Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

3.3: Вектори

Використання векторів у фізиці

З останнього розділу ми маємо три важливі ідеї щодо векторів:

  1. вектори можуть існувати в будь-якійP точці простору,
  2. вектори мають напрямок і величину, і
  3. будь-які два вектори, які мають однаковий напрямок і величину, рівні незалежно від того, де в просторі вони розташовані.

Коли ми застосовуємо вектори до фізичних величин, приємно тримати в задній частині нашого розуму всі ці формальні властивості. Однак, з точки зору фізика, ми зацікавлені у представленні фізичних величин, таких як переміщення, швидкість, прискорення, сила, імпульс та імпульс, як вектори. Ми не можемо додати силу до швидкості або відняти імпульс від сили. Ми завжди повинні розуміти фізичний контекст для векторної величини. Таким чином, замість того, щоб наближатися до векторів як формальних математичних об'єктів, ми натомість розглянемо наступні істотні властивості, які дозволяють нам представляти фізичні величини як вектори.

Вектори в декартових координатах

Векторне розкладання

Виберіть систему координат з початковим, осями та векторами одиниць. Ми можемо розкласти вектор на складові вектори уздовж кожної осі координат (рис. 3.14).

3.14. Свг
Рисунок 3.14 Вектори компонентів в декартових координатах. (CC BY-NC; Відповідальний)

ВекторA на P можна розкласти на векторну суму,

A=Ax+Ay+Az

деAx -x компонентний вектор, що вказує на позитивне або негативнеx -напрямок,Ay - це векторy -компонент, що вказує на позитивний або негативнийy -напрямок, іAz -z компонент вектор, що вказує на позитивний або негативний z-напрямок.

Векторні компоненти

Після того, як ми визначили(ˆi,ˆj,ˆk) одиничні вектори, ми визначаємо компоненти вектора. Нагадаємо наше векторне розкладання,A=Ax+Ay+Az. ми визначаємоx -компонентний вектор,Ax, так якAx=Axˆi. в цьому виразі термінAx (без стрілки вище) називаєтьсяx -компонентомAx. вектора.x -компонентAx може бути позитивним, нульовий, або негативний. Це не величинаAx якої задається(A2x)1/2. x-componentAx - це скалярна величина, а вектор x -компонентAx - вектор. Аналогічним чином ми визначаємоy -компонентAy, іz -компонент вектораA відповідно доAz

Ay=Ayˆj,Az=Azˆk.

ВекторA представлений трьома його складовими(Ax,Ay,Az). Таким чином, нам потрібно три числа для опису вектора в тривимірному просторі. Записуємо векторA як

A=Axˆi+Ayˆj+Azˆk

Величина

Використовуючи теорему Піфагора, величинаA є,A=A2x+A2y+A2z

Напрямок

Розглянемо векторA=(Ax,Ay,0). Оскількиz -компонент дорівнює нулю, векторA лежить уxy площині. θПозначимо кут, який векторA робить в напрямку проти годинникової стрілки з позитивноюx -віссю (рис. 3.15).

3.15. Свг
Малюнок 3.15 Складові вектора в xy -площині. (CC BY-NC; Відповідальний)

Тодіx -компонент іy -компонентAr=Acos(θ),Ay=Asin(θ) Ми тепер пишемо вектор вxy -plane як

A=Acos(θ)ˆi+Asin(θ)ˆj

Після того, як компоненти вектора відомі, тангенс кутаθ можна визначити за

AyAx=Asin(θ)Acos(θ)=tan(θ)і, отже, кутθ задаєтьсяθ=tan1(AyAx)

Зрозуміло, що напрямок вектора залежить від знакаAx іAy. Наприклад, якщо і те,Ax>0 і іншеAy>0, то0<θ<π/2. ЯкщоAx<0 іAy>0 тодіπ/2<θ<π. ЯкщоAx<0 іAy<0 тодіπ<θ<3π/2. ЯкщоAx>0 і\ (A
{y} <0\), то3π/2<θ<2. Зверніть увагу, що tanθ є подвійним значенням функції, оскільки

AyAx=AyAx, and AyAx=AyAx

Одиниця Вектори

Одиничний вектор у напрямкуA: ДозволятиA=Axˆi+Avˆj+A7ˆk. AДозволяти позначити одиничний вектор в напрямкуA. Потім,ˆA=A|A|=Axˆi+Ayˆj+Azˆk(A2x+A2y+A2z)1/2

Векторне додавання

BДозволятиA і бути два вектори вxy площині. НехайθA іθB позначають кути, які векториA іB роблять (в напрямку проти годинникової стрілки) з позитивноюx -віссю. Потім\ [
\ overrightarrow {\ mathbf {A}} =A\ cos\ left (\ theta_ {A}\ праворуч)\ hat {\ mathbf {i}} +A\ sin\ left (\ theta_ {A}\ право)\ hat {\ mathbf {j}}\ nonumber\]B=Bcos(θB)ˆi+Bsin(θB)ˆj На малюнку 3.16C=A+B показано додавання вектора. ДозвольтеθC позначити кут, який векторC робить з позитивноюx -віссю.

3.16. Свг
Малюнок 3.16 Додавання векторів за допомогою компонентів. (CC BY-NC; Відповідальний)

З малюнка 3.16, компонентиC є ЗCx=Ax+Bx,Cy=Ay+By точки зору величин і кутів, ми маємо

\ [\ почати {масив} {l}
C_ {x} =C\ cos\ ліворуч (\ theta_ {C}\ праворуч) =A\ cos\ ліворуч (\ theta_ {A}\ праворуч) +B\ cos\ ліворуч (\ theta_ {B}\ праворуч)\\
C_ {y} =C\ sin\ ліворуч (\ theta_ {C}\ праворуч) =A\ sin\\ left (\ theta_ {A}\ право) +B\ sin\ left (\ theta_ {B}\ право)
\ end {масив}\ nonumber\] Ми можемо записати вектор CякC=(Ax+Bx)ˆi+(Ay+By)ˆj=Ccos(θC)ˆi+Csin(θC)ˆj

Приклад 3.1: Додавання векторів

За даними двох векторівA=2ˆi+3ˆj+7ˆkandB=5ˆi+ˆj+2ˆk, знайти: (a)|A|; (b)|B|; (c)A+B; (d)AB; (e) одиничний вектор,ˆA що вказує у напрямкуA; (f) одиничний вектор,ˆB що вказує у напрямкуB;

Рішення

(а)

|A|=(22+(3)2+72)1/2=62=7.87.

(б)

|B|=(52+12+22)1/2=30=5.48.

(c)

\ (\ почати {вирівняний}
\ переправо стрілка {\ mathbf {A}} +\ переправа стрілка {\ mathbf {B}} &=\ ліворуч (A_ {x} +B_ {x}\ праворуч)\ капелюх {\ mathbf {i}} +\ ліворуч (A_ {y} +B_ {y}\ праворуч)\ капелюх {\ mathbf {i}} +\ ліворуч (A_ {y} +B_ {y}\ праворуч)\ капелюх {\ mathbf {i}} f {j}} +\ лівий (A_ {z} +B_ {z}\ праворуч)\ капелюх {\ mathbf {k}}\\
& =( 2+5)\ капелюх {\ mathbf {i}} + (-3+1)\ капелюх {\ mathbf {j}} + (7+2)\ капелюх {\ mathbf {k}} \\
&=7\ капелюх {\ mathbf {i}} -2\ капелюх {\ mathbf {j}} +9\ капелюх {\ mathbf {k}}
\ кінець {вирівняний}\ nonumber\)

(г)

\ (\ почати {вирівняний}
\ переправа стрілка {\ mathbf {A}} -\ переправа стрілка {\ mathbf {B}} &=\ ліворуч (A_ {x} -B_ {x}\ праворуч)\ капелюх {\ mathbf {i}} +\ ліворуч (A_ {y} -B_ {y}\ праворуч)\ капелюх {\ mathbf {i}} +\ ліворуч (A_ {y} -B_ {y}\ праворуч)\ капелюх {\ mathbf {i}} f {j}} +\ лівий (A_ {z} -B_ {z}\ праворуч)\ капелюх {\ mathbf {k}}\\
& =( 2-5)\ капелюх {\ mathbf {i}} + (-3-1)\ капелюх {\ mathbf {j}} + (7-2)\ капелюх {\ mathbf {k}} \\
&=-3\ капелюх {\ mathbf {i}} -4\ капелюх {\ mathbf {j}} +5\ капелюх {\ mathbf {k}}
\ кінець {вирівняний}\)

(е)

ˆAОдиничний вектор в напрямкуA можна знайти шляхом ділення вектораA на величинуA. ТомуˆA=A/|A|=(2ˆi+3ˆj+7ˆk)/62

(f)

Аналогічним чином,ˆB=B/|B|=(5ˆi+ˆj+2ˆk)/30

Приклад 3.2 Затонуючий вітрильник

Корабель берегової охорони розташований в 35 км від контрольно-пропускного пункту в напрямку на52 північ від заходу. Проблемний вітрильник, розташований у негазованій воді за 24 км від того ж контрольно-пропускного пункту в напрямку на18 південь від сходу, ось-ось потоне. Намалюйте схему із зазначенням положення обох кораблів. В якому напрямку і як далеко повинен проїхати корабель берегової охорони, щоб дістатися до вітрильника?

Рішення

Схема настройки - рис. 3.17.

3.17. Свг
Малюнок 3.17 Приклад 3.2. (CC BY-NC; Відповідальний)
3.18 свг
Малюнок 3.18 Система координат для вітрильника та корабля. (CC BY-NC; Відповідальний)

Виберіть контрольну точку як початок декартової системи координат з додатною віссю x у східному напрямку та додатною віссю y —у напрямку на північ. Виберіть відповідні вектори одиницьˆi іˆj як показано на малюнку 3.18. Корабель берегової охорони тоді відстаньr=35 км під кутомθ1=18052=128 від позитивної осі х, положення корабля берегової охорони

\ [\ почати {вирівняний}
&\ переправа стрілка {\ mathbf {r}} _ {1} =r_ {1}\ ліворуч (\ cos\ theta_ {1}\ hat {\ mathbf {i}} +\ sin\ theta_ {1}\ капелюх {\ mathbf {j}}\ праворуч)\\
&\ переправа стрілка {\ mathbf {\ mathbf {bf {r}} =-21.5\ матхм {км}\ hat {\ mathbf {i}} +27,6\ математика {км}\ hat {\ mathbf {j}}
\ кінець {вирівняний}\ nonumber\] і позиція вітрильника є\ [\ begin {масив} {l}
\ overrightarrow {\ mathbf {r}} _ {2} =r_ {2}\ лівий (\ cos\ theta_ {2}\ hat {\ mathbf {i}} +\ sin\ theta_ {2}\ hat {\ mathbf {j}}\ праворуч)
\\ переправа стрілка {\ mathbf {r}} _ {2} =22,8\ математична {км}\ hat {\ mathbf {i}} -7.4\ mathrm {км}\ hat {\ mathbf {j}}
\ end {масив}\ nonumber\]

3.19. Свг
Малюнок 3.19 Вектор відносного положення від корабля до вітрильника. (CC BY-NC; Відповідальний)

Вектор відносного положення від корабля берегової охорони до вітрильника (рис. 3.19)\ [\ begin {вирівняний}
&\ overrightarrow {\ mathbf {r}} _ {2} -\ overrightarrow {\ mathbf {r}} _ {1} =( 22.8\ mathrm {км}\ hat {\ mathbf {i}} -7.4\ mathrm m {км}\ hat {\ mathbf {j}}) - (-21.5\ матхм {км}\ капелюх {\ mathbf {i}} +27,6\ матхрм {км}\ шапка {\ mathbf {j}})\\
&\ переправа стрілка {\ mathbf {r}} _ {2} -\ переправа стрілка {\ mathbf {r}} _ {1} =44.4\ математика {км}\ hat {\ mathbf {i}} -35.0\ mathrm {км}\ капелюх {\ mathbf {j}}
\ end {aligned}\ nonumber\] Відстань між кораблем і вітрильником є|r2r1|=((44.4km)2+(35.0km)2)1/2=56.5km. обернений тангенс співвідношення y - і x - складових вектора взаємного положення,θ21=tan1(35.0km/44.4km)=38.3 або на38.3 південь від сходу.

Приклад 3.3: Додавання векторів

Два векториA іB, такі|B|=2|A|, що мають результуючуC=A+B величину 26,5. ВекторC робить кутθc=41 по відношенню до вектораA. Знайти величину кожного вектора і кут між векторамиA іB.

Рішення: Ми починаємо з створення ескізу трьох векторів, вибираючи точкуA в додатному напрямку x (рис. 3.20).

3.20.свг
Малюнок 3.20: Вибір системи координат для Приклад 3.3. (CC BY-NC; Відповідальний)

Позначимо величинуC поC|C|=(Cx)2+(Cy)2=26.5. СкладовіC=A+B частини наведені

Cx=Ax+Bx=CcosθC=(26.5)cos(41)=20

Cy=By=CsinθC=(26.5)sin(41)=17.4.

З тієї умови|B|=2|A|, що квадрат їх величин задовольняє

(Bx)2+(By)2=4(Ax)2.

Використовуючи рівняння (3.3.17) та (3.3.18), рівняння (3.3.19) стає(CxAx)2+(Cy)2=4(Ax)2

(Cx)22CxAx+(Ax)2+(Cy)2=4(Ax)2

Це квадратне рівняння

0=3(Ax)2+2CxAxC2

які ми вирішуємо для компонентаAx:

Ax=2Cx±(2Cx)2+(4)(3)(C2)6=2(20)±(40))2+(4)(3)(26.5)26=10.0

де ми вибираємо позитивний квадратний корінь, тому що ми спочатку вибралиAx>0. Потім компонентиB задаються рівняннями (3.3.17) та (3.3.18):

Bx=CxAx=20.010.0=10.0B.=17.4

Величина|B|=(Bx)2+(By)2=20.0 якого дорівнює двократній величині|A|=10.0. Кут міжA іB задається

θ=sin1(By/|B|)=sin1(17.4/20.0N)=60

Приклад 3.4 Векторний опис точки на прямій

Розглянемо дві точки,P1 з координатами(x1,y1) іP2 з координатами(x1,y1) розділені відстаннюd. Знайдіть векторA від початку до точки на лінії, що з'єднує P1іP2 що знаходиться на відстаніa від точкиP2 (рис. 3.21).

3.21. Свг
Малюнок3.3.21: Приклад 3.4. (CC BY-NC; Відповідальний)

Рішення

r1=x1ˆi+y1ˆjДозволяти бути векторr2=x2ˆi+y2ˆj положенняP1 і вектор положенняP2. r1r2Дозволяти вектор відP2 доP1 (рис. 3.22а). Одиничний вектор, що вказує відP2 доP1, задається

ˆr21=(r1r2)/|r1r2|=(r1r2)/d, деd=((x2x1)2+(y2y1)2)1/2

3.22a.svg
Малюнок 3.22a: Вектор відносного положення
3.22b.svg
Малюнок 3.22b: Вектор відносного положення

Векторs на малюнку 3.22b з'єднуєтьсяA з точкою вr1, точки в напрямкуr12 і має довжинуa. Томуs=aˆr21=a(r1r2)/d. Векторr1=A+s. ТомуA=r1s=r1a(r1r2)/d=(1a/d)r1+(a/d)r2A=(1a/d)(x1ˆi+y1ˆj)+(a/d)(x2ˆi+y2ˆj)A=(x1+a(x2x1)((x2x1)2+(y2y1)2)1/2)ˆi+(y1+a(y2y1)((x2x1)2+(y2y1)2)1/2)ˆj

Перетворення векторів в обертових системах координат

Розглянемо дві декартові системи координатS іS такі, щоб осі(x,y) координат в булиS повернуті на кутθ по відношенню до осей(x,y) координат вS, (рис. 3.23).

3.23. Свг
Малюнок 3.23: Повернуті системи координат. (CC BY-NC; Відповідальний)

Складові одиничного вектора^i вˆj напрямкуˆi і задаються

ix=|ˆi|cosθ=cosθ

і

iy=|ˆi|sinθ=sinθ.

Тому

ˆi=ixˆi+iyˆj=ˆicosθ+ˆjsinθ

Аналогічний аргумент має місце для компонентів вектора одиниць^j. Складові^j вˆi іˆj напрямку задаються

jx=|ˆj|sinθ=sinθ

і

jy=|ˆj|cosθ=cosθ.

Тому

^j=jxˆi+jyˆj=ˆjcosθˆisinθ

І навпаки, з малюнка 3.23 та аналогічних аргументів векторного розкладання компоненти (\ hat {\ mathbf {i}}\) та (\ hat {\ mathbf {j}}\)S задаються у

ˆi=ˆicosθˆjsinθˆj=ˆisinθ+ˆjcosθ

Розглянемо фіксований векторr=xˆi+yˆj з компонентами(x,y) в системі координатS. У системіS координат вектор задається тимr=xˆi+yˆˆj, where (x,y), де(x,y) знаходяться компоненти вS, (рис. 3.24).

3.24.svg
Малюнок 3.24: Трансформація векторних компонентів. (CC BY-NC; Відповідальний)

Використовуючи рівняння (3.3.20) та (3.3.21), ми маємо це

\ [\ почати {масив} {l}
\ overrightarrow {\ mathbf {r}} =x\ hat {\ mathbf {i}} +y\ hat {\ mathbf {j}} = х\ ліворуч (\ капелюх {\ mathbf {i}} ^ {\ прайм}\ cos\ тета-\ капелюх {\ mathbf {j}} ^ {\ правий}\ sin\ тета\ праворуч) +у\ лівий (\ hat {\ mathbf {j}}} ^ {\ прайм}\ cos\ theta+\ hat {\ mathbf {i}} ^ {\ прайм}\ sin\ тета\ праворуч)\
\ overrightarrow { \ mathbf {r}} = (х\ cos\ тета+у\ сін\ тета)\ капелюх {\ mathbf {i}} ^ {\ прайм} + (х\ sin\ тета-у\ cos\ тета)\ капелюх {\ mathbf {j}} ^ {\ прайм}\ кінець {масив}\ nonumber\]

Тому компоненти вектора трансформуються відповідно до

x=xcosθ+ysinθ

y=xsinθycosθ

Розглянуто альтернативний підхід до розуміння законів трансформації складових вектора положення нерухомої точки в просторі. У системі координат припустимоS, що вектор положенняr має довжинуr=|r| і робить кутϕ по відношенню до позитивноїx -осі (рис. 3.25).

3.25 свг
Малюнок 3.25: Трансформація векторних складових вектора положення. (CC BY-NC; Відповідальний)

Потім компонентиr inS задаються поx=rcosϕy=rsinϕ. У системіS координат компонентиr задаються

x=rcos(ϕθ)y=rsin(ϕθ)

Застосувати додавання кутових тригонометричних тотожностей до рівнянь (3.3.29) та (3.3.30), що дають

x=rcos(ϕθ)=rcosϕcosθ+rsinϕsinθ=xcosθ+ysinθ

y=rsin(ϕθ)=rsinϕcosθrcosϕsinθ=ycosθxsinθ

відповідно до Рівняння (3.3.25) і (3.3.26).

Приклад 3.5 Векторне розкладання в повернутих системах координат

Стосовно заданої декартової системиS координат векторA має компонентиAx=5,Ay=3,Az=0. Розглянемо другу систему координатS таким чином, щоб осі(x,y координат вS поверталися на кутθ=60 по відношенню до осей(x,y) координат вS, (рис. 3.26).

  1. Які складовіAx та AyвекториA в системі координатS?
  2. Обчисліть величину вектора за допомогою(Ax, Ay)компонентів і за допомогою(Ax, Ay)компонентів. Чи погоджується ваш результат з тим, що ви очікуєте?
3.26 свг
Малюнок 3.26 Приклад 3.4. (CC BY-NC; Відповідальний)

Рішення:

ПочнемоA з розгляду векторного розкладання по відношенню до системи координатS,A=Axˆi+Ayˆj Тепер ми можемо використовувати наші результати для перетворення одиничних векторівi іj черезi іj, (Рівняння (3.3.22) і (3.3.23)) в порядок розкладання вектораA в системі координатS

\ [\ почати {масив} {l}
\ overrightarrow {\ mathbf {A}} =A\ капелюх {\ mathbf {i}} +A_ {y}\ hat {\ mathbf {j}} =A_ {x}\ ліворуч (\ cos\ тета\ шапка {\ mathbf {i}} ^ {\ прайм} -\ sin\ тета\ капелюх {\ тета\ капелюх {я}} ^ {\ прайм} -\ син\ тета\ капелюх {\ mathbf {j}} ^ {\ прайм}\ праворуч) +A_ {y}\ лівий (\ sin\ тета\ капелюх {\ mathbf {i}} ^ {\ прайм} +\ cos\ тета\ капелюх {\ mathbf {j}} ^ {\ прайм}\ право)\\
=\ ліворуч (A_ {x}\ cos\ theta+A_ {y}\ sin\ тета\ справа)\ капелюх {\ mathbf {i}} ^ {\ прайм} +\ лівий (-A_ {x}\ sin\ theta+A_ {y}\ cos\ тета\ праворуч)\ капелюх {\ mathbf {j}} ^ {\ прайм}\
=A_ {x}\ hat {\ mathbf {i}} +A_ {y}\ hat {\ mathbf {j}}
\ кінець {масив}\ nonumber\]

де

Ax=Axcosθ+AysinθAy=Axsinθ+Aycosθ

Тепер ми використовуємо задану інформаціюAx=5, щоAy=3, іθ=60 вирішити для компонентівA в системі координатS

Ax=Axcosθ+Aysinθ=(1/2)(533)

Ay=Axsinθ+Aycosθ=(1/2)(533)

б) Величина може бути розрахована в будь-якій системі координат

|A|=(Ax)2+(Ay)2=(5)2+(3)2=34

|A|=(Ax)2+(Ay)2=((1/2)(533))2+((1/2)(533))2=34

Цей результат узгоджується з тим, що я очікую, оскільки довжина вектора неA залежить від вибору системи координат.