8.6: Рівняння Гамільтона від мінімізації дій

Last updated
Save as PDF

Page ID: 75030

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Для довільних малих варіацій шляху\ (\ begin {рівняння}
\ delta q,\ delta p
\ end {рівняння}\) у фазовому просторі мінімальна умова дії за формою дії, наведеною вище, генерує рівняння Гамільтона.

(Примітка для нітпікерів: Це може здатися трохи дивним, оскільки ми створили цю форму дії, використовуючи рівняння вздовж фактичного динамічного шляху, як ми можемо змінити його і все ще використовувати їх? Ведмідь зі мною, побачиш.)

Ми доведемо це для одновимірної системи, це тривіально, щоб перейти до багатьох змінних, але це захаращує рівняння.

Для невеликого відхилення шляху\ (\ begin {рівняння}
\ дельта q,\ delta p
\ end {рівняння}\) зміна дії\ (\ begin {рівняння}
S=\ int (p d q-h d t)
\ end {рівняння}\) дорівнює

\ begin {рівняння}
\ дельта S=\ int [\ дельта р д q+p d (\ дельта q) - (\ часткове Н/\ часткове q)\ дельта q d t- (\ часткове Н/\ часткове р)\ дельта p d t] =0
\ кінець {рівняння}

та інтегруючи\ (\ begin {рівняння}
p d (\ delta q)
\ end {рівняння}\) частинами, з\ (\ begin {рівняння}
\ delta p=\ delta q=0
\ end {рівняння}\) в кінцевих точках,

\ почати {рівняння}
\ дельта S=\ int\ дельта p\ {d q- (\ частковий H/\ частковий р) d t\} + [p\ дельта q] -\ int\ дельта q\ {d p+ (\ частковий H/\ частковий q) d t\} =0
\ кінець {рівняння}

Варіації шляху\ (\ begin {рівняння}
\ delta p,\ delta q
\ end {рівняння}\) є незалежними та довільними, тому повинні мати однаково нульові коефіцієнти - рівняння Гамільтона слідують негайно,\ (\ begin {рівняння}
\ dot {q} =\ часткова H/\ partial p,\ dot {p} =-\ часткова H/\ partial q
\ end {equation}\) Знову ж таки, варто підкреслити близьку паралель з квантовою механікою: рівняння Гамільтона, написані за допомогою дужок Пуассона, такі:

\ begin {рівняння}
\ точка {q} = [H, q],\ quad\ dot {p} = [H, p]
\ end {рівняння}

У квантовій механіці відповідні рівняння руху Гейзенберга для операторів положення та імпульсу в терміні комутаторів є

\ begin {рівняння}
\ точка {q} =( 1/i\ hbar) [H, q],\ quad\ dot {p} =( 1/i\ hbar) [H, p]
\ end {рівняння}