15.5: Векторний підхід - рівняння Гамільтона та вектор Рунге Ленца
- Page ID
- 75193
(В основному слідом за Мілном, Векторна механіка, стор 235 на.)
Лаплас і Гамільтон розробили досить інший підхід до цієї проблеми оберненої квадратної орбіти, найкраще виражений векторно, і зробили дивовижне відкриття: хоча збереження кутового імпульсу та енергії було достатньо, щоб повністю визначити рух, для окремого випадку зворотного площа центральної сили, щось інше було збережено. Так що система має іншу симетрію!
Підхід Гамільтона (фактично векторизований Гіббсом) полягав у застосуванні оператора\(\vec{L} \times\) до рівняння руху\(m \stackrel{\ddot{\rightarrow}}{r}=-f(r) \overrightarrow{\vec{r}}\)
\ begin {рівняння}\ vec {L}\ раз м\ ddot {\ vec {r}} =-f (r) [(\ vec {r}\ раз м\ точка {\ vec {r}})\ раз\ widehat {\ vec {r}}]\ кінець {рівняння}
Зараз
\ begin {рівняння}
\ почати {вирівняний}
& (\ vec {r}\ times\ vec {r})\ times\ overrightarrow {\ vec {r}} =-\ vec {r} (\ vec {r}}\ cdot\ overrightarrow {\ vec {r}}) +r\ dot {\
vec {r}\ ліворуч (\ frac {\ dot {\ vec {r}}} {r} -\ frac {\ vec {r}} {r^ {2}}\ frac {d r} {d t}\ праворуч) &=r^ {2}\ розрив {d} {d t}\ ліворуч (\ frac {\ vec {r}}} {r}\ праворуч) =r^ {2}\ frac {d\ vec {r}} {d t}
\ кінець {вирівняний}
\ кінець {рівняння}
тому
\ begin {рівняння}\ vec {L}\ раз m\ stackrel {\ ddot {\ rightarrow}} {r} =-m r^ {2} f (r)\ frac {d\ vec {r}} {d t}\ кінець {рівняння}
Це відоме як рівняння Гамільтона.
Насправді, це досить легко зрозуміти, дивлячись на це:\(d \vec{r} / d t\) має величину\(\dot{\theta}\) і напрямок перпендикулярно\(\vec{r}\)\(m \stackrel{\ddot{\vec{r}}}{r}=-f(r) \widehat{\vec{r}}, m r^{2} \dot{\theta}=L\), і т.д.
Однак це не дуже корисно — за винятком одного випадку, зворотного квадрата:\(f(r)=k / r^{2} \quad \text { (so } \left.k=G M .\right)\)
Потім він стає простежуваним:\ (\
begin {рівняння}\ vec {L}\ раз м\ ddot {\ vec {r}} =-м r^ {2} f (r)\ frac {d\ widehat {r}} {d\ widehat {r}
\ кінець {рівняння}\ -сюрприз - це інтегрується негайно до
\ begin {рівняння}\ vec {L}\ раз m\ vec {r} =-k m\ overrightarrow {\ vec {r}} -\ vec {A}\ end {рівняння}
\(\vec{A}\)де векторна константа інтеграції, тобто ми знаходимо
\ begin {рівняння}\ vec {A} =\ vec {p}\ times\ vec {L} -k m\ vec {r}\ end {рівняння}
постійний протягом усього руху!
Це несподівано: ми виявили звичайні збережені величини, енергію і момент моменту, і дійсно їх було достатньо для того, щоб знайти орбіту. Але для окремого випадку закону зворотного квадрата зберігається щось інше. Це називається вектор Runge Lenz (іноді Лаплас Рунге Ленц, і насправді Рунге і Ленц насправді не заслуговують на славу - вони просто перехешували роботу Гіббса в підручнику).
З нашого попереднього обговорення цей збережений вектор повинен відповідати симетрії. Пошук орбіти дає деяке уявлення про те, що особливого в законі зворотного квадрата.
Отримання орбітального рівняння з вектора Рунге-Ленца
Вектор Рунге Ленца дає дуже швидке виведення еліптичної орбіти, без неочевидних хитрощів Бернуллі в стандартній деривації, представленої вище.
Спочатку, взявши точковий добуток\(\vec{A}=\vec{p} \times \vec{L}-k m \vec{r}\) з моменту моменту моменту\(\vec{L}\), ми знаходимо\(\vec{A} \cdot \vec{L}=k m \vec{r} \cdot \vec{L}=0\), що означає, що постійний вектор\(\vec{A}\) лежить в площині орбіти.
Далі беремо точковий добуток\(\vec{A} \text { with } \vec{r}, \text { and since } \vec{p} \times \vec{L} \cdot \vec{r}=\vec{L} \cdot \vec{r} \times \vec{p}=L^{2}\), знаходимо\(L^{2}=k m r+\vec{A} \cdot \vec{r}, \text { or }\)
\(\frac{\ell}{r}=1+e \cos \theta\)
де\(\ell=L^{2} / k m, e=A / k m \text { and } \theta\) - кут між орбітальним положенням планети і вектором Рунге Ленца\(\vec{A}\).
Це стандартне\((r, \theta)\) рівняння для еліпса, з\(ℓ\) напівширокої прямої кишки (перпендикулярна відстань від фокуса до еліпса), е ексцентриситет.
Очевидно,\(\vec{A}\) вказує уздовж великої осі.
Справа в тому, що напрямок великої осі залишається колишнім: еліптична орбіта повторюється нескінченно довго.
Якщо закон сили трохи змінюється від зворотно-квадратного, орбіта переступає: вся еліптична орбіта обертається навколо центрального фокуса, вектор Рунге Ленца вже не є збереженою величиною. Власне кажучи, звичайно, орбіта не зовсім еліптична навіть на один раз у цьому випадку. Найвідомішим прикладом, історично, був розширений аналіз прецесії орбіти Меркурія, велика частина якої прецесія виникає внаслідок гравітаційних тяг з інших планет, але коли все це було враховано, залишилося над прецесією, яка призвела до тривалих пошуків планети ближче до Сонця ( його не існувало), але розбіжність була остаточно, і саме, враховувалася теорією загальної відносності Ейнштейна.
Варіація вектора імпульсу на орбіті (Годограф)
Цікаво і повчально відстежувати, як змінюється вектор імпульсу з часом, це легко з рівняння Рунге Ленца. (Гамільтон зробив це.)
З того\(\vec{p} \times \vec{L}=k m \overrightarrow{\vec{r}}+\vec{A}\), що ми маємо
\ почати {рівняння}\ vec {L}\ раз (\ vec {p}\ times\ vec {L}) =k м\ vec {L}\ раз\ overrightarrow {\ vec {r}} +\ vec {L}\ times\ vec {A}\ end {рівняння}
Тобто,
\ begin {рівняння}\ vec {p} =\ frac {\ vec {L}\ times\ vec {A}} {L^ {2}} +\ frac {k m\ vec {L}} {L^ {2}}\ раз\ overrightarrow {\ vec {r}}\ кінець {рівняння}
Дивлячись на цей вислів, ми бачимо, що
\(\vec{p}\)йде по колу радіусом км/л близько точкової відстані\(A/L\) від початку площини імпульсу.
Звичайно,\(\vec{p}\) рухається в цьому колі не з рівномірною швидкістю (крім планети на круговій орбіті), її кутова прогресія по колу відповідає кутовому прогресії планети по її еліптичній орбіті (тому що її розташування на колі завжди перпендикулярно\(\vec{r}\) напрямку від центру кола).
Орбіта, побудована в просторі імпульсу, називається ходографом.
Орбітальна енергія як функція параметрів орбіти з використанням Рунге-Ленца
Доведемо, що загальна енергія і час повної орбіти залежать тільки від довжини великої осі еліпса. Таким чином, кругова орбіта і дуже тонка, що виходить до подвійного кругового радіуса, займають однаковий час і мають однакову загальну енергію на одиницю маси.
Візьміть\(\vec{p} \times \vec{L}=\vec{A}+k m \overrightarrow{\vec{r}}\) і квадрат з обох сторін, даючи
\ begin {рівняння}\ почати {масив} {c} p^ {2} L^ {2} =A^ {2} +k^ {2} m^ {2} +2 к м\ vec {A}\ cdot\ капелюх {\ vec {r}}\
=A^ {2} +k^ {2} m^ {2} +2 к м\ ліворуч (\ frac {L^ {2} -k m r} {r}\ право)\\ =A^ {2} -k^ {2} м^ {2} +2 к м L^ {2}/r\ end {масив}\ end {рівняння}
Розділення обох сторін на\(2 m L^{2}\)
\ begin {рівняння}\ розрив {p^ {2}} {2 м} -\ розрив {k} {r} =\ гідророзриву {A^ {2} -k^ {2} m^ {2}} {2}} {2 м L^ {2}}\ end {рівняння}
Вставляючи значення, знайдені вище,\(A=k m e, L^{2}=k m \ell, \ell=a\left(1-e^{2}\right)\) знаходимо
\ begin {рівняння}\ гідророзриву {p^ {2}} {2 м} -\ frac {k} {r} =-\ гідророзриву {k} {2 a}\ end {рівняння}
Так що загальна енергія, кінетична плюс потенціал, залежить тільки від довжини великої осі еліпса.
Тепер для часу на орбіті: ми показали, що площа змітається зі швидкістю,\(L / 2 m\) тому одна орбіта займає час\(T=\pi a b /(L / 2 m)\) і\(b=a \sqrt{1-e^{2}}, L=\sqrt{\operatorname{km} a\left(1-e^{2}\right)}\), так
\ почати {рівняння} T = 2\ пі a^ {3/2}\ sqrt {м/k} =2\ pi a^ {3/2}/\ sqrt {G M}\ кінець {рівняння}
Це знаменитий Третій закон Кеплера:\(T^{2} \propto a^{3}\), легко доведений для кругових орбіт, не такий простий для еліпсів.
Важлива підказка!
Завжди пам'ятайте, що для проблем Кеплера з заданим масивним Сонцем як час на орбіті, так і загальна орбітальна енергія/одиниця маси залежать тільки від довжини великої осі, вони не залежать від довжини другорядної осі. Це може бути дуже корисно при вирішенні завдань.
Вектор Рунге-Ленца в квантовій механіці
Це повністю обговорюється в текстах вдосконаленої квантової механіки, ми просто хочемо згадати, що так само, як сферична симетрія гарантує, що загальний кутовий імпульс і його компоненти комутуються з гамільтоном, і, як наслідок, є вироджені рівні енергії, пов'язані оператором підвищення, аналогічний оператор може бути побудований для вектора Рунге-Ленца, що з'єднує стани, що мають однакову енергію. Крім того, цей оператор підвищення, хоча він їздить з гамільтоніаном, не їздить із загальним кутовим імпульсом, а це означає, що стани з різним загальним кутовим імпульсом можуть мати однакову енергію. Це виродження в рівнях енергії атома водню, яке призвело до того, що простий атом Бора правильно прогнозував всі енергетичні рівні (крім тонкої структури тощо). Також варто згадати, що ці два вектори, кутовий момент і Рунге-Ленц, обидва множини операторів обертання в тривимірних просторах, об'єднуються, щоб дати повний набір операторів у чотиривимірному просторі, а зворотно-квадратну задачу можна сформулювати як механіку вільної частинки на поверхня сфери в чотиривимірному просторі.