14.7: Розсіювання низької енергії

Взагалі, при низьких енергіях ($1/k$тобто коли набагато більше діапазону потенціалу) часткові хвилі з$l>0$ вносять незначний внесок в розсіювальний переріз. Звідси випливає, що при цих енергіях, з потенціалом кінцевого діапазону, важливо тільки$S$ -хвильове розсіювання.

Як конкретний приклад розглянемо розсіювання кінцевою потенційною ямою, що характеризується$V=V_0$ for$r<a$, і$V=0$ for$r\geq a$. Тут,$V_0$ є константа. Потенціал є$V_0>0$ відразливим і привабливим для$V_0<0$. Функція зовнішньої хвилі задається [див. Рівняння ([e17.80])], $$\begin{aligned} {\cal R}_0(r) &= \exp(\,{\rm i}\, \delta_0)\,\left[ \cos\delta_0\,j_0(k\,r) - \sin\delta_0\,y_0(k\,r) \right]\nonumber\\[0.5ex] &= \frac{ \exp(\,{\rm i} \,\delta_0)\, \sin(k\,r+\delta_0)}{k\,r},\end{aligned}$$ де було використано рівняння ([e17.58a]) та ([e17.58b]). Внутрішня хвильова функція випливає з Рівняння ([e17.85]). Отримано $$\label{e17.103} {\cal R}_0(r) = B \,\frac{\sin (k'\,r)}{r},$$ , де було використано граничну умову ([e17.86]). Тут$B$ є константа, і $$E - V_0 = \frac{\hbar^{\,2} \,k'^{\,2}}{2\,m}.$$ Зверніть увагу, що рівняння ([e17.103]) застосовується лише тоді, коли$E>V_0$. Для$E<V_0$, у нас є $${\cal R}_0(r) = B \,\frac{\sinh(\kappa\, r)}{r},$$ де $$V_0 - E = \frac{\hbar^{\,2}\, \kappa^{\,2}}{2\,m}.$$ Matching${\cal R}_0(r)$, і його радіальна похідна, при$r=a$ прибутковості $$\label{e17.107} \tan(k\,a+\delta_0) = \frac{k}{k'} \,\tan( k'\,a)$$ для$E>V_0$, і $$\tan(k\,a+ \delta_0) = \frac{k}{\kappa} \,\tanh( \kappa\, a)$$ для$E<V_0$.

Розглянемо привабливий потенціал, для чого$E>V_0$. Припустимо, що$|V_0|\gg E$ (тобто глибина потенційної ями набагато більше енергії падаючих частинок), так що$k' \gg k$. Ми бачимо з Рівняння ([e17.107]), що, якщо не$\tan (k'\,a)$ стає надзвичайно великою, права сторона набагато менше одиниці, тому замінивши тангенс невеликої кількості на саму величину, ми отримуємо $$k\,a + \delta_0 \simeq \frac{k}{k'}\,\tan (k'\,a).$$ Це дає $$\delta_0 \simeq k\,a \left[ \frac{\tan( k'\,a)}{k'\,a} -1\right].$$ Відповідно до рівняння ([e17.99]), Перетин розсіювання задається $$\label{e17.111} \sigma_{\rm total} \simeq \frac{4\pi}{k^{\,2}}\, \sin^2\delta_0 =4\pi \,a^{\,2}\left[\frac{\tan (k\,'a)}{k'\,a} -1\right]^{\,2}.$$ Now, $$\label{e17.112} k'\,a = \sqrt{ k^{\,2} \,a^{\,2} + \frac{2 \,m \,|V_0|\, a^{\,2}}{\hbar^{\,2}}},$$ тому при досить малих значеннях$k\,a$, $$k' \,a \simeq \sqrt{\frac{2\, m \,|V_0|\, a^{\,2}}{\hbar^{\,2}}}.$$ випливає, що сумарний ($S$-хвильовий) переріз розсіювання не залежить від енергії падаючих частинок (за умови, що ця енергія досить мала).

Зверніть увагу, що існують значення$k'\,a$ (наприклад,$k'\,a\simeq 4.49$) при яких$\delta_0\rightarrow \pi$ і розсіювальний переріз ([e17.111]) зникає, незважаючи на дуже сильне тяжіння потенціалу. Насправді перетин не рівно дорівнює нулю, через внески від$l>0$ часткових хвиль. Але, при низьких падаючих енергіях, ці внески невеликі. Звідси випливає, що існують певні значення$V_0$ і$k$ які породжують майже ідеальну передачу падаючої хвилі. Це називається ефектом Рамзауера-Таунсенда і спостерігалося експериментально.

Автори та атрибуція

• Template:ContribFitzpatrick