15.4: Динаміка руху в центральному потенціалі - похідні закони Кеплера
- Page ID
- 75208
Консервовані кількості
Рівняння руху таке:
\ begin {рівняння} м\ стекерл {\ ddot {\ vec {r}}} {r} =-f (r)\ widehat {\ vec {r}}\ кінець {рівняння}
Тут ми використовуємо капелюх ^ для позначення одиничного вектора, тому\(f(r)\) дає величину (і знак) сили. Для проблеми Кеплера,\(f(r)=G M m / r^{2}\)
(Строго кажучи, ми повинні використовувати зменшену масу для руху планет, для нашої Сонячної системи, тобто невелика корекція. Його можна покласти в кінці, якщо потрібно.)
Давайте подивимося, як за допомогою векторних методів ми можемо легко знаходити константи руху: по-перше, кутовий момент - просто діяти на рівняння руху з\(\vec{r} \times:\)
\ begin {рівняння} м\ vec {r}\ раз\ vec {r} =-f (r)\ vec {r}\ times\ vec {r}\ end {рівняння}
Так як\(\begin{equation}\vec{r} \times \overrightarrow{\vec{r}}=0, \text { we have } \vec{r} \times m \vec{r}=0\end{equation}\), який відразу інтегрується в
\ begin {рівняння}\ vec {r}\ раз m\ vec {r} =\ vec {L}\ кінець {рівняння}
постійна, момент імпульсу, і зверніть увагу, що\(\vec{L} \cdot \vec{r}=0=\vec{L} \cdot \overrightarrow{\vec{r}}\) так рух завжди залишатиметься в площині,\(\vec{L}\) перпендикулярно до площини.
Це встановлює, що рух у чисто центральній силі підпорядковується закону збереження: закону кутового моменту.
(Як ми вже обговорювали раніше в курсі, збережені величини в динамічних системах завжди пов'язані з деякою основною симетрією гамільтоніана. Збереження моменту моменту відбувається від сферичної симетрії системи: тяжіння залежить тільки від відстані, а не від кута. У квантовій механіці оператор моменту моменту є оператором обертання: три складові вектора кутового моменту збережені, є константами руху, оскільки гамільтоніан інваріантний при обертанні. Тобто оператори моменту імпульсу їздять на гамільтоніан. Класична аналогія полягає в тому, що вони мають нульові дужки Пуассона з гамільтоном.)
Щоб повернутися до заяви Кеплера про його Закони, зверніть увагу, що коли планета рухається через поступову відстань,\(d \vec{r}\) вона «змітає» область\(\frac{1}{2} \vec{r} \times d \vec{r}\), тому швидкість змітання області є\(d A / d t=\frac{1}{2}|\vec{r} \times \vec{r}|=L / 2 m\). Другий закон Кеплера - це лише збереження моменту обертання!
По-друге, збереження енергії: на цей раз ми діємо за рівнянням руху с\(\dot{\vec{r}} \cdot\).
\ begin {рівняння} м\ точка {\ vec {r}}\ cdot\ ddot {\ vec {r}} =-f (r)\ overrightarrow {\ vec {r}}\ cdot {\ vec {r}}\ кінець {рівняння}
Це негайно інтегрується в
\ begin {рівняння}\ розрив {1} {2} м\ vec {r} ^ {2} -\ int_ {r} ^ {\ infty} f (r) d R=e\ end {рівняння}
Ще один закон збереження виходить з простого інтеграла: збереження енергії. Якій симетрії це відповідає? Відповіддю є інваріантність гамільтоніана під час: центральна сила є інваріантною в часі, і ми припускаємо, що існують залежні від часу потенційні терміни (наприклад, від іншої зірки, що проходить поруч).
Виведення стандартного числення першого закону Кеплера
Перше математичне доказ того, що еліптична орбіта навколо фокуса означала зворотно-квадратне тяжіння, було дано Ньютоном, використовуючи евклідову геометрію (хоча він винайшов числення!). Доказ, як відомо, важко слідувати. Бернуллі знайшов досить простий доказ числення в полярних координатах, змінивши змінну на\(u=1/r\).
Перше завдання - виражати\(\vec{F}=m \vec{a}\) полярними, що означають\((r, \theta)\) координати
Найпростіший спосіб знайти вираз для прискорення - параметризувати плоский рух як комплексне число: позиція\(r e^{i \theta}, \text { velocity } \dot{r} e^{i \theta}+i r \dot{\theta} e^{i \theta}\), зверніть увагу, це означає,\((\dot{r}, r \dot{\theta})\) оскільки\(i \text { ensures the } r \dot{\theta}\) термін знаходиться в позитивному\(θ\) напрямку, а диференціація знову дає
\ почати {рівняння}\ vec {a} =\ overrightarrow {\ vec {r}} =\ ліворуч (\ ddot {r} -r\ точка {\ тета} ^ {\ тета},\ vec {r}\ dot {\ theta} +2\ dot {r}\ точка {\ тета}\ справа)\ кінець {рівняння}
Для центральної сили єдине прискорення знаходиться в\(r\) напрямку, так\(r \ddot{\theta}+2 \dot{r} \dot{\theta}=0\), який інтегрується, щоб дати
\ begin {рівняння} м r^ {2}\ точка {\ тета} =L\ кінець {рівняння}
сталість моменту моменту.
Прирівнюючи радіальні складові,
\ begin {рівняння}\ гідророзриву {d^ {2} r} {d t^ {2}} -r\ точка {\ тета} ^ {2} =-\ розрив {G M} {r^ {2}}\ кінець {рівняння}
Це ще не готове до інтеграції, тому що теж\(\dot{\theta}\) змінюється. Але так як кутовий момент\(L=m r^{2} \dot{\theta}\) постійний, ми можемо виключити\(\dot{\theta}\) з рівняння, надавши:
\ begin {рівняння}\ почати {вирівняний}\ розрив {d^ {2} r} {d t^ {2}} &=-\ розриву {G M} {r^ {2}} +r\ ліворуч (\ frac {L} {m r^ {2}}}\\ &=-\ frac {G M} {r^ {2}}\ правий) ^ {2}\ &=-\ frac {G M} {r^ {2}} +\ frac c {L^ {2}} {m^ {2} r^ {3}}\ кінець {вирівняний}\ кінець {рівняння}
Це виглядає не надто перспективно, але Бернуллі придумав два хитромудрі трюки. Перша полягала в тому, щоб перейти від змінної\(r\) до її зворотної,\(u=1/r\). Інший полягав у використанні сталості моменту моменту, щоб змінити змінну\(t\) на\(θ\).
Збираючи їх разом:
\ begin {рівняння} L=m r^ {2}\ точка {\ тета} =\ frac {m} {u^ {2}}\ frac {d\ theta} {d t}\ end {рівняння}
тому
\ begin {рівняння}\ розрив {d} {d t} =\ frac {L u^ {2}} {m}\ frac {d} {d\ тета}\ кінець {рівняння}
Тому
\ begin {рівняння}\ розрив {d r} {d t} =\ розрив {d} {d t}\ лівий (\ frac {1} {u}\ правий) =-\ frac {1} {u^ {2}}\ frac {d u} {d t} =-\ гідророзриву {L} {m}\ frac {d u} {d\ theta} {d}\ theta end рівняння}
і аналогічно
\ begin {рівняння}\ гідророзриву {d^ {2} r} {d t^ {2}} =-\ гідророзриву {L^ {2} u^ {2}} {m^ {2}}\ frac {d^ {2} u} {d\ theta^ {2}}\ end {рівняння}
Перехід від\(r\) до\(u\) в рівнянні руху
\ begin {рівняння}\ гідророзриву {d^ {2} r} {d t^ {2}} =-\ розрив {Г М} {r^ {2}} +\ розрив {L^ {2}} {m^ {2} r^ {3}}\ кінець {рівняння}
ми отримуємо
\ begin {рівняння} -\ розрив {L^ {2} u^ {2}} {m^ {2}}\ розрив {d^ {2} u} {d\ theta^ {2}} =-G M u^ {2} +\ frac {L^ {2} u^ {3}} {m^ {2}}\ кінець {рівняння}
або
\[ \frac{d^{2} u}{d \theta^{2} +u=\frac{G M m^{2}}{L^{2} \]
Це рівняння легко вирішити! Рішення є
\ begin {рівняння} u=\ гідророзриву {1} {r} =\ frac {G M m^ {2}} {L^ {2}} +C\ cos\ тета\ кінець {рівняння}
де\(C\) - константа інтеграції, що визначається початковими умовами.
Це доводить, що перший закон Кеплера випливає з оберненно-квадратної природи сили, оскільки (див. Початок лекції) рівняння вище є саме стандартним\((r, \theta)\) рівнянням еліпса напіввеликої\(a\) осі та ексцентриситету\(e\), з початком в одному фокус:
\ begin {рівняння}\ frac {a\ left (1-e^ {2}\ праворуч)} {r} =1+e\ cos\ theta\ end {рівняння}
Порівнюючи два рівняння, ми можемо знайти геометрію еліпса з точки зору кутового моменту, гравітаційного тяжіння та початкових умов. Кутовий імпульс дорівнює
\ begin {рівняння} L^ {2} =G M m^ {2} a\ лівий (1-e^ {2}\ праворуч) =G M m^ {2} b^ {2}/a\ end {рівняння}