Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

28.1: Вступ до рівнянь Ейлера

  • Page ID
    75107
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Ми щойно бачили, що вказуючи напрямок обертання та кутову фазу тіла, що обертається за допомогою кутів Ейлера, ми можемо записати Лагранжа через ці кути та їх похідні, а потім вивести рівняння руху. Вони можуть бути вирішені для опису прецесії, нутації тощо.

    Можна сподіватися на більш прямий ньютонівський підхід - ми знаємо, наприклад, що постійно попередній дитячий верх легко зрозуміти з точки зору гравітаційного крутного моменту, що обертає вектор кутового імпульсу.

    Як щодо застосування\((d \vec{L} / d t)_{\mathrm{lab}}=\vec{K}\) (зовнішнього крутного моменту на системі) загалом? Це, безумовно, справедливо. Проблема в тому, що в лабораторії кадр\(\vec{L}=\mathbf{I} \vec{\Omega}\) є

    \[L_{i}=I_{i j} \Omega_{j}\]

    а елементи тензора інерції щодо лабораторних осей постійно змінюються в міру обертання тіла.

    Ньютонівський підхід є практичним лише в тому випадку, якщо зв'язок між ними\(\vec{L}, \vec{\Omega}\) може бути здійснений в корпусі, визначеному основними осями інерції,\(\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right), \text { in which } \vec{L}=\mathbf{I} \vec{\Omega}\) є

    \ begin {рівняння}
    L_ {1} =I_ {1}\ Омега_ {1}, L_ {2} =I_ {2}\ Омега_ {2}, L_ {3} =I_ {3}\ Omega_ {3}
    \ end {рівняння}

    При обертанні рами тіла\(\vec{\Omega}\) відносно нерухомого в просторі (X, Y, Z) кадру швидкості зміни вектора в двох кадрах задовольняють

    \ begin {рівняння}
    \ лівий (\ frac {d\ vec {A}} {d t}\ праворуч) _ {\ mathrm {лабораторія}} =\ лівий (\ frac {d\ vec {A}} {d t}\ праворуч) _ {\ mathrm {тіло}} +\ vec {\ Омега}\ times\ vec {A}
    \ кінець {рівняння}

    Щоб зрозуміти це рівняння, подумайте спочатку про рухому частинку, скажімо помилку, що повзає по обертовому тілу. Рух клопа щодо центру обертання дорівнює його переміщенню щодо осей, закріплених у обертовому тілі, плюс обертальний рух цього тіла щодо нерухомих в просторі осей.

    Ви можете думати в цей момент: так, я бачу, що це правда, якщо вектор представляє положення частинки, яка рухається в просторі, але ми дивимося на мінливий момент моменту, чому не кутовий імпульс просто нуль у кадрі, в якому тіло знаходиться в стані спокою? І кутова швидкість теж?

    Але те, що тут мається на увазі під вектором «в рамці тіла» - це складові вектора в інерційній рамці, яка на мить збігається з основними осями.

    \(\vec{\Omega} \times \vec{A}\)Термін являє собою зміну при проходженні цієї послідовності інерційних кадрів.

    Подумайте про довгий вперед пас (американського) футболу. Куля обертається навколо своєї довгої осі (зазвичай), але ця вісь сама передує про лінію польоту. Звичайно, опір повітря імовірно допомагає йому вибудовуватися таким чином, але це не основний ефект, який полягає в тому, що вектор кутового імпульсу вказує в постійному напрямку в просторі, вісь симетрії передує навколо нього, як ми бачили на метанні м'яча в класі. Уявіть, що тепер біжить поруч з м'ячем, тримаючи олівець, що вказує в напрямку постійного вектора кутового імпульсу. Як бачить спостерігач у кулі, відносно основних осей кулі кадру відліку, олівець буде описувати конус - це те, що ми маємо на увазі під шляхом вектора кутового імпульсу відносно осей тіла.

    Рівняння руху в корпусі кадру тоді

    \ почати {рівняння}
    \ лівий (\ frac {d\ vec {P}} {d t}\ праворуч) _ {\ mathrm {тіло}} +\ vec {\ Omega}\ times\ vec {P} =\ vec {F},\ квад\ ліворуч (\ frac {d\ vec {L}} {d t}\ праворуч) _ {\ mathrm {тіло}} +\ vec\ Омега}\ раз\ vec {L} =\ vec {K}
    \ кінець {рівняння}

    де\(\vec{F}, \vec{K}\) знаходяться зовнішня сила і пара відповідно.

    Написання рівняння моменту в компонентах вздовж головних осей:

    \ begin {рівняння}
    \ почати {вирівняний}
    I_ {1} d\ Омега_ {1}/d t+\ ліворуч (I_ {3} -I_ {2}\ праворуч)\ Омега_ {2}\ Омега_ {3} &=K_ {1}\
    I_ {2} d\ Omega_ {2}/d t+\ ліворуч (I_ {1} -I _ {3}\ праворуч)\ Омега_ {3}\ Омега_ {1} &=K_ {2}\\
    I_ {3} d\ Омега_ {3}/d t+\ ліворуч (I_ {2} -I_ {1}\ праворуч)\ Омега_ {1}\ Омега_ {2} &=K_ {3}
    \ кінець {вирівняний}
    \ кінець {рівняння}

    Це рівняння Ейлера.

    У важливому окремому випадку нульового крутного моменту:

    \ begin {рівняння}
    \ почати {масив} {l}
    I_ {1} d\ Омега_ {1}/d t+\ лівий (I_ {3} -I_ {2}\ праворуч)\ Омега_ {2}\ Омега_ {3} =0\
    I_ {2} d\ Omega_ {2}/d t+\ ліворуч (I_ {1} -I_ {2} 3}\ праворуч)\ Омега_ {3}\ Омега_ {1} =0\\
    I_ {3} d\ Омега_ {3}/d t+\ ліворуч (I_ {2} -I_ {1}\ праворуч)\ Омега_ {1}\ Омега_ {2} =0
    \ end {масив}
    \ end {рівняння}