2.10: Мультиплікатори Лагранжа

Лагранж вперше розв'язав задачу пошуку мінімумів (або максимумів) функції, що підлягають обмеженню. Простого прикладу буде достатньо, щоб показати метод.

Уявіть, що у нас є плавна крива в\ (\ begin {рівняння}
(x, y)
\ end {рівняння}\) площині, яка не проходить через початок, і ми хочемо знайти точку на кривій, яка є її найближчим наближенням до початку. Стандартна ілюстрація полягає в тому, щоб зобразити звивисту дорогу через долину у формі чаші та попросити низьку точку на дорозі. (Ми також припустимо, що\(\x\) визначає\(\y\) однозначно, дорога не подвоюється назад тощо Якщо це так, метод нижче дасть ряд локально найближчих точок до початку, нам потрібно буде пройти через них один за іншим, щоб знайти глобально найближчу точку.)

Запишемо криву, дорогу,\ (\ begin {рівняння}
g (x, y) =0
\ end {рівняння}\) (червона лінія на малюнку нижче).

Щоб знайти найближчу точку наближення алгебраїчно, нам потрібно мінімізувати\ (\ begin {рівняння}
f (x, y) =x^ {2} +y^ {2}
\ end {рівняння}\) (квадрат відстані до початку) з урахуванням обмеження\ (\ begin {рівняння}
g (x, y) =0
\ end {рівняння}\).

На малюнку ми намалювали криві\ begin {рівняння}
f (x, y) =x^ {2} +y^ {2} =a^ {2}
\ end {рівняння}

для діапазону значень a (кола з центром у початковій точці). Нам потрібно знайти точку перетину\ (\ begin {рівняння}
g (x, y) =0
\ end {рівняння}\) з найменшою окружністю, яку вона перетинає - і з фігури зрозуміло, що вона повинна стосуватися цього кола (якщо воно перетинається, воно обов'язково наблизиться до початку).

Отже, в цей момент криві\ (\ begin {рівняння}
g (x, y) =0
\ end {рівняння}\) і\ (\ begin {рівняння}
f (x, y) =a_ {\ min} ^ {2}
\ end {рівняння}\) паралельні.

Тому нормалі до кривих також паралельні:

\ begin {рівняння}
(\ часткове f/\ часткове x,\ часткове f/\ часткове y) =\ лямбда (\ часткове g/\ часткове x,\ часткове g/\ часткове y)
\ кінець {рівняння}

(Примітка: так, це напрямки нормалей— для нескінченно малого зсуву вздовж кривої\ (\ begin {рівняння}
f (x, y) =\ текст {константа}, 0=d f =(\ частковий f/\ partial x) d x+ (\ partial f/\ partial y) d y
\ end {рівняння}\), тому вектор\ (\ begin {рівняння}
(\ частковий f/\ частковий x,\ частковий f/\ partial y)
\ end {рівняння}\) перпендикулярний\ (\ begin {рівняння}
(d x, d y)
\ end {рівняння}\). Це також аналогічно електричному полю\ (\ begin {рівняння}
\ vec {E} =-\ vec {\ nabla}\ varphi
\ end {рівняння}\) перпендикулярно рівнянню\ (\ begin {рівняння}
\ varphi (x, y) =\ текст {константа.})
\ end {рівняння}\).

\(\lambda\)Введена тут константа називається множником Лагранжа. Це просто співвідношення довжин двох нормальних векторів (звичайно, «нормальний» тут означає вектори перпендикулярні кривим, вони не нормалізовані до одиниці довжини!) Ми можемо знайти\ (\ begin {рівняння}
\ лямбда
\ end {рівняння}\) через\(y\) термінами\(x\), але на даний момент ми не знаємо їх значень.

Рівняння, що визначають найближчий підхід до походження, тепер можна записати:

\ begin {рівняння}
\ початок {масив} {l}
\ frac {\ частковий} {\ частковий x} (f-\ лямбда г) =0\
\ frac {\ частковий} {\ частковий y} (f-\ лямбда г) =0\
\ frac {\ частковий} {\ частковий\ лямбда} (f-\ лямбда г) =0
\ кінець {масив}
\ кінець {рівняння}

(Третє рівняння просто\ (\ begin {рівняння}
g\ left (x_ {\ min}, y_ {\ min}\ право) =0
\ end {рівняння}\), що означає, що ми в дорозі.)

Ми перетворили обмежену проблему мінімізації в двох вимірах на необмежену проблему мінімізації в трьох вимірах! Перші два рівняння можна розв'язати, щоб знайти\(\lambda\) і співвідношення\ (\ begin {рівняння}
x/y
\ end {рівняння}\) третє рівняння потім дає\(x\)\(y\) окремо.

Вправа для читача: Опрацюйте це для\ (\ begin {рівняння}
g (x, y) =x^ {2} -2 x y-y^ {2} -1
\ end {рівняння}\) (Є два рішення, оскільки крива\ (\ begin {рівняння}
g=0
\ end {рівняння}\) є гіперболою з двома гілками.)

Мультиплікатори Лагранжа широко використовуються в економіці та інших корисних предметах, таких як оптимізація трафіку.