Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

28.2: Вільне обертання симетричної вершини за допомогою рівнянь Ейлера

  • Page ID
    75108
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Це проблема, яку ми вже вирішили, використовуючи методи Лагранжа та кути Ейлера, але варто побачити, наскільки легко це використовувати рівняння Ейлера.

    Бо\(I_{1}=I_{2}\), третє рівняння дає відразу\(\Omega_{3}=\text { constant. }\).

    Потім, пишучи для зручності

    \ begin {рівняння}
    \ Омега_ {3}\ ліворуч (I_ {3} -I_ {1}\ праворуч)/I_ {1} =\ омега
    \ кінець {рівняння}

    перші два рівняння

    \ begin {рівняння}
    \ точка {\ Омега} _ {1} =-\ омега\ Омега_ {2},\ quad\ dot {\ Omega} _ {2} =\ омега\ Омега_ {1}
    \ кінець {рівняння}

    Ці рівняння можуть бути об'єднані, щоб дати

    \ begin {рівняння}
    d\ лівий (\ Омега_ {1} +i\ Омега_ {2}\ праворуч)/d t=i\ омега\ ліворуч (\ Омега_ {1} +i\ Омега_ {2}\ праворуч),\ текст {sо}\ ліворуч (\ Омега_ {1} +i\ Омега_ {2}\ праворуч) =A e^ {i\ омега t}
    \ end {рівняння}

    Тобто\(\left(\Omega_{1}, \Omega_{2}\right)\) рухається по колу, центрованому на початку, з постійною кутовою швидкістю. Таким чином,\(\begin{equation}\Omega_{1}^{2}+\Omega_{2}^{2}=|A|^{2}\end{equation}\) залишається постійним, і\(\Omega_{3}\) є постійним, вектор кутової швидкості має постійну довжину і обертається стабільно навколо осі\(x_{3}\).

    Від

    \ begin {рівняння}
    L_ {1} =I_ {1}\ Омега_ {1}, L_ {2} =I_ {2}\ Омега_ {2}, L_ {3} =I_ {3}\ Omega_ {3}
    \ end {рівняння}

    з цього випливає, що вектор кутового моменту також перегинається зі стійкою швидкістю близько\(x_{3}\). Це, пам'ятайте, в рамці кузова - ми знаємо, що у фіксованій космічній рамці вектор кутового імпульсу постійний! Звідси випливає, що, якщо дивитися зовні,\(x_{3}\) вісь перегинається навколо фіксованого вектора кутового моменту зі стійкою швидкістю.

    Звичайно, швидкість така ж, як і виявлена за допомогою кутів Ейлера, нагадаємо з попередньої лекції, що

    \ begin {рівняння}
    \ vec {L} =\ ліво (I_ {1}\ Омега_ {1}, I_ {1}\ Омега_ {2}, I_ {3}\ Омега_ {3}\ праворуч) =\ ліворуч (I_ {1}\ точка {\ тета},\ квадрад I_ {1}\ точка {\ phi}\ sin\ тета,\ квад I_ {1} 3} (\ точка {\ phi}\ cos\ тета+\ точка {\ psi})\ праворуч)
    \ кінець {рівняння}

    так в прецесії

    \ begin {рівняння}
    L_ {3} =L\ cos\ theta=I_ {3} (\ точка {\ phi}\ cos\ тета+\ точка {\ psi})\ текст {і}\ точка {\ phi} =L/I_ {1}
    \ кінець {рівняння}

    тому

    \ begin {рівняння}
    \ точка {\ psi} =L\ cos\ тета\ ліворуч (\ frac {1} {I_ {3}}} -\ frac {1} {1}}\ праворуч) =-\ Омега_ {3}\ ліворуч (I_ {3} -I_ {1}\ праворуч)/I_ {1}
    \ кінець {рівняння}