8.1: Функція позиції кінцевої точки
- Page ID
- 75041
Тепер ми подумаємо про те, щоб змінити дію дещо по-іншому. (Примітка: Ми використовуємо позначення Ландау.) Раніше ми розглядали інтеграл Лагранжа по всіх можливих різних шляхах від початкового місця і часу\ (\ begin {рівняння}
q^ {(1)}, t_ {1}
\ end {рівняння}\) до кінцевого місця і часу\ (\ begin {рівняння}
q^ {(2)}, t_ {2}
\ end {рівняння}\)
і знайшов шлях мінімальних дій. Тепер, однак, ми почнемо з цього шляху, фактичний фізичний шлях, і досліджувати відповідну дію як функцію кінцевих змінних кінцевої точки, з огляду на фіксоване місце початку і час.
Беручи один ступінь свободи (узагальнення є простим), для невеликої варіації шляху поступове зміна дії
\ почати {рівняння}
\ дельта S=\ лівий [\ розрив {\ частковий L} {\ частковий\ точка {q}}\ дельта q\ праворуч] _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} +\ int_ {1}} ^ {t_ {2}}\ лівий (\ frac {\ частковий L} {\ частковий q} -\ frac {d} d t}\ frac {\ частковий L} {\ частковий\ точка {q}}\ праворуч)\ дельта q d t
\ end {рівняння}
(Нагадаємо, що перший термін походить від обчислення варіацій, коли ми дозволяємо кінцевій точці змінюватися - це точно така ж точка, яку ми раніше обговорювали в задачі брахістохрона про найшвидший час для заданої горизонтальної відстані, що дозволяє вертикальне положення кінцевої точки бути вільним параметром.)
З додатковою варіацією ми перейшли від фізичного шляху P (за яким слідує система у просторі конфігурації від\ (\ begin {рівняння}
q^ {(1)}, t_ {1}\ text {to}\ left.q^ {(2)}, t_ {2}\ right)
\ end {рівняння}\) до другого шляху\ (почати {рівняння}
P^ {\ prime}
\ end {рівняння}\) починається з того ж місця і часу і закінчується одночасно\ (\ begin {рівняння}
t_ {2}
\ end {рівняння}\) як P, але в дещо іншому місці\ (\ begin {рівняння}
q^ {(2)} +\ delta q\ left (t_ {2}\ праворуч)
\ end {рівняння}\).
Обидва шляхи\ (\ begin {рівняння}
P, P^ {\ prime}
\ end {рівняння}\) повністю визначаються їх початковим і кінцевим положенням і часом, тому\ (\ begin {рівняння}
P, P^ {\ prime}
\ end {рівняння}\) повинні відповідати дещо різним початковим швидкостям. Важливим моментом є те, що оскільки обидва шляхи описують природний динамічний розвиток системи з початкових умов, система весь час підпорядковується рівнянням руху по обох шляхах, і тому інтегральний член в вищезгаданому рівнянні однаково дорівнює нулю.
Запис\ (\ begin {рівняння}
\ delta q\ left (t_ {2}\ право) =\ delta q, p^ {(2)} =p
\ end {рівняння}\) дія, яка розглядається як функція змінної кінцевого положення, з кінцевим часом, зафіксованим на\ (\ begin {рівняння}
t_ {2}
\ end {рівняння}\), має диференціальний
\ почати {рівняння}
\ дельта S\ лівий (q^ {(2)}, t_ {2}\ праворуч) =\ лівий [\ розрив {\ частковий L} {\ частковий\ точка {q}}\ дельта q\ праворуч] _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} =p^ {(2)}\ дельта q^ {(2)}\ дельта q
\ кінець {рівняння}
Для багатовимірного випадку інкрементна зміна дії на зміну змінної кінцевої позиції задається шляхом (скидання верхнього індексу)
\ begin {рівняння}
\ часткова S/\ часткова q_ {i} =p_ {i}
\ кінець {рівняння}