left|\hat{\mathbf{i}}^{\prime}\right| \cos \theta=\cos \theta \nonumber
і
i_{y}^{\prime}=\left|\hat{\mathbf{i}}^{\prime}\right| \sin \theta=\sin \theta. \nonumber
Тому
\hat{\mathbf{i}}^{\prime}=i_{x}^{\prime} \hat{\mathbf{i}}+i_{y}^{\prime} \hat{\mathbf{j}}=\hat{\mathbf{i}} \cos \theta+\hat{\mathbf{j}} \sin \theta \nonumber
Аналогічний аргумент має місце для компонентів вектора одиниць\hat{\mathbf{j^{'}}}. Складові\hat{\mathbf{j^{'}}} в\hat{\mathbf{i}} і\hat{\mathbf{j}} напрямку задаються
j_{x}^{\prime}=-\left|\hat{\mathbf{j}}^{\prime}\right| \sin \theta=-\sin \theta \nonumber
і
j_{y}^{\prime}=\left|\hat{\mathbf{j}}^{\prime}\right| \cos \theta=\cos \theta. \nonumber
Тому
\hat{\mathbf{j}^{\prime}}=j_{x}^{\prime} \hat{\mathbf{i}}+j_{y}^{\prime} \hat{\mathbf{j}}=\hat{\mathbf{j}} \cos \theta-\hat{\mathbf{i}} \sin \theta \nonumber
І навпаки, з малюнка 3.23 та аналогічних аргументів векторного розкладання компоненти (\ hat {\ mathbf {i}}\) та (\ hat {\ mathbf {j}}\)S' задаються у
\hat{\mathbf{i}}=\hat{\mathbf{i}}^{\prime} \cos \theta-\hat{\mathbf{j}}^{\prime} \sin \theta \nonumber \hat{\mathbf{j}}=\hat{\mathbf{i}}^{\prime} \sin \theta+\hat{\mathbf{j}}^{\prime} \cos \theta \nonumber
Розглянемо фіксований вектор\overrightarrow{\mathbf{r}}=x \hat{\mathbf{i}}+y \hat{\mathbf{j}} з компонентами(x, y) в системі координатS. У системіS' координат вектор задається тим\overrightarrow{\mathbf{r}}=x^{\prime} \hat{\mathbf{i}}^{\prime}+y^{\hat{\prime}} \hat{\mathbf{j}}^{\prime}, \text { where }\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right), де(x',y') знаходяться компоненти вS', (рис. 3.24).
Використовуючи рівняння (3.3.20) та (3.3.21), ми маємо це
\ [\ почати {масив} {l}
\ overrightarrow {\ mathbf {r}} =x\ hat {\ mathbf {i}} +y\ hat {\ mathbf {j}} = х\ ліворуч (\ капелюх {\ mathbf {i}} ^ {\ прайм}\ cos\ тета-\ капелюх {\ mathbf {j}} ^ {\ правий}\ sin\ тета\ праворуч) +у\ лівий (\ hat {\ mathbf {j}}} ^ {\ прайм}\ cos\ theta+\ hat {\ mathbf {i}} ^ {\ прайм}\ sin\ тета\ праворуч)\
\ overrightarrow { \ mathbf {r}} = (х\ cos\ тета+у\ сін\ тета)\ капелюх {\ mathbf {i}} ^ {\ прайм} + (х\ sin\ тета-у\ cos\ тета)\ капелюх {\ mathbf {j}} ^ {\ прайм}\ кінець {масив}\ nonumber\]
Тому компоненти вектора трансформуються відповідно до
x^{\prime}=x \cos \theta+y \sin \theta \nonumber
y^{\prime}=x \sin \theta-y \cos \theta \nonumber
Розглянуто альтернативний підхід до розуміння законів трансформації складових вектора положення нерухомої точки в просторі. У системі координат припустимоS, що вектор положення\overrightarrow{\mathbf{r}} має довжинуr=|\overrightarrow{\mathbf{r}}| і робить кут \phi по відношенню до позитивноїx -осі (рис. 3.25).
Потім компоненти\overrightarrow{\mathbf{r}} inS задаються поx=r \cos \phi \nonumber y=r \sin \phi \nonumber . У системіS' координат компоненти\overrightarrow{\mathbf{r}} задаються
x^{\prime}=r \cos (\phi-\theta) \nonumber y^{\prime}=r \sin (\phi-\theta) \nonumber
Застосувати додавання кутових тригонометричних тотожностей до рівнянь (3.3.29) та (3.3.30), що дають
x^{\prime}=r \cos (\phi-\theta)=r \cos \phi \cos \theta+r \sin \phi \sin \theta=x \cos \theta+y \sin \theta \nonumber
y^{\prime}=r \sin (\phi-\theta)=r \sin \phi \cos \theta-r \cos \phi \sin \theta=y \cos \theta-x \sin \theta \nonumber
відповідно до Рівняння (3.3.25) і (3.3.26).
Приклад 3.5 Векторне розкладання в повернутих системах координат
Стосовно заданої декартової системиS координат вектор\overrightarrow{\mathbf{A}} має компонентиA_{x} = 5,A_{y} = -3,A_{z} = 0. Розглянемо другу систему координатS' таким чином, щоб осі(x',y' координат вS' поверталися на кут \theta = 60^{\circ} по відношенню до осей(x, y) координат вS, (рис. 3.26).
- Які складовіA_{x} та A_{y}вектори\overrightarrow{\mathbf{A}} в системі координатS'?
- Обчисліть величину вектора за допомогою(A_{x}, A_{y})компонентів і за допомогою(A_{x}, A_{y})компонентів. Чи погоджується ваш результат з тим, що ви очікуєте?
Рішення:
Почнемо\overrightarrow{\mathbf{A}} з розгляду векторного розкладання по відношенню до системи координатS,\overrightarrow{\mathbf{A}}=A_{x} \hat{\mathbf{i}}+A_{y} \hat{\mathbf{j}} \nonumber Тепер ми можемо використовувати наші результати для перетворення одиничних векторів\overrightarrow{\mathbf{i}} і\overrightarrow{\mathbf{j}} через\overrightarrow{\mathbf{i^{'}}} і\overrightarrow{\mathbf{j^{'}}}, (Рівняння (3.3.22) і (3.3.23)) в порядок розкладання вектора\overrightarrow{\mathbf{A}} в системі координатS'
\ [\ почати {масив} {l}
\ overrightarrow {\ mathbf {A}} =A\ капелюх {\ mathbf {i}} +A_ {y}\ hat {\ mathbf {j}} =A_ {x}\ ліворуч (\ cos\ тета\ шапка {\ mathbf {i}} ^ {\ прайм} -\ sin\ тета\ капелюх {\ тета\ капелюх {я}} ^ {\ прайм} -\ син\ тета\ капелюх {\ mathbf {j}} ^ {\ прайм}\ праворуч) +A_ {y}\ лівий (\ sin\ тета\ капелюх {\ mathbf {i}} ^ {\ прайм} +\ cos\ тета\ капелюх {\ mathbf {j}} ^ {\ прайм}\ право)\\
=\ ліворуч (A_ {x}\ cos\ theta+A_ {y}\ sin\ тета\ справа)\ капелюх {\ mathbf {i}} ^ {\ прайм} +\ лівий (-A_ {x}\ sin\ theta+A_ {y}\ cos\ тета\ праворуч)\ капелюх {\ mathbf {j}} ^ {\ прайм}\
=A_ {x}\ hat {\ mathbf {i}} +A_ {y}\ hat {\ mathbf {j}}
\ кінець {масив}\ nonumber\]
де
A_{x^{\prime}}=A_{x} \cos \theta+A_{y} \sin \theta \nonumber A_{y^{\prime}}=-A_{x} \sin \theta+A_{y} \cos \theta \nonumber
Тепер ми використовуємо задану інформаціюA_{x} = 5, щоA_{y} = -3, і \theta = 60^{\circ} вирішити для компонентів\overrightarrow{\mathbf{A}} в системі координатS'
A_{x^{\prime}}=A_{x} \cos \theta+A_{y} \sin \theta=(1 / 2)(5-3 \sqrt{3}) \nonumber
A_{y^{\prime}}=-A_{x} \sin \theta+A_{y} \cos \theta=(1 / 2)(-5 \sqrt{3}-3) \nonumber
б) Величина може бути розрахована в будь-якій системі координат
|\overrightarrow{\mathbf{A}}|=\sqrt{\left(A_{x}\right)^{2}+\left(A_{y}\right)^{2}}=\sqrt{(5)^{2}+(-3)^{2}}=\sqrt{34} \nonumber
|\overrightarrow{\mathbf{A}}|=\sqrt{\left(A_{x^{\prime}}\right)^{2}+\left(A_{y^{\prime}}\right)^{2}}=\sqrt{((1 / 2)(5-3 \sqrt{3}))^{2}+((1 / 2)(-5 \sqrt{3}-3))^{2}}=\sqrt{34} \nonumber
Цей результат узгоджується з тим, що я очікую, оскільки довжина вектора не\overrightarrow{\mathbf{A}} залежить від вибору системи координат.