Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

6.5: Математична записка - перетворення Лежандра

  • Page ID
    75262
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    clipboard_e6436145a103918a3ea4486f74b188aa2.png

    Зміна змінних, описана вище, є стандартною математичною рутиною, відомою як перетворення Лежандра. Ось суть його, для функції однієї змінної. Припустимо, у нас є функція,\(f(x)\) яка є опуклою, яка є математикою говорити для неї завжди криві вгору,\(d^{2} f(x) / d x^{2}\) тобто позитивний. Тому його нахил ми і назвемо

    \[y=d f(x) / d x\]

    є монотонно зростаючою функцією x. для деяких задач фізики (і математики) цей нахил y, а не змінна x, є цікавим параметром. Щоб змістити фокус на y, Лежандр ввів нову функцію,\(g(y)\) визначену

    \[g(y)=x y-f(x)\]

    Функція\ (\ begin {рівняння}
    g (y)
    \ end {рівняння}\) називається перетворенням Лежандра функції\ (\ begin {рівняння}
    f (x)
    \ end {рівняння}\).

    Щоб побачити, як вони співвідносяться, беремо прирости:

    \[ \begin{align*} d g(y) &=y d x+x d y-d f(x) \\[4pt] &=y d x+x d y-y d x \\[4pt] &=x d y \end{align*}\]

    (Дивлячись на діаграму, приріст\ (\ begin {рівняння}
    d x
    \ end {рівняння}\) дає пов'язаний приріст\ (\ begin {рівняння}
    d y
    \ end {рівняння}\), оскільки нахил збільшується при русі вгору по кривій.)

    З цього рівняння

    \ begin {рівняння}
    x = d g (y) /d y
    \ end {рівняння}

    Порівнюючи це з\ (\ begin {рівняння}
    y=d f (x)/d x
    \ end {рівняння}\), зрозуміло, що друге застосування перетворення Лежандра поверне вас до початкового\ (\ begin {рівняння}
    f (x)
    \ end {рівняння}\). Таким чином, жодна інформація не втрачається при перетворенні Лежандра\ (\ begin {рівняння}
    g (y)
    \ end {рівняння}\) в певному сенсі містить\ (\ begin {рівняння}
    f (x)
    \ end {рівняння}\), і навпаки.