3.4: Векторний добуток (крос-добуток)

\(\overrightarrow{\mathbf{B}}\)Дозволяти\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\) і бути двома векторами. Оскільки будь-які два непаралельних вектора утворюють площину, ми позначаємо кут θ як кут між векторами\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\) і\(\overrightarrow{\mathbf{B}}\) як показано на малюнку 3.27. Величина векторного\(\overrightarrow{\mathbf{A}} \times \overrightarrow{\mathbf{B}}\) добутку векторів\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\) і\(\overrightarrow{\mathbf{B}}\) визначається як добуток величини векторів\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\) і\(\overrightarrow{\mathbf{B}}\) з синусом кута θ між двома вектори,

\[|\overrightarrow{\mathbf{A}} \times \overrightarrow{\mathbf{B}}|=|\overrightarrow{\mathbf{A}}||\overrightarrow{\mathbf{B}}| \sin (\theta) \nonumber \]

Кут θ між векторами обмежений значеннями, що\(0 ≤ θ ≤ \pi\) забезпечують sin (θ) ≥ 0.

Малюнок 3.27: Векторна геометрія виробу. (CC BY-NC; Уміти Кая)

Напрямок векторного добутку визначається наступним чином. Вектори\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\) і\(\overrightarrow{\mathbf{B}}\) утворюють площину. Враховуйте напрямок, перпендикулярне цій площині. Є дві можливості: ми виберемо одну з цих двох (ту, яка показана на малюнку 3.27) для напрямку векторного добутку,\(\overrightarrow{\mathbf{A}} \times \overrightarrow{\mathbf{B}}\) використовуючи умовність, яку прийнято називати «правилом правої руки».

Правило праворуч для напрямку векторного добутку

Насамперед потрібно перемалювати вектори\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\) і\(\overrightarrow{\mathbf{B}}\) так, щоб хвости торкалися. Потім намалюйте дугу, починаючи від вектора\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\) і закінчуючи вектором\(\overrightarrow{\mathbf{B}}\). Завивайте праві пальці так само, як і дугу. Великий палець правої руки вказує в напрямку векторного добутку\(\overrightarrow{\mathbf{A}} \times \overrightarrow{\mathbf{B}}\) (рис. 3.28).

Малюнок 3.28: Правило правої руки. (CC BY-NC; Уміти Кая)

Слід пам'ятати, що напрямок векторного добутку\(\overrightarrow{\mathbf{A}} \times \overrightarrow{\mathbf{B}}\) перпендикулярно площині, утвореної\(\overrightarrow{\mathbf{A}} \) і\(\overrightarrow{\mathbf{B}}\). Ми можемо дати геометричну інтерпретацію величини векторного добутку, записавши величину як\[|\overrightarrow{\mathbf{A}} \times \overrightarrow{\mathbf{B}}|=|\overrightarrow{\mathbf{A}}|(|\overrightarrow{\mathbf{B}}| \sin (\theta)). \nonumber \] Термін\(|\overrightarrow{\mathbf{A}}| \sin \theta\) - проекція вектора\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\) в напрямку, перпендикулярному вектору,\(\overrightarrow{\mathbf{B}}\) як показано на малюнку 3.29 (б). Векторний добуток двох векторів, паралельних (або антипаралельних) один одному, дорівнює нулю, оскільки кут між векторами дорівнює 0 (або\(\pi\)) і sin (0) = 0 (або sin (\(\pi\)) = 0). Геометрично два паралельних вектора не мають унікальної складової, перпендикулярної їх спільному напрямку

Малюнок 3.29: Проекція (a)\(\overrightarrow{\mathbf{B}}\) перпендикулярно\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\), (b)\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\) перпендикулярно до\(\overrightarrow{\mathbf{B}}\). (CC BY-NC; Уміти Кая)

Властивості векторного добутку

1. Векторний добуток є антикомутативним, оскільки зміна порядку векторів змінює напрямок векторного добутку правилом правої руки:\[\overrightarrow{\mathbf{A}} \times \overrightarrow{\mathbf{B}}=-\overrightarrow{\mathbf{B}} \times \overrightarrow{\mathbf{A}} \nonumber \]
2. Векторний добуток між вектором\(c\),\(c\)\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\) де є скаляром і вектором\(\overrightarrow{\mathbf{B}}\) \[c \overrightarrow{\mathbf{A}} \times \overrightarrow{\mathbf{B}}=c(\overrightarrow{\mathbf{A}} \times \overrightarrow{\mathbf{B}}) \nonumber \]аналогічно,\[\overrightarrow{\mathbf{A}} \times c \overrightarrow{\mathbf{B}}=c(\overrightarrow{\mathbf{A}} \times \overrightarrow{\mathbf{B}}). \nonumber \]
3. Векторний добуток між сумою двох векторів\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\) і\(\overrightarrow{\mathbf{B}}\) з вектором\(\overrightarrow{\mathbf{C}}\) дорівнює\[(\overrightarrow{\mathbf{A}}+\overrightarrow{\mathbf{B}}) \times \overrightarrow{\mathbf{C}}=\overrightarrow{\mathbf{A}} \times \overrightarrow{\mathbf{C}}+\overrightarrow{\mathbf{B}} \times \overrightarrow{\mathbf{C}} \nonumber \] Аналогічно,\[\overrightarrow{\mathbf{A}} \times(\overrightarrow{\mathbf{B}}+\overrightarrow{\mathbf{C}})=\overrightarrow{\mathbf{A}} \times \overrightarrow{\mathbf{B}}+\overrightarrow{\mathbf{A}} \times \overrightarrow{\mathbf{C}}. \nonumber \]

Векторне розкладання та векторний добуток: декартові координати

Спочатку обчислимо, що величина векторного добутку одиничних векторів\(\overrightarrow{\mathbf{i}}\) і\(\overrightarrow{\mathbf{j}}\):

\[|\hat{\mathbf{i}} \times \hat{\mathbf{j}}|=|\hat{\mathbf{i}} \| \hat{\mathbf{j}}| \sin (\pi / 2)=1 \nonumber \]

тому що вектори одиниці мають\(\sin (\pi / 2)=1.\) величину\(|\hat{\mathbf{i}}|=|\hat{\mathbf{j}}|=1\) і правилом правої руки напрямок

\[\overrightarrow{\mathbf{i}} \times \overrightarrow{\mathbf{j}} \nonumber \]

знаходиться в тому,\(+\hat{\mathbf{k}}\) як показано на малюнку 3.30. Таким чином\(\hat{\mathbf{i}} \times \hat{\mathbf{j}}=\hat{\mathbf{k}}\)

Малюнок 3.30: Векторний добуток\(\hat{\mathbf{i}} \times \hat{\mathbf{j}}\). (CC BY-NC; Уміти Кая)

Відзначимо, що це ж правило застосовується і для одиничних векторів в\(z\) напрямках\(y\) і,\[\hat{\mathbf{j}} \times \hat{\mathbf{k}}=\hat{\mathbf{i}}, \quad \hat{\mathbf{k}} \times \hat{\mathbf{i}}=\hat{\mathbf{j}} \nonumber \] За антикомутативно властивістю (1) векторного\[\hat{\mathbf{j}} \times \hat{\mathbf{i}}=-\hat{\mathbf{k}}, \quad \hat{\mathbf{i}} \times \hat{\mathbf{k}}=-\hat{\mathbf{j}} \nonumber \] добутку векторного добутку одиничного вектора\(\hat{\mathbf{i}}\) з собою дорівнює нулю, оскільки два одиничних вектори паралельні один одному , (sin (0) = 0),\[|\hat{\mathbf{i}} \times \hat{\mathbf{i}}|=|\hat{\mathbf{i}} \| \hat{\mathbf{i}}| \sin (0)=0. \nonumber \] Векторний добуток вектора одиниці\(\hat{\mathbf{j}}\) з собою і одиничного вектора\(\hat{\mathbf{k}}\) з собою також нуль з тієї ж причини,\[|\hat{\mathbf{j}} \times \hat{\mathbf{j}}|=0, \quad|\hat{\mathbf{k}} \times \hat{\mathbf{k}}|=0. \nonumber \]

Маючи на увазі ці властивості, тепер ми можемо розробити алгебраїчний вираз для векторного добутку з точки зору компонентів. Давайте виберемо декартову систему координат з вектором,\(\overrightarrow{\mathbf{B}}\) що вказує вздовж позитивної\(x\) -осі з додатним\(x\) -компонентом\(B_{x}.\) Тоді вектори\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\) і\(\overrightarrow{\mathbf{B}}\) можуть бути записані як

\[\overrightarrow{\mathbf{A}}=A_{x} \hat{\mathbf{i}}+A_{y} \hat{\mathbf{j}}+A_{z} \hat{\mathbf{k}} \nonumber \]\\ переправа стрілка {\ mathbf {B}} =B_ {x}\ hat {\ mathbf {i}}\ nonumber\] відповідно. Векторний добуток у векторних компонентах\[\overrightarrow{\mathbf{A}} \times \overrightarrow{\mathbf{B}}=\left(A_{x} \hat{\mathbf{i}}+A_{y} \hat{\mathbf{j}}+A_{z} \hat{\mathbf{k}}\right) \times B_{x} \hat{\mathbf{i}} \nonumber \]

Це стає,

\ [\ почати {вирівняний}
\ переправа стрілка {\ mathbf {A}}\ раз\ переправа стрілка {\ mathbf {B}} &=\ ліворуч (A_ {x}\ hat {\ mathbf {i}}\ раз B_ {x}\ капелюх {\ mathbf {i}}\ праворуч) +\ ліворуч (A_ {y} {\ mathbf {j}}\ раз B_ {x}\ капелюх {\ mathbf {i}}\ праворуч) +\ лівий (A_ {z}\ капелюх {\ mathbf {k}}\ раз B_ {x}\ капелюх {\ mathbf {i}}\ праворуч)\\
&=A_ {x} B_ {x} (\ капелюх {\ mathbf {i}}\ раз\ капелюх {\ mathbf {я}}) +A_ {y} B_ {x} (\ капелюх {\ mathbf {j}}\ час\ капелюх {\ mathbf {я}}) +A_ {z} B_ {x} (\ капелюх {\ mathbf {k}}\ раз\ капелюх {\ mathbf {i}})\\\ &=-A_ {y} B_ {x}\ капелюх {\ mathbf {k}} +A_ {z} B_ {x}\ капелюх {\ mathbf {j}}
\ кінець {вирівняний}\ nonumber\]

Вираз векторної складової для векторного добутку легко узагальнюється для довільних векторів

\[\overrightarrow{\mathbf{A}}=A_{x} \hat{\mathbf{i}}+A_{y} \hat{\mathbf{j}}+A_{z} \hat{\mathbf{k}} \nonumber \]\[\overrightarrow{\mathbf{B}}=B_{x} \hat{\mathbf{i}}+B_{y} \hat{\mathbf{j}}+B_{z} \hat{\mathbf{k}} \nonumber \]

поступитися

\[\overrightarrow{\mathbf{A}} \times \overrightarrow{\mathbf{B}}=\left(A_{y} B_{z}-A_{z} B_{y}\right) \hat{\mathbf{i}}+\left(A_{z} B_{x}-A_{x} B_{z}\right) \hat{\mathbf{j}}+\left(A_{x} B_{y}-A_{y} B_{x}\right) \hat{\mathbf{k}} \nonumber \]

Векторне розкладання та векторний добуток: циліндричні координати

Нагадаємо циліндричну систему координат, яку ми покажемо на малюнку 3.31. Ми вибрали два напрямки, радіальне і тангенціальне в площині, і перпендикулярний напрямку до площини.

Малюнок 3.31: Циліндричні координати. (CC BY-NC; Уміти Кая)

Одиничні вектори знаходяться під прямим кутом один до одного, і тому, використовуючи правило правої руки, векторний добуток одиничних векторів задається співвідношеннями

\[\hat{\mathbf{r}} \times \hat{\boldsymbol{\theta}}=\hat{\mathbf{k}} \nonumber \]\[\hat{\boldsymbol{\theta}} \times \hat{\mathbf{k}}=\hat{\mathbf{r}} \nonumber \]\[\hat{\mathbf{k}} \times \hat{\mathbf{r}}=\hat{\boldsymbol{\theta}} \nonumber \]Оскільки векторний продукт задовольняє,\(\overrightarrow{\mathbf{A}} \times \overrightarrow{\mathbf{B}}=-\overrightarrow{\mathbf{B}} \times \overrightarrow{\mathbf{A}},\) ми також маємо це\[\hat{\boldsymbol{\theta}} \times \hat{\mathbf{r}}=-\hat{\mathbf{k}} \nonumber \]\[\hat{\mathbf{k}} \times \hat{\mathbf{\theta}}=-\hat{\mathbf{r}} \nonumber \]\[\hat{\mathbf{r}} \times \hat{\mathbf{k}}=-\hat{\mathbf{\theta}} \nonumber \] Нарешті\[\hat{\mathbf{r}} \times \hat{\mathbf{r}}=\hat{\boldsymbol{\theta}} \times \hat{\boldsymbol{\theta}}=\hat{\mathbf{k}} \times \hat{\mathbf{k}}=\overrightarrow{\mathbf{0}} \nonumber \]

Приклад 3.6: Векторні продукти

З огляду на два вектори,\(\overrightarrow{\mathbf{A}}=2 \hat{\mathbf{i}}+-3 \hat{\mathbf{j}}+7 \hat{\mathbf{k}} \text { and } \overrightarrow{\mathbf{B}}=5 \hat{\mathbf{i}}+\hat{\mathbf{j}}+2 \hat{\mathbf{k}}, \text { find } \overrightarrow{\mathbf{A}} \times \overrightarrow{\mathbf{B}} \nonumber \)

Рішення

\ [\ почати {вирівнювати*}
\ переправа стрілка {\ mathbf {A}}\ раз\ переправа стрілка {\ mathbf {B}} &=\ ліворуч (A_ {y} B_ {z} B_ {z} B_ {y}\ праворуч)\ капелюх {\ mathbf {i}} +\ ліворуч (A_ {z} B_ {х}} -A_ {x} B_ {z}\ праворуч)\ капелюх {\ mathbf {j}} +\ лівий (A_ {x} B_ {y} -A_ {y} B_ {x}\ праворуч)\ капелюх {\ mathbf {k}}\ nonumber\\
& =( -3) (2) - (7) (1)) \ капелюх {\ mathbf {i}} + (7) (5) - (2) (2))\ капелюх {\ mathbf {j}} + (2) (1) - (-3) (5))\ капелюх {\ mathbf {k}}\\
&=-13\ капелюх {\ mathbf {i}} +31\ капелюх {\ mathbf {\ mathbf {bf {j}} +17\ hat {\ mathbf {k}}\ номер
\ кінець {align*}\ nonumber\]

Приклад 3.7: Закон Синеса

Для трикутника, показаного на малюнку 3.32 (а), доведіть закон вин,\(|\overrightarrow{\mathbf{A}}| / \sin \alpha=|\overrightarrow{\mathbf{B}}| / \sin \beta=|\overrightarrow{\mathbf{C}}| / \sin \gamma, \) використовуючи векторний добуток.

Малюнок 3.32 (а): Приклад 3.6. (CC BY-NC; Уміти Кая)

Малюнок 3.32 (b): Векторний аналіз. (CC BY-NC; Уміти Кая)

Рішення

Розглянемо площу трикутника, утвореного трьома векторами\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\)\(\overrightarrow{\mathbf{B}}\)\(\overrightarrow{\mathbf{C}}\), і, де\(\overrightarrow{\mathbf{A}} + \overrightarrow{\mathbf{B}} + \overrightarrow{\mathbf{C}} = 0\) (рис. 3.32 (б)). Тому що\(\overrightarrow{\mathbf{A}} + \overrightarrow{\mathbf{B}} + \overrightarrow{\mathbf{C}} = 0\), ми маємо це\( 0 = \overrightarrow{\mathbf{A}} \times (\overrightarrow{\mathbf{A}} + \overrightarrow{\mathbf{B}} + \overrightarrow{\mathbf{C}})\). Таким чином\(\overrightarrow{\mathbf{A}} \times \overrightarrow{\mathbf{B}} = -\overrightarrow{\mathbf{A}} \times \overrightarrow{\mathbf{C}} \) або\(|\overrightarrow{\mathbf{A}} \times \overrightarrow{\mathbf{B}}| = |\overrightarrow{\mathbf{A}} \times \overrightarrow{\mathbf{C}}|\).

З малюнка 17.7b ми бачимо, що

\(|\overrightarrow{\mathbf{A}}\times\overrightarrow{\mathbf{B}}|=|\overrightarrow{\mathbf{A}}||\overrightarrow{\mathbf{B}}|\sin\gamma\)

і

\(|\overrightarrow{\mathbf{A}} \times \overrightarrow{\mathbf{C}}|=|\overrightarrow{\mathbf{A}}||\overrightarrow{\mathbf{C}}| \sin \beta \).

Тому,

\(|\overrightarrow{\mathbf{A}}||\overrightarrow{\mathbf{B}}|\sin\gamma=|\overrightarrow{\mathbf{A}}||\overrightarrow{\mathbf{C}}| \sin \beta \),

і, отже,

\(|\overrightarrow{\mathbf{B}}| / \sin \beta=|\overrightarrow{\mathbf{C}}| / \sin \gamma\).

Подібний аргумент показує, що\(|\overrightarrow{\mathbf{B}}| / \sin \beta=|\overrightarrow{\mathbf{A}}| / \sin \alpha\) доводить закон синусів.

Приклад 3.8: Нормальна одиниця

Знайти одиничний вектор, перпендикулярний\(\overrightarrow{\mathbf{A}}=\hat{\mathbf{i}}+\hat{\mathbf{j}}-\hat{\mathbf{k}}\) і\(\overrightarrow{\mathbf{B}}=-2 \hat{\mathbf{i}}-\hat{\mathbf{j}}+3 \hat{\mathbf{k}}.\)

Рішення

Векторний\(\overrightarrow{\mathbf{A}} \times \overrightarrow{\mathbf{B}}\) добуток перпендикулярний обом\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\) і\(\overrightarrow{\mathbf{B}}.\) Тому\(\hat{\mathbf{n}}=\pm \overrightarrow{\mathbf{A}} \times \overrightarrow{\mathbf{B}} / | \overrightarrow{\mathbf{A}} \times \overrightarrow{\mathbf{B}}\) одиничні вектори перпендикулярні\(\overrightarrow{\mathbf{B}}.\) обом\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\) і Ми спочатку обчислимо

\ [\ почати {вирівняний}
\ переправа стрілка {\ mathbf {A}}\ раз\ переправа стрілка {\ mathbf {B}} &=\ ліворуч (A_ {y} B_ {z} B_ {z} B_ {y}\ праворуч)\ капелюх {\ mathbf {i}} +\ ліворуч (A_ {z} B_ {x} -A_ {x} B_ {z}\ праворуч)\ капелюх {\ mathbf {j}} +\ лівий (A_ {x} B_ {y} -A_ {y} B_ {x}\ праворуч)\ капелюх {\ mathbf {k}}\ nonumber\\
& =( 1) (3) - (-1) (-1) (-1) (-1) (-1) )\ капелюх {\ mathbf {i}} + ((-1) (2) - (1) (3))\ капелюх {\ mathbf {j}} + (1) (-1) - (1) (2))\ капелюх {\ mathbf {k}}\\
&= 2\ шапка {\ mathbf {i}} -5\ капелюх {\ mathbf {f {j}} -3\ hat {\ mathbf {k}}\ номер
\ кінець {вирівняний}\ nonumber\]

Тепер обчислюємо величину\[|\overrightarrow{\mathbf{A}} \times \overrightarrow{\mathbf{B}}|=\left(2^{2}+5^{2}+3^{2}\right)^{1 / 2}=(38)^{1 / 2}. \nonumber \] Тому перпендикулярні одиничні вектори\[\hat{\mathbf{n}}=\pm \overrightarrow{\mathbf{A}} \times \overrightarrow{\mathbf{B}} /|\overrightarrow{\mathbf{A}} \times \overrightarrow{\mathbf{B}}|=\pm(2 \hat{\mathbf{i}}-5 \hat{\mathbf{j}}-3 \hat{\mathbf{k}}) /(38)^{1 / 2} \nonumber \]

Приклад 3.9: Обсяг паралелепіпеда

Показати, що об'єм паралелепіпеда з ребрами утворений векторами\(\overrightarrow{\mathbf{A}},\)\(\overrightarrow{\mathbf{B}},\) і\(\overrightarrow{\mathbf{C}}\) задається\(\overrightarrow{\mathbf{A}} \cdot(\overrightarrow{\mathbf{B}} \times \overrightarrow{\mathbf{C}})\)

Рішення

Обсяг паралелепіпеда задається площею підстави на висоту. Якщо основа утворена векторами,\(\overrightarrow{\mathbf{B}}, {and} \overrightarrow{\mathbf{C}},\) то площа підстави задається величиною вектора,\(\overrightarrow{\mathbf{B}} \times \overrightarrow{\mathbf{C}}=|\overrightarrow{\mathbf{B}} \times \overrightarrow{\mathbf{C}}| \hat{\mathbf{n}}\) де -\(\hat{\mathbf{n}}\) одиничний вектор, перпендикулярний до основи (рис. 3.33).\(\overrightarrow{\mathbf{B}} \times \overrightarrow{\mathbf{C}}.\)

Малюнок 3.33 Приклад 3.9. (CC BY-NC; Уміти Кая)

Проекція вектора\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\) уздовж напрямку\(\hat{\mathbf{n}}\) дає висоту паралелепіпеда. Ця проекція задається шляхом взяття точкового добутку\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\) з одиничним вектором і дорівнює\(\overrightarrow{\mathbf{A}} \cdot \hat{\mathbf{n}}=\text {height}.\) Тому\[\overrightarrow{\mathbf{A}} \cdot(\overrightarrow{\mathbf{B}} \times \overrightarrow{\mathbf{C}})=\overrightarrow{\mathbf{A}} \cdot(|\overrightarrow{\mathbf{B}} \times \overrightarrow{\mathbf{C}}|) \hat{\mathbf{n}}=(|\overrightarrow{\mathbf{B}} \times \overrightarrow{\mathbf{C}}|) \overrightarrow{\mathbf{A}} \cdot \hat{\mathbf{n}}=(\text {area})(\text {height})=(\text {volume}) \nonumber \]

Приклад 3.10: Векторне розкладання

\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\)Дозволяти бути довільним вектором і нехай\(\overrightarrow{\mathbf{n}}\) бути одиничний вектор в деякому фіксованому напрямку. Покажіть, що\(\overrightarrow{\mathbf{A}}=(\overrightarrow{\mathbf{A}} \cdot \hat{\mathbf{n}}) \hat{\mathbf{n}}+(\hat{\mathbf{n}} \times \overrightarrow{\mathbf{A}}) \times \hat{\mathbf{n}}\).

Рішення

Нехай\(\overrightarrow{\mathbf{A}}=A_{\|} \hat{\mathbf{n}}+A_{\perp} \hat{\mathbf{e}}\) де\(A_{\|}\) є складовою\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\) в напрямку\(\hat{\mathbf{n}}\),\(\hat{\mathbf{e}}\) є напрямок проекції\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\) в площині перпендикулярно\(\hat{\mathbf{n}}\), і\(A_{\perp}\) є складовою\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\) в напрямку\(\hat{\mathbf{e}}\). Тому що\(\hat{\mathbf{e}} \cdot \hat{\mathbf{n}}=0\) ми маємо це\(\overrightarrow{\mathbf{A}} \cdot \hat{\mathbf{n}}=A_{\|}\). Зверніть увагу, що

\(\hat{\mathbf{n}} \times \overrightarrow{\mathbf{A}}=\hat{\mathbf{n}} \times\left(A \hat{\mathbf{n}}+A_{\perp} \hat{\mathbf{e}}\right)=\hat{\mathbf{n}} \times A_{\perp} \hat{\mathbf{e}}=A_{\perp}(\hat{\mathbf{n}} \times \hat{\mathbf{e}})\)

Одиничний вектор\(\hat{\mathbf{n}} \times \hat{\mathbf{e}}\) лежить в площині перпендикулярно\(\hat{\mathbf{n}} \) і також перпендикулярно до\(\hat{\mathbf{e}} \). Тому також\((\hat{\mathbf{n}} \times \hat{\mathbf{e}}) \times \hat{\mathbf{n}}\) є одиничним вектором, який паралельний\(\hat{\mathbf{e}} \) (правилом правої руки. Отже\((\hat{\mathbf{n}} \times \overrightarrow{\mathbf{A}}) \times \hat{\mathbf{n}}=A_{\perp} \hat{\mathbf{e}}\). Таким чином

\(\overrightarrow{\mathbf{A}}=A_{\|} \hat{\mathbf{n}}+A_{\perp} \hat{\mathbf{e}}=(\overrightarrow{\mathbf{A}} \cdot \hat{\mathbf{n}}) \hat{\mathbf{n}}+(\hat{\mathbf{n}} \times \overrightarrow{\mathbf{A}}) \times \hat{\mathbf{n}}\)