6.5: Математична записка - перетворення Лежандра

Зміна змінних, описана вище, є стандартною математичною рутиною, відомою як перетворення Лежандра. Ось суть його, для функції однієї змінної. Припустимо, у нас є функція,$f(x)$ яка є опуклою, яка є математикою говорити для неї завжди криві вгору,$d^{2} f(x) / d x^{2}$ тобто позитивний. Тому його нахил ми і назвемо

$$y=d f(x) / d x$$

є монотонно зростаючою функцією x. для деяких задач фізики (і математики) цей нахил y, а не змінна x, є цікавим параметром. Щоб змістити фокус на y, Лежандр ввів нову функцію,$g(y)$ визначену

$$g(y)=x y-f(x)$$

Функція\ (\ begin {рівняння}
g (y)
\ end {рівняння}\) називається перетворенням Лежандра функції\ (\ begin {рівняння}
f (x)
\ end {рівняння}\).

Щоб побачити, як вони співвідносяться, беремо прирости:

$$\begin{align*} d g(y) &=y d x+x d y-d f(x) \\[4pt] &=y d x+x d y-y d x \\[4pt] &=x d y \end{align*}$$

(Дивлячись на діаграму, приріст\ (\ begin {рівняння}
d x
\ end {рівняння}\) дає пов'язаний приріст\ (\ begin {рівняння}
d y
\ end {рівняння}\), оскільки нахил збільшується при русі вгору по кривій.)

З цього рівняння

\ begin {рівняння}
x = d g (y) /d y
\ end {рівняння}

Порівнюючи це з\ (\ begin {рівняння}
y=d f (x)/d x
\ end {рівняння}\), зрозуміло, що друге застосування перетворення Лежандра поверне вас до початкового\ (\ begin {рівняння}
f (x)
\ end {рівняння}\). Таким чином, жодна інформація не втрачається при перетворенні Лежандра\ (\ begin {рівняння}
g (y)
\ end {рівняння}\) в певному сенсі містить\ (\ begin {рівняння}
f (x)
\ end {рівняння}\), і навпаки.