8.2: Функція часу кінцевої точки
- Page ID
- 75052
Як щодо дії як функції кінцевого часу прибуття точки?
Оскільки\ (\ begin {рівняння}
S=\ int_ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} L d t,\ text {загальна похідна часу} d S/d t_ {2} =L\ left (q^ {(2)}}, t_ {2}\ праворуч)
\ end {рівняння}\),
значення Лагранжа в кінцевій точці. Пам'ятайте, що ми визначаємо дію в точці як від інтеграції по істинному шляху до цієї точки.
Ландау позначає\ (\ begin {рівняння}
t_ {2}\ text {просто} t,\ text {так він пише} d S/d t=L
\ end {рівняння}\)
і ми будемо робити це, але важливо мати на увазі, що кінцева позиція і час змінні тут!
Якщо тепер ми дозволимо збільшення часу,\ (\ begin {equation}
t_ {2}\ rightarrow t_ {2} +d t
\ end {рівняння}\), з кінцевою позицією координат як вільний параметр, динамічний шлях тепер продовжиться, до покроково іншої кінцевої точки.
Це дасть (з t зрозумілим відтепер на середнє\ (\ begin {рівняння}
t_ {2},\ text {і} q_ {i}\ text {означає}\ left.q_ {i} ^ {(2)}\ право)
\ end {рівняння}\)
\ begin {рівняння}
\ розрив {d S\ лівий (q_ {i}, t\ правий)} {d t} =\ розрив {\ частковий S} {\ частковий т} +\ sum_ {i}\ frac {\ частковий S} {\ частковий q_ {i}}\ точка {q} _ {i} =\ frac {\ частковий S} {\ частковий т} +\ сума {i} p_ {i}\ точка {q} _ {i}
\ кінець {рівняння}
Поклавши це разом з\ (\ begin {рівняння}
d S/d t=L
\ end {рівняння}\) дає одразу часткову похідну часу
\ begin {рівняння}
\ часткова S/\ часткова T = L-\ sum_ {i} p_ {i}\ точка {q} _ {i} =-Н
\ кінець {рівняння}
і тому, поєднуючи це з результатом\ (\ begin {рівняння}
\ partial S/\ partial q_ {i} =p_ {i}
\ end {рівняння}\) з попереднього розділу,
\ begin {рівняння}
d S\ лівий (q_ {i}, t\ праворуч) =\ sum_ {i} p_ {i} d q_ {i} -H d t
\ end {рівняння}
Це, отже, сумарний диференціал дії як функція просторових і часових координат кінця шляху.