28.2: Вільне обертання симетричної вершини за допомогою рівнянь Ейлера
- Page ID
- 75108
Це проблема, яку ми вже вирішили, використовуючи методи Лагранжа та кути Ейлера, але варто побачити, наскільки легко це використовувати рівняння Ейлера.
Бо\(I_{1}=I_{2}\), третє рівняння дає відразу\(\Omega_{3}=\text { constant. }\).
Потім, пишучи для зручності
\ begin {рівняння}
\ Омега_ {3}\ ліворуч (I_ {3} -I_ {1}\ праворуч)/I_ {1} =\ омега
\ кінець {рівняння}
перші два рівняння
\ begin {рівняння}
\ точка {\ Омега} _ {1} =-\ омега\ Омега_ {2},\ quad\ dot {\ Omega} _ {2} =\ омега\ Омега_ {1}
\ кінець {рівняння}
Ці рівняння можуть бути об'єднані, щоб дати
\ begin {рівняння}
d\ лівий (\ Омега_ {1} +i\ Омега_ {2}\ праворуч)/d t=i\ омега\ ліворуч (\ Омега_ {1} +i\ Омега_ {2}\ праворуч),\ текст {sо}\ ліворуч (\ Омега_ {1} +i\ Омега_ {2}\ праворуч) =A e^ {i\ омега t}
\ end {рівняння}
Тобто\(\left(\Omega_{1}, \Omega_{2}\right)\) рухається по колу, центрованому на початку, з постійною кутовою швидкістю. Таким чином,\(\begin{equation}\Omega_{1}^{2}+\Omega_{2}^{2}=|A|^{2}\end{equation}\) залишається постійним, і\(\Omega_{3}\) є постійним, вектор кутової швидкості має постійну довжину і обертається стабільно навколо осі\(x_{3}\).
Від
\ begin {рівняння}
L_ {1} =I_ {1}\ Омега_ {1}, L_ {2} =I_ {2}\ Омега_ {2}, L_ {3} =I_ {3}\ Omega_ {3}
\ end {рівняння}
з цього випливає, що вектор кутового моменту також перегинається зі стійкою швидкістю близько\(x_{3}\). Це, пам'ятайте, в рамці кузова - ми знаємо, що у фіксованій космічній рамці вектор кутового імпульсу постійний! Звідси випливає, що, якщо дивитися зовні,\(x_{3}\) вісь перегинається навколо фіксованого вектора кутового моменту зі стійкою швидкістю.
Звичайно, швидкість така ж, як і виявлена за допомогою кутів Ейлера, нагадаємо з попередньої лекції, що
\ begin {рівняння}
\ vec {L} =\ ліво (I_ {1}\ Омега_ {1}, I_ {1}\ Омега_ {2}, I_ {3}\ Омега_ {3}\ праворуч) =\ ліворуч (I_ {1}\ точка {\ тета},\ квадрад I_ {1}\ точка {\ phi}\ sin\ тета,\ квад I_ {1} 3} (\ точка {\ phi}\ cos\ тета+\ точка {\ psi})\ праворуч)
\ кінець {рівняння}
так в прецесії
\ begin {рівняння}
L_ {3} =L\ cos\ theta=I_ {3} (\ точка {\ phi}\ cos\ тета+\ точка {\ psi})\ текст {і}\ точка {\ phi} =L/I_ {1}
\ кінець {рівняння}
тому
\ begin {рівняння}
\ точка {\ psi} =L\ cos\ тета\ ліворуч (\ frac {1} {I_ {3}}} -\ frac {1} {1}}\ праворуч) =-\ Омега_ {3}\ ліворуч (I_ {3} -I_ {1}\ праворуч)/I_ {1}
\ кінець {рівняння}