Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

8.2: Функція часу кінцевої точки

  • Page ID
    75052
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Як щодо дії як функції кінцевого часу прибуття точки?

    Оскільки\ (\ begin {рівняння}
    S=\ int_ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} L d t,\ text {загальна похідна часу} d S/d t_ {2} =L\ left (q^ {(2)}}, t_ {2}\ праворуч)
    \ end {рівняння}\),

    значення Лагранжа в кінцевій точці. Пам'ятайте, що ми визначаємо дію в точці як від інтеграції по істинному шляху до цієї точки.

    Ландау позначає\ (\ begin {рівняння}
    t_ {2}\ text {просто} t,\ text {так він пише} d S/d t=L
    \ end {рівняння}\)

    і ми будемо робити це, але важливо мати на увазі, що кінцева позиція і час змінні тут!

    Якщо тепер ми дозволимо збільшення часу,\ (\ begin {equation}
    t_ {2}\ rightarrow t_ {2} +d t
    \ end {рівняння}\), з кінцевою позицією координат як вільний параметр, динамічний шлях тепер продовжиться, до покроково іншої кінцевої точки.

    Це дасть (з t зрозумілим відтепер на середнє\ (\ begin {рівняння}
    t_ {2},\ text {і} q_ {i}\ text {означає}\ left.q_ {i} ^ {(2)}\ право)
    \ end {рівняння}\)

    \ begin {рівняння}
    \ розрив {d S\ лівий (q_ {i}, t\ правий)} {d t} =\ розрив {\ частковий S} {\ частковий т} +\ sum_ {i}\ frac {\ частковий S} {\ частковий q_ {i}}\ точка {q} _ {i} =\ frac {\ частковий S} {\ частковий т} +\ сума {i} p_ {i}\ точка {q} _ {i}
    \ кінець {рівняння}

    Поклавши це разом з\ (\ begin {рівняння}
    d S/d t=L
    \ end {рівняння}\) дає одразу часткову похідну часу

    \ begin {рівняння}
    \ часткова S/\ часткова T = L-\ sum_ {i} p_ {i}\ точка {q} _ {i} =-Н
    \ кінець {рівняння}

    і тому, поєднуючи це з результатом\ (\ begin {рівняння}
    \ partial S/\ partial q_ {i} =p_ {i}
    \ end {рівняння}\) з попереднього розділу,

    \ begin {рівняння}
    d S\ лівий (q_ {i}, t\ праворуч) =\ sum_ {i} p_ {i} d q_ {i} -H d t
    \ end {рівняння}

    Це, отже, сумарний диференціал дії як функція просторових і часових координат кінця шляху.