9.7: Квантування випромінювання

Вступ

Аналізуючи фотоелектричний ефект у водні, ми вивели швидкість іонізації атома водню в монохроматичній електромагнітній хвилі заданої сили, і отриманий результат добре узгоджується з експериментом. Нагадаємо, що взаємодія гамільтоніана була

\[ \begin{matrix} H^1=\left(\dfrac{e}{mc}\right)cos(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t)\vec{A}_0\cdot\vec{p}\\ =\left(\dfrac{e}{2mc}\right)(e^{i(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t)}+e^{-i(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t)})\vec{A}_0\cdot\vec{p}. \end{matrix} \label{9.71}\]

і ми відкинули\(e^{i\omega t}\) цей термін, тому що він відповідав би атому, який дає енергію полю, і наш атом вже був у своєму основному стані. Однак, якщо ми пройдемо один і той же розрахунок для атома, який спочатку не знаходиться в основному стані, то дійсно електромагнітна хвиля відповідної частоти викличе швидкість переходу до більш низького енергетичного стану, і\(e^{i\omega t}\) є відповідним терміном.

Але це ще не вся історія. Атом в збудженому стані з часом випромінює фотон і перейде в більш низький енергетичний стан, навіть якщо зовнішнього поля нуль. Наш аналіз поки що цього не передбачає - очевидно, що взаємодія, написана вище, лише ненульова, якщо\(\vec{A}\) ненульова! Так чого ж нам не вистачає?

По суті, відповідь полягає в тому, що саме електромагнітне поле квантовано. Звичайно, ми знаємо, що він складається з фотонів. Нагадаємо, успішний аналіз Планка випромінювання в коробці: він розглядав всі можливі нормальні режими випромінювання, і стверджував, що такий режим енергії\(\omega\) може тільки набирати або втрачати енергію в кількостях\(\hbar\omega\). Це призвело до правильної формули випромінювання чорноготіла, тоді Ейнштейн довів, що те ж припущення, при тому ж\(\hbar\), припадає на фотоелектричний ефект. Тепер ми розуміємо, що ці режими коливання випромінювання є просто простими гармонічними осциляторами, з енергією\((n+\dfrac{1}{2})\hbar\omega\), і, так само як маса на пружинному осциляторі має коливання в грунтовому стані,\(\langle x\rangle =0\) але\(\langle x^2\rangle \neq 0\), для цих електромагнітних режимів\(\langle \vec{A}\rangle =0\) але\(\langle \vec{A}^2\rangle \neq 0\).

Саме електромагнітне поле квантовано.

Ці коливання в\(\vec{A}\) середньому взаємодія гамільтоніана на мить ненульові, і тому можуть викликати перехід.

Тому, щоб знайти спонтанну швидкість переходу (як її ще називають) атома в нульовому (класично кажучи) електромагнітному полі, потрібно висловити електромагнітне поле в умовах нормальних режимів (візьмемо велику коробку), потім квантувати ці режими як квантові прості гармонічні осцилятори, вводячи оператори підвищення та опускання для кожного генератора (це будуть оператори створення фотонів та анігіляції), потім будують відповідний квантовий оператор вираз для введення\(\vec{A}\) в електронно-радіаційну взаємодію гамільтоніана.

Бюстгальтери та кети тепер будуть квантовими станами електрона та поля випромінювання, на відміну від нашого аналізу класичного поля вище, де поле випромінювання не змінилося. (Звичайно, дійсно, в тому, що він втратив один фотон, але в класичній межі є нескінченно багато фотонів в кожному режимі, так що б не зареєструватися.)

Використовуємо кулонівський калібр\(\vec{\nabla}\cdot\vec{A}=0\) задовольняє

\[\nabla^2\vec{A}-\dfrac{1}{c^2}\dfrac{\partial^2\vec{A}}{\partial t^2}=0.\]

Беручи для зручності періодичні граничні умови у великому полі, ми можемо записати\(\vec{A}\) (класично) як ряд Фур'є при t = 0:

\[ \vec{A}(\vec{r},t=0)=\dfrac{1}{\sqrt{V}}\sum_{\vec{k}}\sum_{\alpha=1,2}(c_{\vec{k},\alpha}(0)\vec{\varepsilon}_{\alpha}e^{i\vec{k}\cdot\vec{r}}+c^{\ast}_{\vec{k},\alpha}(0)\vec{\varepsilon}^{\ast}_{\alpha}e^{-i\vec{k}\cdot\vec{r}}) \label{9.7.2}\]

Часова залежність задається шляхом розміщення у всій площині хвилі:\(e^{i\vec{k}\cdot\vec{r}}\to e^{i(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t)}\), яку залежність від часу можна взяти в коефіцієнт\(c_{\vec{k},\alpha}(t)=c_{\vec{k},\alpha}(0)e^{-i\omega t}\), так

\[ \vec{A}(\vec{r},t)=\dfrac{1}{\sqrt{V}}\sum_{\vec{k}}\sum_{\alpha=1,2}(c_{\vec{k},\alpha}(t)\vec{\varepsilon}_{\alpha}e^{i\vec{k}\cdot\vec{r}}+c^{\ast}_{\vec{k},\alpha}(t)\vec{\varepsilon}^{\ast}_{\alpha}e^{-i\vec{k}\cdot\vec{r}}) \label{9.7.3}\]

Вектор\(\vec{\varepsilon}_{\alpha}\) - поляризація плоской хвилі. Це в тому ж напрямку, що і електричне поле. Насправді це варіюється з\(\vec{k}\), тому що від\(\vec{\nabla}\cdot\vec{A}=0\), це перпендикулярно до\(\vec{k}\). Тобто для даного\(\vec{k}\) є дві незалежні поляризації. Для\(\vec{k}\) вздовж осі z, вони можуть бути вздовж x -і y -осей, це буде називатися лінійною поляризацією, і є стандартним підходом. Але ми також могли б взяти вектори\((1/\sqrt{2})(1, \pm i, 0)\). Вони відповідають круговій поляризації: рівні x - і y -компоненти, але з y -компонентом на 90 градусів попереду у фазі. Ви можете розпізнати вектори\((1/\sqrt{2})(1, \pm i, 0)\) як власні вектори для оператора обертання навколо осі z - кругово-поляризований промінь несе кутовий імпульс,\(\pm \hbar\) на фотон, спрямований вздовж напрямку руху.

Щільність енергії\(\dfrac{1}{8\pi}(\overline{|\vec{E}|^2+|\vec{B}|^2})\) може бути виражена у вигляді суми над окремими\((\vec{k},\vec{\varepsilon})\) режимами.

Запис електричного та магнітного полів через векторний потенціал,

\[ \vec{E}=-(1/c)\partial \vec{A}/\partial t,\; \vec{B}=\vec{\nabla}\times\vec{A}. \label{9.7.4}\]

де

\[ \vec{A}(\vec{r},t)=\dfrac{1}{\sqrt{V}}\sum_{\vec{k}}\sum_{\alpha=1,2}(c_{\vec{k},\alpha}(t)\vec{\varepsilon}_{\alpha}e^{i\vec{k}\cdot\vec{r}}+c^{\ast}_{\vec{k},\alpha}(t)\vec{\varepsilon}^{\ast}_{\alpha}e^{-i\vec{k}\cdot\vec{r}}) \label{9.7.5}\]

і тим самим виражаючи загальну енергію

\[ \dfrac{V}{8\pi} (\overline{|\vec{E}|^2+|\vec{B}|^2})=\dfrac{V}{4\pi} \left(\dfrac{\omega}{c}\right)^2\overline{|\vec{A}|^2} \label{9.7.6}\]

з точки зору\((\vec{k},\vec{\varepsilon})\) амплітуд\(c^{\ast}_{\vec{k},\alpha}(t),  c_{\vec{k},\alpha}(t)\), потім інтегруючи щільність енергії по всій великій коробці, перехресні члени зникають з ортогональності різних режимів, а загальна енергія в коробці - гамільтоніана - становить:

\[ H=\dfrac{1}{2\pi} \sum_{\vec{k}}\sum_{\alpha}\left(\dfrac{\omega}{c}\right)^2c^{\ast}_{\vec{k},\alpha}c_{\vec{k},\alpha}. \label{9.7.7}\]

Зверніть увагу, що хоча гамільтоніан (звичайно) незалежний від часу, коефіцієнти\(c_{\vec{k},\alpha}\) тут залежать від часу,\(c_{\vec{k},\alpha}(t)=c_{\vec{k},\alpha}(0)e^{-i\omega t}\).

Але це формально ідентично набору простих гармонійних осциляторів! Нагадаємо, що для класичного осцилятора вектор\(z=m\omega x+ip\) має залежність від часу\(z(t)=z_0e^{-i\omega t}\), а енергія генератора пропорційна\(z^{\ast}z\) (\(x,p\)є звичайними сполученими змінними).\(p^2+(m\omega x)^2=2mE\) Ясно, що\(c_{\vec{k},\alpha}(t)\) тут відповідає\(z(t)\): той же час залежність, той же гамільтоніан. Тому реальна та уявна частини також\(c_{\vec{k},\alpha}(t)\) повинні бути сполучені змінні, які, отже, можуть бути квантовані точно так само, як для простого гармонічного осцилятора.

Від

\[ \vec{A}(\vec{r},t)=\dfrac{1}{\sqrt{V}}\sum_{\vec{k}}\sum_{\alpha=1,2}(c_{\vec{k},\alpha}(t)\vec{\varepsilon}_{\alpha}e^{i\vec{k}\cdot\vec{r}}+c^{\ast}_{\vec{k},\alpha}(t)\vec{\varepsilon}^{\ast}_{\alpha}e^{-i\vec{k}\cdot\vec{r}}) \label{9.7.8}\]

ми бачимо, що реальна частина\(c_{\vec{k},\alpha}(t)\) в основному дає внесок того\(\vec{k}\),\(\alpha\) і, згадуючи часову залежність\(c_{\vec{k},\alpha}(t)=c_{\vec{k},\alpha}(0)e^{-i\omega t}\), уявна частина пропорційна вкладу в\(\partial \vec{A}(\vec{r},t)/\partial t\), тобто до\(\vec{E}(\vec{r},t)\). По суті, то реальна частина\(c_{\vec{k},\alpha}(t)\), пропорційна,\(\alpha\) Фур'є компонент векторного потенціалу\(\vec{A}\), є те, що відповідає зміщенню х в 1-D простий гармонічний осцилятор, і уявна частина\(c_{\vec{k},\alpha}(t)\)\(\vec{k}\),\(\vec{k}\)\(\alpha\) Фур'є складова\(\vec{E}\), відповідає імпульсу в простому гармонічному осциляторі.

Щоб здійснити квантування, ми повинні висловити класичний гамільтоніан

\[ H=\dfrac{1}{2\pi} \sum_{\vec{k}}\sum_{\alpha}\left(\dfrac{\omega}{c}\right)^2c^{\ast}_{\vec{k},\alpha}c_{\vec{k},\alpha} \label{9.7.9}\]

у формі

\[ H=\sum_{\vec{k}}\sum_{\alpha}\dfrac{1}{2}(P^2_{\vec{k},\alpha}+\omega^2Q^2_{\vec{k},\alpha}) \label{9.7.10}\]

з\(P_{\vec{k},\alpha}, Q_{\vec{k},\alpha}\) уявною та реальною частинами амплітуди осцилятора\(c_{\vec{k},\alpha}(t)\) (відповідно масштабується) точно паралельно стандартній обробці простого гармонічного осцилятора:

\[ Q_{\vec{k},\alpha}=\dfrac{1}{c\sqrt{4\pi}}(c_{\vec{k},\alpha}+c^{\ast}_{\vec{k},\alpha}), P_{\vec{k},\alpha}=-i\omega c4\pi √(c_{\vec{k},\alpha}-c^{\ast}_{\vec{k},\alpha}). \label{9.7.11}\]

З часової залежності\(c_{\vec{k},\alpha}(t)=c_{\vec{k},\alpha}(0)e^{-i\omega t}\) ці (класичні) змінні\(P,Q\) є канонічними:

\[ \dfrac{\partial H}{\partial Q_{\vec{k},\alpha}}=-\dot{P}_{\vec{k},\alpha},\; \dfrac{\partial H}{\partial P_{\vec{k},\alpha}}=\dot{Q}_{\vec{k},\alpha}. \label{9.7.12}\]

Гамільтоніан тепер можна квантувати за стандартною процедурою. Пари канонічних змінних\(P,Q\) (по одній парі до кожного режиму\(\vec{k},\alpha\)) стають операторами, дужки Пуассона стають комутаторами, масштаб визначається константою Планка:

\[ [Q_{\vec{k},\alpha},P_{\vec{k}′,\alpha′}]=i\hbar\delta_{\vec{k},\vec{k}′}\delta_{\alpha,\alpha′}. \label{9.7.13}\]

Наступним кроком є вираження взаємодії електронного випромінювання з\((e/mc)\vec{A}\cdot\vec{p}\) точки зору цих польових операторів. Оскільки електромагнітне поле квантовано, взаємодія з електроном повинна полягати в тому, що електрон випромінює або поглинає кванти (фотони). Це найбільш безпосередньо представлено написанням взаємодії з точки зору створення і знищення (підвищення і зниження) операторів:

\[ \begin{matrix} a_{\vec{k},\alpha}=\dfrac{1}{\sqrt{2\hbar\omega}}(\omega Q_{\vec{k},\alpha}+iP_{\vec{k},\alpha})\\ a^{\dagger}_{\vec{k},\alpha}=\dfrac{1}{\sqrt{2\hbar\omega}}(\omega Q_{\vec{k},\alpha}-iP_{\vec{k},\alpha}) \end{matrix} \label{9.7.14}\]

Ці задовольняють\([a,a^{\dagger}]=1\).

(Зверніть увагу, що оператор анігіляції не\(a_{\vec{k},\alpha}\) що інше, як операторне представлення класичної комплексної амплітуди\(c_{\vec{k},\alpha}\), з додатковим фактором, щоб зробити його безрозмірним,\(c_{\vec{k},\alpha}\to c\sqrt{\dfrac{2\pi \hbar}{\omega}} a_{\vec{k},\alpha}\). Цю ж еквівалентність ми обговорювали в лекції про когерентні стани, які були власними станами оператора анігіляції.)

Після розробки стандартного простого гармонічного осцилятора оператор\(\hat{n}_{\vec{k},\alpha}=a^{\dagger}_{\vec{k},\alpha}a_{\vec{k},\alpha}\) має власні стани з цілими власними значеннями\(\hat{n}|n\rangle =n|n\rangle\), внесок у гамільтоніан з режиму\(\vec{k}\),\(\alpha\) справедливий\(H_{\vec{k},\alpha}=(\hat{n}_{\vec{k},\alpha}+\dfrac{1}{2})\hbar\omega\), і\(a^{\dagger}|n\rangle =\sqrt{n+1}|n+1\rangle\),\(a|n\rangle =\sqrt{n}|n-1\rangle\).

Суть: класична плоска хвиля розширення\(\vec{A}\), з амплітудами хвиль\(c_{\vec{k},\alpha}(t)\)

\[ \vec{A}(\vec{r},t)=\dfrac{1}{\sqrt{V}}\sum_{\vec{k}}\sum_{\alpha=1,2}(c_{\vec{k},\alpha}(t)\vec{\varepsilon}_{\alpha}e^{i\vec{k}\cdot\vec{r}}+c^{\ast}_{\vec{k},\alpha}(t)\vec{\varepsilon}^{\ast}_{\alpha}e^{-i\vec{k}\cdot\vec{r}}) \label{9.7.15}\]

замінюється при квантуванні паралельним операторним розширенням, амплітуда хвилі\(c_{\vec{k},\alpha}(t)\) стає (масштабованим) оператором анігіляції:

\[ \vec{A}(\vec{r},t)=\dfrac{1}{\sqrt{V}}\sum_{\vec{k}}\sum_{\alpha=1,2}c\sqrt{\dfrac{2\pi \hbar}{\omega}}(a_{\vec{k},\alpha}(t)\vec{\varepsilon}_{\alpha}e^{i\vec{k}\cdot\vec{r}} +a^{\dagger}_{\vec{k},\alpha}(t)\vec{\varepsilon}^{\ast}_{\alpha}e^{-i\vec{k}\cdot\vec{r}}). \label{9.7.16}\]

Повторне відвідування фотоефекту, тепер із квантованим полем

Нагадаємо тепер, що для фотоефекту у водні, слідом за Шанкаром ми написали вхідне електромагнітне поле\(\vec{A}(\vec{r},t)=\vec{A} _0\cos(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t)\). Єдиним відповідним компонентом було те, що відбувається як\(e^{i(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t)}\). У цьому розділі, після стандартного використання (включаючи Шанкара) ми беремо вхідне поле\(\vec{A}_0e^{i(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t)}\) - дратівлива зміна в 2 рази, але, мабуть, неминуча, якщо ми хочемо слідувати неквантованому фотоефекту Шанкара, а потім перейти до квантованого випадку. У всякому разі, нагадаємо елемент матриці, щоб обчислити швидкість була (з вхідною хвилею зараз\(\vec{A}=\vec{A} _0e^{i(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t)}\))

\[ \langle \vec{k}_f|\left(\dfrac{e}{mc}\right)\vec{A} _0e^{i(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t)}\cdot\vec{p}|100\rangle \label{9.7.17}\]

Про квантування поля, починаючи з кінця попереднього розділу

\[ \vec{A}_0e^{i(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t)}=\dfrac{c_{\vec{k},\alpha}(0)\vec{\varepsilon}}{\sqrt{V}}e^{i(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t)}\to c\sqrt{\dfrac{2\pi \hbar}{\omega}}a_{\vec{k},\alpha}\dfrac{\vec{\varepsilon}}{\sqrt{V}}e^{i(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t)} \label{9.7.18}\]

(c на початку тут швидкість світла).

Тепер, коли амплітуда електромагнітного поля\(\vec{A}_0\) виражається як оператор анігіляції, для його роботи повинні бути надані відповідні (номер фотонів) бюстгальтери та кети. Відповідний режим фотонів є\(\vec{k}\)\(\alpha\), тому маркування відповідного номера фотонів стверджує, що елемент матриці, який повинен з'явитися в Золотому правилі є\(|n_{\vec{k},\alpha}\rangle =|n\rangle_{\vec{k},\alpha}\)

\[ \begin{matrix} (\langle \vec{k}_f|\otimes\langle n-1|_{\vec{k},\alpha})\left(\dfrac{e}{mc}\right)e^{i\vec{k}\cdot\vec{r}}\vec{A}_0\cdot\vec{p}(|100\rangle \otimes|n\rangle_{\vec{k},\alpha})\\ =\langle \vec{k}_f;n-1|\left(\dfrac{e}{mc}\right)e^{i\vec{k}\cdot\vec{r}}c\sqrt{\dfrac{2\pi \hbar}{\omega}}a_{\vec{k},\alpha}\dfrac{\vec{\varepsilon}\cdot\vec{p}}{\sqrt{V}}|100;n\rangle. \end{matrix} \label{9.7.19}\]

(Ми видалили те\(e^{i\omega t}\), що тільки сприяє\(\delta\) -function в Золотому правилі.)

Оскільки\(a_{\vec{k},\alpha}|n\rangle_{\vec{k},\alpha}=\sqrt{n_{\vec{k},\alpha}}|n-1\rangle_{\vec{k},\alpha}\), зрозуміло, що квантування вхідної електромагнітної хвилі означає заміну класичного векторного потенціалу для цієї хвилі

\[ \vec{A}_0\to c\vec{\varepsilon}\sqrt{\dfrac{2\pi \hbar n_{\vec{k},\alpha}}{\omega V}} \label{9.7.20}\]

На рівні окупації\(n_{\vec{k},\alpha}\) фотонів (макроскопічна) енергія в цьому одиночному режимі\(\dfrac{1}{2\pi} \left(\dfrac{\omega}{c}\right)^2c^{\ast}_{\vec{k},\alpha}c_{\vec{k},\alpha}\) стає

\[ \dfrac{1}{2\pi} \left(\dfrac{\omega}{c}\right)^2c^2\dfrac{2\pi \hbar}{\omega} a^{\dagger}_{\vec{k},\alpha}a_{\vec{k},\alpha}=n_{\vec{k},\alpha}\hbar\omega. \label{9.7.21}\]

(Нагадаємо, Гамільтоніан для класичного електромагнітного поля є з\(H=\dfrac{1}{2\pi} \sum_{\vec{k}}\sum_{\alpha}\left(\dfrac{\omega}{c}\right)^2 c^{\ast}_{\vec{k},\alpha}c_{\vec{k},\alpha}\) точки\(c_{\vec{k},\alpha}\) зору.)

З\(a|n\rangle =\sqrt{n}|n-1\rangle\), елемент матриці Золоте правило

\[ \langle \vec{k}_f;n-1|\left(\dfrac{e}{mc}\right)e^{i\vec{k}\cdot\vec{r}}c\sqrt{\dfrac{2\pi \hbar}{\omega}}a_{\vec{k},\alpha}\dfrac{\vec{\varepsilon}\cdot\vec{p}}{\sqrt{V}}|100;n\rangle \label{9.7.22}\]

пропорційна\(\sqrt{n_{\vec{k},\alpha}}\), тому ставка Золотого правила, яка включає в себе квадрат елемента матриці, буде точно пропорційна\(n_{\vec{k},\alpha}\). Але від\(\vec{A}_0\to c\vec{\varepsilon}\sqrt{\dfrac{2\pi \hbar n_{\vec{k},\alpha}}{\omega V}}\), це пропорційно\(|\vec{A}_0|^2\), а насправді квантова швидкість поглинання випромінювання точно дорівнює класичній швидкості по всьому діапазону напруженості поля.

Спонтанне випромінювання

Однак ця точна відповідність класичному результату не тримає для випромінювання фотонів! У цьому випадку атом додає фотон до режиму, який вже містить n фотонів, скажімо, і відповідний елемент матриці є\(a^{\dagger}|n\rangle =\sqrt{n+1}|n+1\rangle\), тому еквівалентний класичний вектор\(\vec{A}_0\)\(c\sqrt{\dfrac{(n_{\vec{k},\alpha}+1)2\pi \hbar}{\omega V}}\vec{\varepsilon}_{\alpha}\). Це ненульовий, навіть якщо\(n_{\vec{k},\alpha}\) нуль— отже, спонтанне випромінювання.

Для спонтанного випромінювання, то відповідним елементом матриці є

\[ \langle 100;1|\left(\dfrac{e}{mc}\right)e^{-i\vec{k}\cdot\vec{r}}c\sqrt{\dfrac{2\pi \hbar}{\omega}} a^{\dagger}_{\vec{k},\alpha}\dfrac{\vec{\varepsilon}\cdot\vec{p}}{\sqrt{V}}|21m;0\rangle. \label{9.7.23}\]

Щільність вихідних станів для випромінюваного фотона, приймаючи коробкову нормалізацію з періодичними граничними умовами, як зазвичай, становить

\[ \dfrac{V}{(2\pi)^3}k^2dkd\Omega =\dfrac{V}{(2\pi)^3}\dfrac{\omega^2d\omega d\Omega}{c^3}=\dfrac{V}{(2\pi)^3}\dfrac{\omega^2dE d\Omega}{\hbar c^3} \label{9.7.24}\]

так щільність станів в енергетичному внеску в дельта-функцію Золотого правила є\(\dfrac{V}{(2\pi)^3}\dfrac{\omega^2d\Omega}{\hbar c^3}\), а швидкість випромінювання фотонів з поляризацією\(\vec{\varepsilon}\) в твердий кут\(d\Omega\) буде:

\[ \dfrac{2\pi}{\hbar}\left|\langle 100;1|\left(\dfrac{e}{mc}\right)e^{-i\vec{k}\cdot\vec{r}}c\sqrt{\dfrac{2\pi \hbar}{\omega}} a^{\dagger}_{\vec{k},\alpha} \dfrac{\vec{\varepsilon}\cdot\vec{p}}{\sqrt{V}}|21m;0\rangle \right|^2\dfrac{V}{(2\pi)^3}\dfrac{\omega^2d\Omega}{\hbar c^3}. \label{9.7.25}\]

Одна невелика відмінність в оцінці матричного елемента від нашої обробки фотоелектричного ефекту полягає в поданні дипольної взаємодії. Нагадаємо, що там ми дали еквівалентні форми

\[ \langle f|H^1|i\rangle =\left(\dfrac{e}{mc}\right)\vec{A}_0\cdot\langle f|\vec{p}|i\rangle e^{-i\omega t}=\left(\dfrac{e}{mc}\right)im\omega \vec{A}_0\cdot\langle f|\vec{r}|i\rangle e^{-i\omega t} \label{9.7.26}\]

і використовував\(\vec{p}\) подання, оскільки вихідний фотоелектрон був прийнятий в плоскому хвильовому стані, власні стани\(\vec{p}\). Але для спонтанного випромінювання електрон переходить з одного пов'язаного стану в інше, тому\(\vec{r}\) форма дає більш безпосередню картину взаємодіючого диполя із зовнішнім полем, і насправді інтеграція між станами, як правило, трохи більш пряма.

Таким чином, в елементі матриці ми робимо підстановку\(\vec{\varepsilon}\cdot\vec{p}\to im\omega \vec{\varepsilon}\cdot\vec{r}\), а потім повинні оцінити атомний елемент матриці\(\langle 100|\vec{\varepsilon}\cdot\vec{r}|21m\rangle\). Природний спосіб зробити це - висловити вектори через сферичні гармоніки, тобто записати їх як сферичні вектори,

\[ r^{\pm 1}_1=\mp (x\pm iy)/\sqrt{2}=r\sqrt{4\pi /3}Y^{\pm 1}_1,\;  r^0_1=z=r\sqrt{4\pi /3}Y^0_1 \label{9.7.27}\]

і аналогічно для\(\vec{\varepsilon}\). Інтеграли тоді прості, але стомлюючі.

Забавний момент, зроблений Сакураєм, полягає в тому, що загальна ймовірність переходу для спонтанного випромінювання

\[\dfrac{1}{137}\dfrac{4}{3}\dfrac{\omega^3}{c^2}|\langle 100|\vec{x}|21m\rangle |^2\]

і це ж вираз було отримано за допомогою принципу відповідності Гейзенберга, до того, як була винайдена квантова теорія поля.

Обчислений час життя стану n = 2 дорівнює\(1.6\times10^{-9}\) секундам.