Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

8.5: Як ця класична дія відноситься до фази квантової механіки

  • Page ID
    75042
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Зв'язок між класичною та квантовою механікою особливо очевидний у виразі для інтеграла дії, наведеного вище. У так званому напівкласичному режимі квантової механіки хвилі де Броля коливаються з довжинами хвиль набагато меншими за типові розміри в системі. Це означає, що локально це адекватне наближення для розгляду хвильової функції Шредінгера як плоскої хвилі,

    \[\psi(x, t)=A(x, t) e^{i(k x-\omega t)}=A(x, t) e^{(i / \hbar)(p x-E t)} \]

    де\(A(x, t)\) амплітудна функція змінюється лише на відстанях, значно більших за довжину хвилі, і разів набагато довше, ніж період коливань. Цей вислів справедливо практично у всіх класично доступних регіонах, неприпустимих по сусідству поворотних точок, але розмір цих кварталів йде до нуля в класичній межі.

    Як ми вже обговорювали раніше, у формулюванні Дірака-Фейнмана квантової механіки, щоб знайти амплітуду ймовірності частинки, що поширюється з однієї точки в іншу, ми додаємо внески з усіх можливих шляхів між двома точками, кожен шлях вносячи термін з фазою, рівною\(i / \hbar\) раз дія інтеграла по шляху.

    З напівкласичної хвильової функції Шредінгера вище видно, що зміна фази від невеликої зміни кінцевої точки дорівнює\ (\ begin {рівняння}
    (i/\ hbar) (p d x-e d t)
    \ end {рівняння}\) точно збігається з інкрементним внеском в дію в

    \ begin {рівняння}
    S=\ int d S=\ int\ ліворуч (\ sum_ {i} p_ {i} d q_ {i} -Н д т\ вправо)
    \ кінець {рівняння}

    Отже, ми знову бачимо, тут дуже прямо, як дія по класичному шляху кратна квантово-механічній зміні фази вздовж шляху.