3.4: Векторний добуток (крос-добуток)

$\overrightarrow{\mathbf{B}}$Дозволяти$\overrightarrow{\mathbf{A}}$ і бути двома векторами. Оскільки будь-які два непаралельних вектора утворюють площину, ми позначаємо кут θ як кут між векторами$\overrightarrow{\mathbf{A}}$ і$\overrightarrow{\mathbf{B}}$ як показано на малюнку 3.27. Величина векторного$\overrightarrow{\mathbf{A}} \times \overrightarrow{\mathbf{B}}$ добутку векторів$\overrightarrow{\mathbf{A}}$ і$\overrightarrow{\mathbf{B}}$ визначається як добуток величини векторів$\overrightarrow{\mathbf{A}}$ і$\overrightarrow{\mathbf{B}}$ з синусом кута θ між двома вектори,

$$|\overrightarrow{\mathbf{A}} \times \overrightarrow{\mathbf{B}}|=|\overrightarrow{\mathbf{A}}||\overrightarrow{\mathbf{B}}| \sin (\theta) \nonumber$$

Кут θ між векторами обмежений значеннями, що$0 ≤ θ ≤ \pi$ забезпечують sin (θ) ≥ 0.

Малюнок 3.27: Векторна геометрія виробу. (CC BY-NC; Уміти Кая)

Напрямок векторного добутку визначається наступним чином. Вектори$\overrightarrow{\mathbf{A}}$ і$\overrightarrow{\mathbf{B}}$ утворюють площину. Враховуйте напрямок, перпендикулярне цій площині. Є дві можливості: ми виберемо одну з цих двох (ту, яка показана на малюнку 3.27) для напрямку векторного добутку,$\overrightarrow{\mathbf{A}} \times \overrightarrow{\mathbf{B}}$ використовуючи умовність, яку прийнято називати «правилом правої руки».

Правило праворуч для напрямку векторного добутку

Насамперед потрібно перемалювати вектори$\overrightarrow{\mathbf{A}}$ і$\overrightarrow{\mathbf{B}}$ так, щоб хвости торкалися. Потім намалюйте дугу, починаючи від вектора$\overrightarrow{\mathbf{A}}$ і закінчуючи вектором$\overrightarrow{\mathbf{B}}$. Завивайте праві пальці так само, як і дугу. Великий палець правої руки вказує в напрямку векторного добутку$\overrightarrow{\mathbf{A}} \times \overrightarrow{\mathbf{B}}$ (рис. 3.28).

Малюнок 3.28: Правило правої руки. (CC BY-NC; Уміти Кая)

Слід пам'ятати, що напрямок векторного добутку$\overrightarrow{\mathbf{A}} \times \overrightarrow{\mathbf{B}}$ перпендикулярно площині, утвореної$\overrightarrow{\mathbf{A}}$ і$\overrightarrow{\mathbf{B}}$. Ми можемо дати геометричну інтерпретацію величини векторного добутку, записавши величину як $$|\overrightarrow{\mathbf{A}} \times \overrightarrow{\mathbf{B}}|=|\overrightarrow{\mathbf{A}}|(|\overrightarrow{\mathbf{B}}| \sin (\theta)). \nonumber$$ Термін$|\overrightarrow{\mathbf{A}}| \sin \theta$ - проекція вектора$\overrightarrow{\mathbf{A}}$ в напрямку, перпендикулярному вектору,$\overrightarrow{\mathbf{B}}$ як показано на малюнку 3.29 (б). Векторний добуток двох векторів, паралельних (або антипаралельних) один одному, дорівнює нулю, оскільки кут між векторами дорівнює 0 (або$\pi$) і sin (0) = 0 (або sin ($\pi$) = 0). Геометрично два паралельних вектора не мають унікальної складової, перпендикулярної їх спільному напрямку

Малюнок 3.29: Проекція (a)$\overrightarrow{\mathbf{B}}$ перпендикулярно$\overrightarrow{\mathbf{A}}$, (b)$\overrightarrow{\mathbf{A}}$ перпендикулярно до$\overrightarrow{\mathbf{B}}$. (CC BY-NC; Уміти Кая)

Властивості векторного добутку

1. Векторний добуток є антикомутативним, оскільки зміна порядку векторів змінює напрямок векторного добутку правилом правої руки: $$\overrightarrow{\mathbf{A}} \times \overrightarrow{\mathbf{B}}=-\overrightarrow{\mathbf{B}} \times \overrightarrow{\mathbf{A}} \nonumber$$
2. Векторний добуток між вектором$c$,$c$$\overrightarrow{\mathbf{A}}$ де є скаляром і вектором$\overrightarrow{\mathbf{B}}$ $$c \overrightarrow{\mathbf{A}} \times \overrightarrow{\mathbf{B}}=c(\overrightarrow{\mathbf{A}} \times \overrightarrow{\mathbf{B}}) \nonumber$$ аналогічно, $$\overrightarrow{\mathbf{A}} \times c \overrightarrow{\mathbf{B}}=c(\overrightarrow{\mathbf{A}} \times \overrightarrow{\mathbf{B}}). \nonumber$$
3. Векторний добуток між сумою двох векторів$\overrightarrow{\mathbf{A}}$ і$\overrightarrow{\mathbf{B}}$ з вектором$\overrightarrow{\mathbf{C}}$ дорівнює $$(\overrightarrow{\mathbf{A}}+\overrightarrow{\mathbf{B}}) \times \overrightarrow{\mathbf{C}}=\overrightarrow{\mathbf{A}} \times \overrightarrow{\mathbf{C}}+\overrightarrow{\mathbf{B}} \times \overrightarrow{\mathbf{C}} \nonumber$$ Аналогічно, $$\overrightarrow{\mathbf{A}} \times(\overrightarrow{\mathbf{B}}+\overrightarrow{\mathbf{C}})=\overrightarrow{\mathbf{A}} \times \overrightarrow{\mathbf{B}}+\overrightarrow{\mathbf{A}} \times \overrightarrow{\mathbf{C}}. \nonumber$$

Векторне розкладання та векторний добуток: декартові координати

Спочатку обчислимо, що величина векторного добутку одиничних векторів$\overrightarrow{\mathbf{i}}$ і$\overrightarrow{\mathbf{j}}$:

$$|\hat{\mathbf{i}} \times \hat{\mathbf{j}}|=|\hat{\mathbf{i}} \| \hat{\mathbf{j}}| \sin (\pi / 2)=1 \nonumber$$

тому що вектори одиниці мають$\sin (\pi / 2)=1.$ величину$|\hat{\mathbf{i}}|=|\hat{\mathbf{j}}|=1$ і правилом правої руки напрямок

$$\overrightarrow{\mathbf{i}} \times \overrightarrow{\mathbf{j}} \nonumber$$

знаходиться в тому,$+\hat{\mathbf{k}}$ як показано на малюнку 3.30. Таким чином$\hat{\mathbf{i}} \times \hat{\mathbf{j}}=\hat{\mathbf{k}}$

Малюнок 3.30: Векторний добуток$\hat{\mathbf{i}} \times \hat{\mathbf{j}}$. (CC BY-NC; Уміти Кая)

Відзначимо, що це ж правило застосовується і для одиничних векторів в$z$ напрямках$y$ і, $$\hat{\mathbf{j}} \times \hat{\mathbf{k}}=\hat{\mathbf{i}}, \quad \hat{\mathbf{k}} \times \hat{\mathbf{i}}=\hat{\mathbf{j}} \nonumber$$ За антикомутативно властивістю (1) векторного $$\hat{\mathbf{j}} \times \hat{\mathbf{i}}=-\hat{\mathbf{k}}, \quad \hat{\mathbf{i}} \times \hat{\mathbf{k}}=-\hat{\mathbf{j}} \nonumber$$ добутку векторного добутку одиничного вектора$\hat{\mathbf{i}}$ з собою дорівнює нулю, оскільки два одиничних вектори паралельні один одному , (sin (0) = 0), $$|\hat{\mathbf{i}} \times \hat{\mathbf{i}}|=|\hat{\mathbf{i}} \| \hat{\mathbf{i}}| \sin (0)=0. \nonumber$$ Векторний добуток вектора одиниці$\hat{\mathbf{j}}$ з собою і одиничного вектора$\hat{\mathbf{k}}$ з собою також нуль з тієї ж причини, $$|\hat{\mathbf{j}} \times \hat{\mathbf{j}}|=0, \quad|\hat{\mathbf{k}} \times \hat{\mathbf{k}}|=0. \nonumber$$

Маючи на увазі ці властивості, тепер ми можемо розробити алгебраїчний вираз для векторного добутку з точки зору компонентів. Давайте виберемо декартову систему координат з вектором,$\overrightarrow{\mathbf{B}}$ що вказує вздовж позитивної\(x\) -осі з додатним\(x\) -компонентом$B_{x}.$ Тоді вектори$\overrightarrow{\mathbf{A}}$ і$\overrightarrow{\mathbf{B}}$ можуть бути записані як

$$\overrightarrow{\mathbf{A}}=A_{x} \hat{\mathbf{i}}+A_{y} \hat{\mathbf{j}}+A_{z} \hat{\mathbf{k}} \nonumber$$ \\ переправа стрілка {\ mathbf {B}} =B_ {x}\ hat {\ mathbf {i}}\ nonumber\] відповідно. Векторний добуток у векторних компонентах $$\overrightarrow{\mathbf{A}} \times \overrightarrow{\mathbf{B}}=\left(A_{x} \hat{\mathbf{i}}+A_{y} \hat{\mathbf{j}}+A_{z} \hat{\mathbf{k}}\right) \times B_{x} \hat{\mathbf{i}} \nonumber$$

Це стає,

\ [\ почати {вирівняний}
\ переправа стрілка {\ mathbf {A}}\ раз\ переправа стрілка {\ mathbf {B}} &=\ ліворуч (A_ {x}\ hat {\ mathbf {i}}\ раз B_ {x}\ капелюх {\ mathbf {i}}\ праворуч) +\ ліворуч (A_ {y} {\ mathbf {j}}\ раз B_ {x}\ капелюх {\ mathbf {i}}\ праворуч) +\ лівий (A_ {z}\ капелюх {\ mathbf {k}}\ раз B_ {x}\ капелюх {\ mathbf {i}}\ праворуч)\\
&=A_ {x} B_ {x} (\ капелюх {\ mathbf {i}}\ раз\ капелюх {\ mathbf {я}}) +A_ {y} B_ {x} (\ капелюх {\ mathbf {j}}\ час\ капелюх {\ mathbf {я}}) +A_ {z} B_ {x} (\ капелюх {\ mathbf {k}}\ раз\ капелюх {\ mathbf {i}})\\\ &=-A_ {y} B_ {x}\ капелюх {\ mathbf {k}} +A_ {z} B_ {x}\ капелюх {\ mathbf {j}}
\ кінець {вирівняний}\ nonumber\]

Вираз векторної складової для векторного добутку легко узагальнюється для довільних векторів

$$\overrightarrow{\mathbf{A}}=A_{x} \hat{\mathbf{i}}+A_{y} \hat{\mathbf{j}}+A_{z} \hat{\mathbf{k}} \nonumber$$ $$\overrightarrow{\mathbf{B}}=B_{x} \hat{\mathbf{i}}+B_{y} \hat{\mathbf{j}}+B_{z} \hat{\mathbf{k}} \nonumber$$

поступитися

$$\overrightarrow{\mathbf{A}} \times \overrightarrow{\mathbf{B}}=\left(A_{y} B_{z}-A_{z} B_{y}\right) \hat{\mathbf{i}}+\left(A_{z} B_{x}-A_{x} B_{z}\right) \hat{\mathbf{j}}+\left(A_{x} B_{y}-A_{y} B_{x}\right) \hat{\mathbf{k}} \nonumber$$

Векторне розкладання та векторний добуток: циліндричні координати

Нагадаємо циліндричну систему координат, яку ми покажемо на малюнку 3.31. Ми вибрали два напрямки, радіальне і тангенціальне в площині, і перпендикулярний напрямку до площини.

Малюнок 3.31: Циліндричні координати. (CC BY-NC; Уміти Кая)

Одиничні вектори знаходяться під прямим кутом один до одного, і тому, використовуючи правило правої руки, векторний добуток одиничних векторів задається співвідношеннями

$$\hat{\mathbf{r}} \times \hat{\boldsymbol{\theta}}=\hat{\mathbf{k}} \nonumber$$ $$\hat{\boldsymbol{\theta}} \times \hat{\mathbf{k}}=\hat{\mathbf{r}} \nonumber$$ $$\hat{\mathbf{k}} \times \hat{\mathbf{r}}=\hat{\boldsymbol{\theta}} \nonumber$$ Оскільки векторний продукт задовольняє,$\overrightarrow{\mathbf{A}} \times \overrightarrow{\mathbf{B}}=-\overrightarrow{\mathbf{B}} \times \overrightarrow{\mathbf{A}},$ ми також маємо це $$\hat{\boldsymbol{\theta}} \times \hat{\mathbf{r}}=-\hat{\mathbf{k}} \nonumber$$ $$\hat{\mathbf{k}} \times \hat{\mathbf{\theta}}=-\hat{\mathbf{r}} \nonumber$$ $$\hat{\mathbf{r}} \times \hat{\mathbf{k}}=-\hat{\mathbf{\theta}} \nonumber$$ Нарешті $$\hat{\mathbf{r}} \times \hat{\mathbf{r}}=\hat{\boldsymbol{\theta}} \times \hat{\boldsymbol{\theta}}=\hat{\mathbf{k}} \times \hat{\mathbf{k}}=\overrightarrow{\mathbf{0}} \nonumber$$

Приклад 3.6: Векторні продукти

З огляду на два вектори,$\overrightarrow{\mathbf{A}}=2 \hat{\mathbf{i}}+-3 \hat{\mathbf{j}}+7 \hat{\mathbf{k}} \text { and } \overrightarrow{\mathbf{B}}=5 \hat{\mathbf{i}}+\hat{\mathbf{j}}+2 \hat{\mathbf{k}}, \text { find } \overrightarrow{\mathbf{A}} \times \overrightarrow{\mathbf{B}} \nonumber$

Рішення

\ [\ почати {вирівнювати*}
\ переправа стрілка {\ mathbf {A}}\ раз\ переправа стрілка {\ mathbf {B}} &=\ ліворуч (A_ {y} B_ {z} B_ {z} B_ {y}\ праворуч)\ капелюх {\ mathbf {i}} +\ ліворуч (A_ {z} B_ {х}} -A_ {x} B_ {z}\ праворуч)\ капелюх {\ mathbf {j}} +\ лівий (A_ {x} B_ {y} -A_ {y} B_ {x}\ праворуч)\ капелюх {\ mathbf {k}}\ nonumber\\
& =( -3) (2) - (7) (1)) \ капелюх {\ mathbf {i}} + (7) (5) - (2) (2))\ капелюх {\ mathbf {j}} + (2) (1) - (-3) (5))\ капелюх {\ mathbf {k}}\\
&=-13\ капелюх {\ mathbf {i}} +31\ капелюх {\ mathbf {\ mathbf {bf {j}} +17\ hat {\ mathbf {k}}\ номер
\ кінець {align*}\ nonumber\]

Приклад 3.7: Закон Синеса

Для трикутника, показаного на малюнку 3.32 (а), доведіть закон вин,$|\overrightarrow{\mathbf{A}}| / \sin \alpha=|\overrightarrow{\mathbf{B}}| / \sin \beta=|\overrightarrow{\mathbf{C}}| / \sin \gamma,$ використовуючи векторний добуток.

Малюнок 3.32 (а): Приклад 3.6. (CC BY-NC; Уміти Кая)

Малюнок 3.32 (b): Векторний аналіз. (CC BY-NC; Уміти Кая)

Рішення

Розглянемо площу трикутника, утвореного трьома векторами$\overrightarrow{\mathbf{A}}$$\overrightarrow{\mathbf{B}}$$\overrightarrow{\mathbf{C}}$, і, де$\overrightarrow{\mathbf{A}} + \overrightarrow{\mathbf{B}} + \overrightarrow{\mathbf{C}} = 0$ (рис. 3.32 (б)). Тому що$\overrightarrow{\mathbf{A}} + \overrightarrow{\mathbf{B}} + \overrightarrow{\mathbf{C}} = 0$, ми маємо це$0 = \overrightarrow{\mathbf{A}} \times (\overrightarrow{\mathbf{A}} + \overrightarrow{\mathbf{B}} + \overrightarrow{\mathbf{C}})$. Таким чином$\overrightarrow{\mathbf{A}} \times \overrightarrow{\mathbf{B}} = -\overrightarrow{\mathbf{A}} \times \overrightarrow{\mathbf{C}}$ або$|\overrightarrow{\mathbf{A}} \times \overrightarrow{\mathbf{B}}| = |\overrightarrow{\mathbf{A}} \times \overrightarrow{\mathbf{C}}|$.

З малюнка 17.7b ми бачимо, що

$|\overrightarrow{\mathbf{A}}\times\overrightarrow{\mathbf{B}}|=|\overrightarrow{\mathbf{A}}||\overrightarrow{\mathbf{B}}|\sin\gamma$

і

$|\overrightarrow{\mathbf{A}} \times \overrightarrow{\mathbf{C}}|=|\overrightarrow{\mathbf{A}}||\overrightarrow{\mathbf{C}}| \sin \beta$.

Тому,

$|\overrightarrow{\mathbf{A}}||\overrightarrow{\mathbf{B}}|\sin\gamma=|\overrightarrow{\mathbf{A}}||\overrightarrow{\mathbf{C}}| \sin \beta$,

і, отже,

$|\overrightarrow{\mathbf{B}}| / \sin \beta=|\overrightarrow{\mathbf{C}}| / \sin \gamma$.

Подібний аргумент показує, що$|\overrightarrow{\mathbf{B}}| / \sin \beta=|\overrightarrow{\mathbf{A}}| / \sin \alpha$ доводить закон синусів.

Приклад 3.8: Нормальна одиниця

Знайти одиничний вектор, перпендикулярний$\overrightarrow{\mathbf{A}}=\hat{\mathbf{i}}+\hat{\mathbf{j}}-\hat{\mathbf{k}}$ і$\overrightarrow{\mathbf{B}}=-2 \hat{\mathbf{i}}-\hat{\mathbf{j}}+3 \hat{\mathbf{k}}.$

Рішення

Векторний$\overrightarrow{\mathbf{A}} \times \overrightarrow{\mathbf{B}}$ добуток перпендикулярний обом$\overrightarrow{\mathbf{A}}$ і$\overrightarrow{\mathbf{B}}.$ Тому$\hat{\mathbf{n}}=\pm \overrightarrow{\mathbf{A}} \times \overrightarrow{\mathbf{B}} / | \overrightarrow{\mathbf{A}} \times \overrightarrow{\mathbf{B}}$ одиничні вектори перпендикулярні$\overrightarrow{\mathbf{B}}.$ обом$\overrightarrow{\mathbf{A}}$ і Ми спочатку обчислимо

\ [\ почати {вирівняний}
\ переправа стрілка {\ mathbf {A}}\ раз\ переправа стрілка {\ mathbf {B}} &=\ ліворуч (A_ {y} B_ {z} B_ {z} B_ {y}\ праворуч)\ капелюх {\ mathbf {i}} +\ ліворуч (A_ {z} B_ {x} -A_ {x} B_ {z}\ праворуч)\ капелюх {\ mathbf {j}} +\ лівий (A_ {x} B_ {y} -A_ {y} B_ {x}\ праворуч)\ капелюх {\ mathbf {k}}\ nonumber\\
& =( 1) (3) - (-1) (-1) (-1) (-1) (-1) )\ капелюх {\ mathbf {i}} + ((-1) (2) - (1) (3))\ капелюх {\ mathbf {j}} + (1) (-1) - (1) (2))\ капелюх {\ mathbf {k}}\\
&= 2\ шапка {\ mathbf {i}} -5\ капелюх {\ mathbf {f {j}} -3\ hat {\ mathbf {k}}\ номер
\ кінець {вирівняний}\ nonumber\]

Тепер обчислюємо величину $$|\overrightarrow{\mathbf{A}} \times \overrightarrow{\mathbf{B}}|=\left(2^{2}+5^{2}+3^{2}\right)^{1 / 2}=(38)^{1 / 2}. \nonumber$$ Тому перпендикулярні одиничні вектори $$\hat{\mathbf{n}}=\pm \overrightarrow{\mathbf{A}} \times \overrightarrow{\mathbf{B}} /|\overrightarrow{\mathbf{A}} \times \overrightarrow{\mathbf{B}}|=\pm(2 \hat{\mathbf{i}}-5 \hat{\mathbf{j}}-3 \hat{\mathbf{k}}) /(38)^{1 / 2} \nonumber$$

Приклад 3.9: Обсяг паралелепіпеда

Показати, що об'єм паралелепіпеда з ребрами утворений векторами$\overrightarrow{\mathbf{A}},$$\overrightarrow{\mathbf{B}},$ і$\overrightarrow{\mathbf{C}}$ задається$\overrightarrow{\mathbf{A}} \cdot(\overrightarrow{\mathbf{B}} \times \overrightarrow{\mathbf{C}})$

Рішення

Обсяг паралелепіпеда задається площею підстави на висоту. Якщо основа утворена векторами,$\overrightarrow{\mathbf{B}}, {and} \overrightarrow{\mathbf{C}},$ то площа підстави задається величиною вектора,$\overrightarrow{\mathbf{B}} \times \overrightarrow{\mathbf{C}}=|\overrightarrow{\mathbf{B}} \times \overrightarrow{\mathbf{C}}| \hat{\mathbf{n}}$ де -$\hat{\mathbf{n}}$ одиничний вектор, перпендикулярний до основи (рис. 3.33).$\overrightarrow{\mathbf{B}} \times \overrightarrow{\mathbf{C}}.$

Малюнок 3.33 Приклад 3.9. (CC BY-NC; Уміти Кая)

Проекція вектора$\overrightarrow{\mathbf{A}}$ уздовж напрямку$\hat{\mathbf{n}}$ дає висоту паралелепіпеда. Ця проекція задається шляхом взяття точкового добутку$\overrightarrow{\mathbf{A}}$ з одиничним вектором і дорівнює$\overrightarrow{\mathbf{A}} \cdot \hat{\mathbf{n}}=\text {height}.$ Тому $$\overrightarrow{\mathbf{A}} \cdot(\overrightarrow{\mathbf{B}} \times \overrightarrow{\mathbf{C}})=\overrightarrow{\mathbf{A}} \cdot(|\overrightarrow{\mathbf{B}} \times \overrightarrow{\mathbf{C}}|) \hat{\mathbf{n}}=(|\overrightarrow{\mathbf{B}} \times \overrightarrow{\mathbf{C}}|) \overrightarrow{\mathbf{A}} \cdot \hat{\mathbf{n}}=(\text {area})(\text {height})=(\text {volume}) \nonumber$$

Приклад 3.10: Векторне розкладання

$\overrightarrow{\mathbf{A}}$Дозволяти бути довільним вектором і нехай$\overrightarrow{\mathbf{n}}$ бути одиничний вектор в деякому фіксованому напрямку. Покажіть, що$\overrightarrow{\mathbf{A}}=(\overrightarrow{\mathbf{A}} \cdot \hat{\mathbf{n}}) \hat{\mathbf{n}}+(\hat{\mathbf{n}} \times \overrightarrow{\mathbf{A}}) \times \hat{\mathbf{n}}$.

Рішення

Нехай$\overrightarrow{\mathbf{A}}=A_{\|} \hat{\mathbf{n}}+A_{\perp} \hat{\mathbf{e}}$ де$A_{\|}$ є складовою$\overrightarrow{\mathbf{A}}$ в напрямку$\hat{\mathbf{n}}$,$\hat{\mathbf{e}}$ є напрямок проекції$\overrightarrow{\mathbf{A}}$ в площині перпендикулярно$\hat{\mathbf{n}}$, і$A_{\perp}$ є складовою$\overrightarrow{\mathbf{A}}$ в напрямку$\hat{\mathbf{e}}$. Тому що$\hat{\mathbf{e}} \cdot \hat{\mathbf{n}}=0$ ми маємо це$\overrightarrow{\mathbf{A}} \cdot \hat{\mathbf{n}}=A_{\|}$. Зверніть увагу, що

$\hat{\mathbf{n}} \times \overrightarrow{\mathbf{A}}=\hat{\mathbf{n}} \times\left(A \hat{\mathbf{n}}+A_{\perp} \hat{\mathbf{e}}\right)=\hat{\mathbf{n}} \times A_{\perp} \hat{\mathbf{e}}=A_{\perp}(\hat{\mathbf{n}} \times \hat{\mathbf{e}})$

Одиничний вектор$\hat{\mathbf{n}} \times \hat{\mathbf{e}}$ лежить в площині перпендикулярно$\hat{\mathbf{n}}$ і також перпендикулярно до$\hat{\mathbf{e}}$. Тому також$(\hat{\mathbf{n}} \times \hat{\mathbf{e}}) \times \hat{\mathbf{n}}$ є одиничним вектором, який паралельний$\hat{\mathbf{e}}$ (правилом правої руки. Отже$(\hat{\mathbf{n}} \times \overrightarrow{\mathbf{A}}) \times \hat{\mathbf{n}}=A_{\perp} \hat{\mathbf{e}}$. Таким чином

$\overrightarrow{\mathbf{A}}=A_{\|} \hat{\mathbf{n}}+A_{\perp} \hat{\mathbf{e}}=(\overrightarrow{\mathbf{A}} \cdot \hat{\mathbf{n}}) \hat{\mathbf{n}}+(\hat{\mathbf{n}} \times \overrightarrow{\mathbf{A}}) \times \hat{\mathbf{n}}$