28.3: Використання енергії та збереження моменту

Ми також можемо отримати деяке уявлення про рух вільної спінінгу тільки від збереження енергії та кутового імпульсу.

Рівняння такі:

\ begin {рівняння}
\ почати {масив} {l}
\ розриву {L_ {1} ^ {2}} {I_ {1}} +\ гідророзриву {L_ {2}} {2}} {I_ {1}} +\ frac {L_ {3} ^ {2}} {I_ {3}}} =2 E\\
L_ {1} ^ {2} +L _ {2} ^ {2} +L_ {3} ^ {2} =L^ {2}
\ кінець {масив}
\ end {рівняння}

Візуалізуйте ці рівняння у вигляді поверхонь у$\left(L_{1}, L_{2}, L_{3}\right)$ просторі.

Друга - сфера, радіус L, центрована в початковій точці.

Перший - еліпсоїд, також центрований у початку, з напіввеликими осями

\ begin {рівняння}
\ ліворуч (\ sqrt {2 E I_ {1}},\ sqrt {2 E I_ {1}}},\ sqrt {2 E I_ {3}}\ праворуч)
\ end {рівняння}

Чи перетинаються ці дві поверхні?

Відповідь - так, вони завжди роблять.

Щоб це побачити, припустимо спочатку, що$\begin{equation}I_{1}>I_{3}, \text { then } 2 E I_{1} \geq L, \text { and further } L \geq 2 E I_{3}\end{equation}$. Сфера перетинає еліпсоїд в двох колах. Вони вироджуються до одного кола, екватора$L_{3}=0$, коли та двох точок (полюсів), коли$L_{1}=L_{2}=0$.

Робимо висновок, що шлях вектора кутового моменту являє собою коло навколо осі симетрії в системі координат тіла, і так як ми знаємо, що відносно нерухомих осях простору кутовий імпульс фактично постійний, це означає, що насправді тіло передує навколо своєї осі симетрії. як бачить спостерігач.