28.4: Асиметричний верх

Last updated
Save as PDF

Page ID: 75119

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Тут ми узагальнимо наведені вище рівняння і аргументуємо загальний випадок трьох різних моментів інерції щодо трьох головних осей. Тобто,

\ begin {рівняння}\ почати {масив} {r}\ dfrac {L_ {1} ^ {2}} {I_ {1}} +\ dfrac {L_ {2}} {I_ {2}} {I_ {2}} {I\ L_ {1} ^ {2}} {I_ {3}} =2 E\
L_ {1} ^ {2}} +L_ {2} ^ {2} +L_ {3} ^ {2} =L^ {2}\ end {масив}\ end {рівняння}

Ми візьмемо

\[I_{3}>I_{2}>I_{1}\]

З обмежень за енергією для заданого моменту максимальний радіус сфери - це максимальна піввелика вісь еліпсоїда, еліпсоїд торкається сфери на двох її крайніх полюсах. Для трохи меншої сфери лінії перетину становлять два малі еліпси, зосереджені на полюсах, очевидно, велика вісь буде йти навколо цього еліптичного конуса у фіксованому просторі. На іншій крайності, мінімально допустимий момент імпульсу для даної енергії, сфера повністю знаходиться всередині еліпсоїда, за винятком того, що вона стосується кінців найкоротших осей. Знову ж таки, для вершини з трохи більшим кутовим імпульсом він буде прецес (еліптично) навколо цієї мінімальної осі.

В обох цих випадках спина навколо осі стійка проти невеликих збурень. Це не стосується спіна навколо середньої осі - для цієї енергії перетин сфери та еліпсоїда не зменшується до двох точок.

Рівняння для чистого спина навколо середньої осі можуть бути записані

\[ \begin{array}{r}\dfrac{L_{1}^{2}}{I_{1}}+\dfrac{L_{2}^{2}}{I_{2}}+\dfrac{L_{3}^{2}}{I_{3}}=2 E \\\dfrac{L_{1}^{2}}{I_{2}}+\dfrac{L_{2}^{2}}{I_{2}}+\dfrac{L_{3}^{2}}{I_{2}}=\dfrac{L^{2}}{I_{2}}=2 E\end{array}\]

Ці рівняння визначають точки, загальні для сфери та еліпсоїда при цій енергії.

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Контури постійного моменту моменту на еліпсоїдальній поверхні постійної енергії, розглянуті уздовж проміжної осі.

Віднімаючи другу з першого, знаходимо

\[L_{1}^{2}\left(\dfrac{1}{I_{1}}-\dfrac{1}{I_{2}}\right)+L_{3}^{2}\left(\dfrac{1}{I_{3}}-\dfrac{1}{I_{2}}\right)=0\]

з розчинами

\[L_{1}=\pm c L_{3}, \quad c=I_{1}\left(I_{3}-I_{2}\right) / I_{2}\left(I_{2}-I_{1}\right)\]

Отже, для цієї енергії та загального моменту моменту у квадраті перетин сфери та еліпсоїда знаходиться у двох площинях, обидві містять проміжну вісь. Це означає, що будь-яке збурення цього руху посилатиме систему вздовж одного з цих шляхів або траєкторії, близької до неї - іншими словами, вона відхилиться далеко від свого початкового руху, на відміну від обертання навколо будь-якої з двох інших осей.

У всіх випадках шлях, за яким слідує\(\vec{L}\), перетин сфери та еліпсоїда, замкнутий, тому кутовий імпульс повертається до свого початкового значення, в періодичному русі. Ландау обчислює період, пряме (але занадто тривале, щоб повторити тут) рішення рівнянь Ейлера, даючи еліптичні функції. Власне, верх не повертається до початкової конфігурації: кутовий момент повертається, але вершина має інше кутове положення щодо своєї осі. Ландау стверджує це (Беррі подобається?) результат, але посилається на Віттакер для виведення.