15.1: Попередні- полярні рівняння для кривих конічного перерізу

Last updated
Save as PDF

Page ID: 75175

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Як ми виявимо, рівняння Ньютона для руху частинок у центральній силі зворотного квадрата дають орбіти, які є кривими конічного перерізу. Властивості цих кривих повністю розглянуті в супровідній лекції «Математика для орбіт», тут для зручності наведемо відповідні полярні рівняння для різних можливостей.

Для еліпса, з ексцентриситетом\(e\) і прямої кишки (перпендикулярна відстань від фокуса до кривої)\(ℓ\):

\ begin {рівняння}\ frac {\ ell} {r} =1+e\ cos\ тета\ кінець {рівняння}

Нагадаємо, ексцентриситет\(e\) визначається відстанню від центру еліпса до фокуса істоти\(ae\), де\(a\) знаходиться напіввелика вісь, і\(\ell=a\left(1-e^{2}\right)=b^{2} / a\).

За параболу,

\ begin {рівняння}\ ell=r (1+\ cos\ тета)\ кінець {рівняння}

Для гіперболічної орбіти з привабливою зворотною квадратною силою полярне рівняння з походженням в центрі тяжіння дорівнює

\ begin {рівняння}\ frac {\ ell} {r} =1-е\ cos\ тета\ кінець {рівняння}

де\(\theta_{\text {asymptote }}<\theta<2 \pi-\theta_{\text {asymptote }}\) (Звичайно, фізичний шлях планети (скажімо) знаходиться тільки одна гілка гіперболи.)

\((r, \theta)\)Походження знаходиться в центрі тяжіння (Сонце), геометрично це один фокус гіперболи, і для цього привабливого випадку це фокус «всередині» кривої.

Для гіперболічної орбіти з відштовхувальною зворотною квадратною силою (наприклад, розсіювання Резерфорда) початком є фокус «поза» кривою, а праворуч (у звичайному поданні):

\ begin {рівняння}\ frac {\ ell} {r} =-e\ cos\ тета-1\ кінець {рівняння}

з кутовим діапазоном\(-\theta_{\text {asymptote }}<\theta<\theta_{\text {asymptote }}\).