Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

8.1: Функція позиції кінцевої точки

  • Page ID
    75041
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    clipboard_e43de05c28885299a53452fb11982b3c4.png

    Тепер ми подумаємо про те, щоб змінити дію дещо по-іншому. (Примітка: Ми використовуємо позначення Ландау.) Раніше ми розглядали інтеграл Лагранжа по всіх можливих різних шляхах від початкового місця і часу\ (\ begin {рівняння}
    q^ {(1)}, t_ {1}
    \ end {рівняння}\) до кінцевого місця і часу\ (\ begin {рівняння}
    q^ {(2)}, t_ {2}
    \ end {рівняння}\)

    і знайшов шлях мінімальних дій. Тепер, однак, ми почнемо з цього шляху, фактичний фізичний шлях, і досліджувати відповідну дію як функцію кінцевих змінних кінцевої точки, з огляду на фіксоване місце початку і час.

    Беручи один ступінь свободи (узагальнення є простим), для невеликої варіації шляху поступове зміна дії

    \ почати {рівняння}
    \ дельта S=\ лівий [\ розрив {\ частковий L} {\ частковий\ точка {q}}\ дельта q\ праворуч] _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} +\ int_ {1}} ^ {t_ {2}}\ лівий (\ frac {\ частковий L} {\ частковий q} -\ frac {d} d t}\ frac {\ частковий L} {\ частковий\ точка {q}}\ праворуч)\ дельта q d t
    \ end {рівняння}

    (Нагадаємо, що перший термін походить від обчислення варіацій, коли ми дозволяємо кінцевій точці змінюватися - це точно така ж точка, яку ми раніше обговорювали в задачі брахістохрона про найшвидший час для заданої горизонтальної відстані, що дозволяє вертикальне положення кінцевої точки бути вільним параметром.)

    З додатковою варіацією ми перейшли від фізичного шляху P (за яким слідує система у просторі конфігурації від\ (\ begin {рівняння}
    q^ {(1)}, t_ {1}\ text {to}\ left.q^ {(2)}, t_ {2}\ right)
    \ end {рівняння}\) до другого шляху\ (почати {рівняння}
    P^ {\ prime}
    \ end {рівняння}\) починається з того ж місця і часу і закінчується одночасно\ (\ begin {рівняння}
    t_ {2}
    \ end {рівняння}\) як P, але в дещо іншому місці\ (\ begin {рівняння}
    q^ {(2)} +\ delta q\ left (t_ {2}\ праворуч)
    \ end {рівняння}\).

    Обидва шляхи\ (\ begin {рівняння}
    P, P^ {\ prime}
    \ end {рівняння}\) повністю визначаються їх початковим і кінцевим положенням і часом, тому\ (\ begin {рівняння}
    P, P^ {\ prime}
    \ end {рівняння}\) повинні відповідати дещо різним початковим швидкостям. Важливим моментом є те, що оскільки обидва шляхи описують природний динамічний розвиток системи з початкових умов, система весь час підпорядковується рівнянням руху по обох шляхах, і тому інтегральний член в вищезгаданому рівнянні однаково дорівнює нулю.

    Запис\ (\ begin {рівняння}
    \ delta q\ left (t_ {2}\ право) =\ delta q, p^ {(2)} =p
    \ end {рівняння}\) дія, яка розглядається як функція змінної кінцевого положення, з кінцевим часом, зафіксованим на\ (\ begin {рівняння}
    t_ {2}
    \ end {рівняння}\), має диференціальний

    \ почати {рівняння}
    \ дельта S\ лівий (q^ {(2)}, t_ {2}\ праворуч) =\ лівий [\ розрив {\ частковий L} {\ частковий\ точка {q}}\ дельта q\ праворуч] _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} =p^ {(2)}\ дельта q^ {(2)}\ дельта q
    \ кінець {рівняння}

    Для багатовимірного випадку інкрементна зміна дії на зміну змінної кінцевої позиції задається шляхом (скидання верхнього індексу)

    \ begin {рівняння}
    \ часткова S/\ часткова q_ {i} =p_ {i}
    \ кінець {рівняння}