3.3: Вектори
Використання векторів у фізиці
З останнього розділу ми маємо три важливі ідеї щодо векторів:
- вектори можуть існувати в будь-якійP точці простору,
- вектори мають напрямок і величину, і
- будь-які два вектори, які мають однаковий напрямок і величину, рівні незалежно від того, де в просторі вони розташовані.
Коли ми застосовуємо вектори до фізичних величин, приємно тримати в задній частині нашого розуму всі ці формальні властивості. Однак, з точки зору фізика, ми зацікавлені у представленні фізичних величин, таких як переміщення, швидкість, прискорення, сила, імпульс та імпульс, як вектори. Ми не можемо додати силу до швидкості або відняти імпульс від сили. Ми завжди повинні розуміти фізичний контекст для векторної величини. Таким чином, замість того, щоб наближатися до векторів як формальних математичних об'єктів, ми натомість розглянемо наступні істотні властивості, які дозволяють нам представляти фізичні величини як вектори.
Вектори в декартових координатах
Векторне розкладання
Виберіть систему координат з початковим, осями та векторами одиниць. Ми можемо розкласти вектор на складові вектори уздовж кожної осі координат (рис. 3.14).
Вектор→A на P можна розкласти на векторну суму,
→A=→Ax+→Ay+→Az
де→Ax -x компонентний вектор, що вказує на позитивне або негативнеx -напрямок,→Ay - це векторy -компонент, що вказує на позитивний або негативнийy -напрямок, і→Az -z компонент вектор, що вказує на позитивний або негативний z-напрямок.
Векторні компоненти
Після того, як ми визначили(ˆi,ˆj,ˆk) одиничні вектори, ми визначаємо компоненти вектора. Нагадаємо наше векторне розкладання,→A=→Ax+→Ay+→Az. ми визначаємоx -компонентний вектор,→Ax, так як→Ax=Axˆi. в цьому виразі термінAx (без стрілки вище) називаєтьсяx -компонентом→Ax. вектора.x -компонентAx може бути позитивним, нульовий, або негативний. Це не величина→Ax якої задається(A2x)1/2. x-componentAx - це скалярна величина, а вектор x -компонент→Ax - вектор. Аналогічним чином ми визначаємоy -компонентAy, іz -компонент вектора→A відповідно доAz
→Ay=Ayˆj,→Az=Azˆk.
Вектор→A представлений трьома його складовими(Ax,Ay,Az). Таким чином, нам потрібно три числа для опису вектора в тривимірному просторі. Записуємо вектор→A як
→A=Axˆi+Ayˆj+Azˆk
Величина
Використовуючи теорему Піфагора, величина→A є,A=√A2x+A2y+A2z
Напрямок
Розглянемо вектор→A=(Ax,Ay,0). Оскількиz -компонент дорівнює нулю, вектор→A лежить уx−y площині. θПозначимо кут, який вектор→A робить в напрямку проти годинникової стрілки з позитивноюx -віссю (рис. 3.15).
Тодіx -компонент іy -компонентAr=Acos(θ),Ay=Asin(θ) Ми тепер пишемо вектор вxy -plane як
→A=Acos(θ)ˆi+Asin(θ)ˆj
Після того, як компоненти вектора відомі, тангенс кутаθ можна визначити за
AyAx=Asin(θ)Acos(θ)=tan(θ)і, отже, кутθ задаєтьсяθ=tan−1(AyAx)
Зрозуміло, що напрямок вектора залежить від знакаAx іAy. Наприклад, якщо і те,Ax>0 і іншеAy>0, то0<θ<π/2. ЯкщоAx<0 іAy>0 тодіπ/2<θ<π. ЯкщоAx<0 іAy<0 тодіπ<θ<3π/2. ЯкщоAx>0 і\ (A
{y} <0\), то3π/2<θ<2. Зверніть увагу, що tanθ є подвійним значенням функції, оскільки
−Ay−Ax=AyAx, and Ay−Ax=−AyAx
Одиниця Вектори
Одиничний вектор у напрямку→A: Дозволяти→A=Axˆi+Avˆj+A7ˆk. →AДозволяти позначити одиничний вектор в напрямку→A. Потім,ˆA=→A|→A|=Axˆi+Ayˆj+Azˆk(A2x+A2y+A2z)1/2
Векторне додавання
→BДозволяти→A і бути два вектори вx−y площині. НехайθA іθB позначають кути, які вектори→A і→B роблять (в напрямку проти годинникової стрілки) з позитивноюx -віссю. Потім\ [
\ overrightarrow {\ mathbf {A}} =A\ cos\ left (\ theta_ {A}\ праворуч)\ hat {\ mathbf {i}} +A\ sin\ left (\ theta_ {A}\ право)\ hat {\ mathbf {j}}\ nonumber\]→B=Bcos(θB)ˆi+Bsin(θB)ˆj На малюнку 3.16→C=→A+→B показано додавання вектора. ДозвольтеθC позначити кут, який вектор→C робить з позитивноюx -віссю.
З малюнка 3.16, компоненти→C є ЗCx=Ax+Bx,Cy=Ay+By точки зору величин і кутів, ми маємо
\ [\ почати {масив} {l}
C_ {x} =C\ cos\ ліворуч (\ theta_ {C}\ праворуч) =A\ cos\ ліворуч (\ theta_ {A}\ праворуч) +B\ cos\ ліворуч (\ theta_ {B}\ праворуч)\\
C_ {y} =C\ sin\ ліворуч (\ theta_ {C}\ праворуч) =A\ sin\\ left (\ theta_ {A}\ право) +B\ sin\ left (\ theta_ {B}\ право)
\ end {масив}\ nonumber\] Ми можемо записати вектор →Cяк→C=(Ax+Bx)ˆi+(Ay+By)ˆj=Ccos(θC)ˆi+Csin(θC)ˆj
Приклад 3.1: Додавання векторів
За даними двох векторів→A=2ˆi+−3ˆj+7ˆkand→B=5ˆi+ˆj+2ˆk, знайти: (a)|→A|; (b)|→B|; (c)→A+→B; (d)→A−→B; (e) одиничний вектор,ˆA що вказує у напрямку→A; (f) одиничний вектор,ˆB що вказує у напрямку→B;
Рішення
(а)
|→A|=(22+(−3)2+72)1/2=√62=7.87.
(б)
|→B|=(52+12+22)1/2=√30=5.48.
(c)
\ (\ почати {вирівняний}
\ переправо стрілка {\ mathbf {A}} +\ переправа стрілка {\ mathbf {B}} &=\ ліворуч (A_ {x} +B_ {x}\ праворуч)\ капелюх {\ mathbf {i}} +\ ліворуч (A_ {y} +B_ {y}\ праворуч)\ капелюх {\ mathbf {i}} +\ ліворуч (A_ {y} +B_ {y}\ праворуч)\ капелюх {\ mathbf {i}} f {j}} +\ лівий (A_ {z} +B_ {z}\ праворуч)\ капелюх {\ mathbf {k}}\\
& =( 2+5)\ капелюх {\ mathbf {i}} + (-3+1)\ капелюх {\ mathbf {j}} + (7+2)\ капелюх {\ mathbf {k}} \\
&=7\ капелюх {\ mathbf {i}} -2\ капелюх {\ mathbf {j}} +9\ капелюх {\ mathbf {k}}
\ кінець {вирівняний}\ nonumber\)
(г)
\ (\ почати {вирівняний}
\ переправа стрілка {\ mathbf {A}} -\ переправа стрілка {\ mathbf {B}} &=\ ліворуч (A_ {x} -B_ {x}\ праворуч)\ капелюх {\ mathbf {i}} +\ ліворуч (A_ {y} -B_ {y}\ праворуч)\ капелюх {\ mathbf {i}} +\ ліворуч (A_ {y} -B_ {y}\ праворуч)\ капелюх {\ mathbf {i}} f {j}} +\ лівий (A_ {z} -B_ {z}\ праворуч)\ капелюх {\ mathbf {k}}\\
& =( 2-5)\ капелюх {\ mathbf {i}} + (-3-1)\ капелюх {\ mathbf {j}} + (7-2)\ капелюх {\ mathbf {k}} \\
&=-3\ капелюх {\ mathbf {i}} -4\ капелюх {\ mathbf {j}} +5\ капелюх {\ mathbf {k}}
\ кінець {вирівняний}\)
(е)
ˆAОдиничний вектор в напрямку→A можна знайти шляхом ділення вектора→A на величину→A. ТомуˆA=→A/|→A|=(2ˆi+−3ˆj+7ˆk)/√62
(f)
Аналогічним чином,ˆB=→B/|→B|=(5ˆi+ˆj+2ˆk)/√30
Приклад 3.2 Затонуючий вітрильник
Корабель берегової охорони розташований в 35 км від контрольно-пропускного пункту в напрямку на52∘ північ від заходу. Проблемний вітрильник, розташований у негазованій воді за 24 км від того ж контрольно-пропускного пункту в напрямку на18∘ південь від сходу, ось-ось потоне. Намалюйте схему із зазначенням положення обох кораблів. В якому напрямку і як далеко повинен проїхати корабель берегової охорони, щоб дістатися до вітрильника?
Рішення
Схема настройки - рис. 3.17.
Виберіть контрольну точку як початок декартової системи координат з додатною віссю x у східному напрямку та додатною віссю y —у напрямку на північ. Виберіть відповідні вектори одиницьˆi іˆj як показано на малюнку 3.18. Корабель берегової охорони тоді відстаньr=35 км під кутомθ1=180∘−52∘=128∘ від позитивної осі х, положення корабля берегової охорони
\ [\ почати {вирівняний}
&\ переправа стрілка {\ mathbf {r}} _ {1} =r_ {1}\ ліворуч (\ cos\ theta_ {1}\ hat {\ mathbf {i}} +\ sin\ theta_ {1}\ капелюх {\ mathbf {j}}\ праворуч)\\
&\ переправа стрілка {\ mathbf {\ mathbf {bf {r}} =-21.5\ матхм {км}\ hat {\ mathbf {i}} +27,6\ математика {км}\ hat {\ mathbf {j}}
\ кінець {вирівняний}\ nonumber\] і позиція вітрильника є\ [\ begin {масив} {l}
\ overrightarrow {\ mathbf {r}} _ {2} =r_ {2}\ лівий (\ cos\ theta_ {2}\ hat {\ mathbf {i}} +\ sin\ theta_ {2}\ hat {\ mathbf {j}}\ праворуч)
\\ переправа стрілка {\ mathbf {r}} _ {2} =22,8\ математична {км}\ hat {\ mathbf {i}} -7.4\ mathrm {км}\ hat {\ mathbf {j}}
\ end {масив}\ nonumber\]
Вектор відносного положення від корабля берегової охорони до вітрильника (рис. 3.19)\ [\ begin {вирівняний}
&\ overrightarrow {\ mathbf {r}} _ {2} -\ overrightarrow {\ mathbf {r}} _ {1} =( 22.8\ mathrm {км}\ hat {\ mathbf {i}} -7.4\ mathrm m {км}\ hat {\ mathbf {j}}) - (-21.5\ матхм {км}\ капелюх {\ mathbf {i}} +27,6\ матхрм {км}\ шапка {\ mathbf {j}})\\
&\ переправа стрілка {\ mathbf {r}} _ {2} -\ переправа стрілка {\ mathbf {r}} _ {1} =44.4\ математика {км}\ hat {\ mathbf {i}} -35.0\ mathrm {км}\ капелюх {\ mathbf {j}}
\ end {aligned}\ nonumber\] Відстань між кораблем і вітрильником є|→r2−→r1|=((44.4km)2+(−35.0km)2)1/2=56.5km. обернений тангенс співвідношення y - і x - складових вектора взаємного положення,θ21=tan−1(−35.0km/44.4km)=−38.3∘ або на38.3∘ південь від сходу.
Приклад 3.3: Додавання векторів
Два вектори→A і→B, такі|→B|=2|→A|, що мають результуючу→C=→A+→B величину 26,5. Вектор→C робить кутθc=41∘ по відношенню до вектора→A. Знайти величину кожного вектора і кут між векторами→A і→B.
Рішення: Ми починаємо з створення ескізу трьох векторів, вибираючи точку→A в додатному напрямку x (рис. 3.20).
Позначимо величину→C поC≡|→C|=√(Cx)2+(Cy)2=26.5. Складові→C=→A+→B частини наведені
Cx=Ax+Bx=CcosθC=(26.5)cos(41∘)=20
Cy=By=CsinθC=(26.5)sin(41∘)=17.4.
З тієї умови|→B|=2|→A|, що квадрат їх величин задовольняє
(Bx)2+(By)2=4(Ax)2.
Використовуючи рівняння (3.3.17) та (3.3.18), рівняння (3.3.19) стає(Cx−Ax)2+(Cy)2=4(Ax)2
(Cx)2−2CxAx+(Ax)2+(Cy)2=4(Ax)2
Це квадратне рівняння
0=3(Ax)2+2CxAx−C2
які ми вирішуємо для компонентаAx:
Ax=−2Cx±√(2Cx)2+(4)(3)(C2)6=−2(20)±√(40))2+(4)(3)(26.5)26=10.0
де ми вибираємо позитивний квадратний корінь, тому що ми спочатку вибралиAx>0. Потім компоненти→B задаються рівняннями (3.3.17) та (3.3.18):
Bx=Cx−Ax=20.0−10.0=10.0B.=17.4
Величина|→B|=√(Bx)2+(By)2=20.0 якого дорівнює двократній величині|→A|=10.0. Кут між→A і→B задається
θ=sin−1(By/|→B|)=sin−1(17.4/20.0N)=60∘
Приклад 3.4 Векторний опис точки на прямій
Розглянемо дві точки,P1 з координатами(x1,y1) іP2 з координатами(x1,y1) розділені відстаннюd. Знайдіть вектор→A від початку до точки на лінії, що з'єднує P1іP2 що знаходиться на відстаніa від точкиP2 (рис. 3.21).
Рішення
→r1=x1ˆi+y1ˆjДозволяти бути вектор→r2=x2ˆi+y2ˆj положенняP1 і вектор положенняP2. →r1−→r2Дозволяти вектор відP2 доP1 (рис. 3.22а). Одиничний вектор, що вказує відP2 доP1, задається
ˆr21=(→r1−→r2)/|→r1−→r2|=(→r1−→r2)/d, деd=((x2−x1)2+(y2−y1)2)1/2
Вектор→s на малюнку 3.22b з'єднується→A з точкою в→r1, точки в напрямку→r12 і має довжинуa. Тому→s=aˆr21=a(→r1−→r2)/d. Вектор→r1=→A+→s. Тому→A=→r1−→s=→r1−a(→r1−→r2)/d=(1−a/d)→r1+(a/d)→r2→A=(1−a/d)(x1ˆi+y1ˆj)+(a/d)(x2ˆi+y2ˆj)→A=(x1+a(x2−x1)((x2−x1)2+(y2−y1)2)1/2)ˆi+(y1+a(y2−y1)((x2−x1)2+(y2−y1)2)1/2)ˆj
Перетворення векторів в обертових системах координат
Розглянемо дві декартові системи координатS іS′ такі, щоб осі(x′,y′) координат в булиS′ повернуті на кутθ по відношенню до осей(x,y) координат вS, (рис. 3.23).
Складові одиничного вектора^i′ вˆj напрямкуˆi і задаються
i′x=|ˆi′|cosθ=cosθ
і
i′y=|ˆi′|sinθ=sinθ.
Тому
ˆi′=i′xˆi+i′yˆj=ˆicosθ+ˆjsinθ
Аналогічний аргумент має місце для компонентів вектора одиниць^j′. Складові^j′ вˆi іˆj напрямку задаються
j′x=−|ˆj′|sinθ=−sinθ
і
j′y=|ˆj′|cosθ=cosθ.
Тому
^j′=j′xˆi+j′yˆj=ˆjcosθ−ˆisinθ
І навпаки, з малюнка 3.23 та аналогічних аргументів векторного розкладання компоненти (\ hat {\ mathbf {i}}\) та (\ hat {\ mathbf {j}}\)S′ задаються у
ˆi=ˆi′cosθ−ˆj′sinθˆj=ˆi′sinθ+ˆj′cosθ
Розглянемо фіксований вектор→r=xˆi+yˆj з компонентами(x,y) в системі координатS. У системіS′ координат вектор задається тим→r=x′ˆi′+yˆ′ˆj′, where (x′,y′), де(x′,y′) знаходяться компоненти вS′, (рис. 3.24).
Використовуючи рівняння (3.3.20) та (3.3.21), ми маємо це
\ [\ почати {масив} {l}
\ overrightarrow {\ mathbf {r}} =x\ hat {\ mathbf {i}} +y\ hat {\ mathbf {j}} = х\ ліворуч (\ капелюх {\ mathbf {i}} ^ {\ прайм}\ cos\ тета-\ капелюх {\ mathbf {j}} ^ {\ правий}\ sin\ тета\ праворуч) +у\ лівий (\ hat {\ mathbf {j}}} ^ {\ прайм}\ cos\ theta+\ hat {\ mathbf {i}} ^ {\ прайм}\ sin\ тета\ праворуч)\
\ overrightarrow { \ mathbf {r}} = (х\ cos\ тета+у\ сін\ тета)\ капелюх {\ mathbf {i}} ^ {\ прайм} + (х\ sin\ тета-у\ cos\ тета)\ капелюх {\ mathbf {j}} ^ {\ прайм}\ кінець {масив}\ nonumber\]
Тому компоненти вектора трансформуються відповідно до
x′=xcosθ+ysinθ
y′=xsinθ−ycosθ
Розглянуто альтернативний підхід до розуміння законів трансформації складових вектора положення нерухомої точки в просторі. У системі координат припустимоS, що вектор положення→r має довжинуr=|→r| і робить кутϕ по відношенню до позитивноїx -осі (рис. 3.25).
Потім компоненти→r inS задаються поx=rcosϕy=rsinϕ. У системіS′ координат компоненти→r задаються
x′=rcos(ϕ−θ)y′=rsin(ϕ−θ)
Застосувати додавання кутових тригонометричних тотожностей до рівнянь (3.3.29) та (3.3.30), що дають
x′=rcos(ϕ−θ)=rcosϕcosθ+rsinϕsinθ=xcosθ+ysinθ
y′=rsin(ϕ−θ)=rsinϕcosθ−rcosϕsinθ=ycosθ−xsinθ
відповідно до Рівняння (3.3.25) і (3.3.26).
Приклад 3.5 Векторне розкладання в повернутих системах координат
Стосовно заданої декартової системиS координат вектор→A має компонентиAx=5,Ay=−3,Az=0. Розглянемо другу систему координатS′ таким чином, щоб осі(x′,y′ координат вS′ поверталися на кутθ=60∘ по відношенню до осей(x,y) координат вS, (рис. 3.26).
- Які складовіAx та Ayвектори→A в системі координатS′?
- Обчисліть величину вектора за допомогою(Ax, Ay)компонентів і за допомогою(Ax, Ay)компонентів. Чи погоджується ваш результат з тим, що ви очікуєте?
Рішення:
Почнемо→A з розгляду векторного розкладання по відношенню до системи координатS,→A=Axˆi+Ayˆj Тепер ми можемо використовувати наші результати для перетворення одиничних векторів→i і→j через→i′ і→j′, (Рівняння (3.3.22) і (3.3.23)) в порядок розкладання вектора→A в системі координатS′
\ [\ почати {масив} {l}
\ overrightarrow {\ mathbf {A}} =A\ капелюх {\ mathbf {i}} +A_ {y}\ hat {\ mathbf {j}} =A_ {x}\ ліворуч (\ cos\ тета\ шапка {\ mathbf {i}} ^ {\ прайм} -\ sin\ тета\ капелюх {\ тета\ капелюх {я}} ^ {\ прайм} -\ син\ тета\ капелюх {\ mathbf {j}} ^ {\ прайм}\ праворуч) +A_ {y}\ лівий (\ sin\ тета\ капелюх {\ mathbf {i}} ^ {\ прайм} +\ cos\ тета\ капелюх {\ mathbf {j}} ^ {\ прайм}\ право)\\
=\ ліворуч (A_ {x}\ cos\ theta+A_ {y}\ sin\ тета\ справа)\ капелюх {\ mathbf {i}} ^ {\ прайм} +\ лівий (-A_ {x}\ sin\ theta+A_ {y}\ cos\ тета\ праворуч)\ капелюх {\ mathbf {j}} ^ {\ прайм}\
=A_ {x}\ hat {\ mathbf {i}} +A_ {y}\ hat {\ mathbf {j}}
\ кінець {масив}\ nonumber\]
де
Ax′=Axcosθ+AysinθAy′=−Axsinθ+Aycosθ
Тепер ми використовуємо задану інформаціюAx=5, щоAy=−3, іθ=60∘ вирішити для компонентів→A в системі координатS′
Ax′=Axcosθ+Aysinθ=(1/2)(5−3√3)
Ay′=−Axsinθ+Aycosθ=(1/2)(−5√3−3)
б) Величина може бути розрахована в будь-якій системі координат
|→A|=√(Ax)2+(Ay)2=√(5)2+(−3)2=√34
|→A|=√(Ax′)2+(Ay′)2=√((1/2)(5−3√3))2+((1/2)(−5√3−3))2=√34
Цей результат узгоджується з тим, що я очікую, оскільки довжина вектора не→A залежить від вибору системи координат.