8.5: Як ця класична дія відноситься до фази квантової механіки
- Page ID
- 75042
Зв'язок між класичною та квантовою механікою особливо очевидний у виразі для інтеграла дії, наведеного вище. У так званому напівкласичному режимі квантової механіки хвилі де Броля коливаються з довжинами хвиль набагато меншими за типові розміри в системі. Це означає, що локально це адекватне наближення для розгляду хвильової функції Шредінгера як плоскої хвилі,
\[\psi(x, t)=A(x, t) e^{i(k x-\omega t)}=A(x, t) e^{(i / \hbar)(p x-E t)} \]
де\(A(x, t)\) амплітудна функція змінюється лише на відстанях, значно більших за довжину хвилі, і разів набагато довше, ніж період коливань. Цей вислів справедливо практично у всіх класично доступних регіонах, неприпустимих по сусідству поворотних точок, але розмір цих кварталів йде до нуля в класичній межі.
Як ми вже обговорювали раніше, у формулюванні Дірака-Фейнмана квантової механіки, щоб знайти амплітуду ймовірності частинки, що поширюється з однієї точки в іншу, ми додаємо внески з усіх можливих шляхів між двома точками, кожен шлях вносячи термін з фазою, рівною\(i / \hbar\) раз дія інтеграла по шляху.
З напівкласичної хвильової функції Шредінгера вище видно, що зміна фази від невеликої зміни кінцевої точки дорівнює\ (\ begin {рівняння}
(i/\ hbar) (p d x-e d t)
\ end {рівняння}\) точно збігається з інкрементним внеском в дію в
\ begin {рівняння}
S=\ int d S=\ int\ ліворуч (\ sum_ {i} p_ {i} d q_ {i} -Н д т\ вправо)
\ кінець {рівняння}
Отже, ми знову бачимо, тут дуже прямо, як дія по класичному шляху кратна квантово-механічній зміні фази вздовж шляху.