14.7: Розсіювання низької енергії

Взагалі, при низьких енергіях (\(1/k\)тобто коли набагато більше діапазону потенціалу) часткові хвилі з\(l>0\) вносять незначний внесок в розсіювальний переріз. Звідси випливає, що при цих енергіях, з потенціалом кінцевого діапазону, важливо тільки\(S\) -хвильове розсіювання.

Як конкретний приклад розглянемо розсіювання кінцевою потенційною ямою, що характеризується\(V=V_0\) for\(r<a\), і\(V=0\) for\(r\geq a\). Тут,\(V_0\) є константа. Потенціал є\(V_0>0\) відразливим і привабливим для\(V_0<0\). Функція зовнішньої хвилі задається [див. Рівняння ([e17.80])],\[\begin{aligned} {\cal R}_0(r) &= \exp(\,{\rm i}\, \delta_0)\,\left[ \cos\delta_0\,j_0(k\,r) - \sin\delta_0\,y_0(k\,r) \right]\nonumber\\[0.5ex] &= \frac{ \exp(\,{\rm i} \,\delta_0)\, \sin(k\,r+\delta_0)}{k\,r},\end{aligned}\] де було використано рівняння ([e17.58a]) та ([e17.58b]). Внутрішня хвильова функція випливає з Рівняння ([e17.85]). Отримано\[\label{e17.103} {\cal R}_0(r) = B \,\frac{\sin (k'\,r)}{r},\], де було використано граничну умову ([e17.86]). Тут\(B\) є константа, і\[E - V_0 = \frac{\hbar^{\,2} \,k'^{\,2}}{2\,m}.\] Зверніть увагу, що рівняння ([e17.103]) застосовується лише тоді, коли\(E>V_0\). Для\(E<V_0\), у нас є\[{\cal R}_0(r) = B \,\frac{\sinh(\kappa\, r)}{r},\] де\[V_0 - E = \frac{\hbar^{\,2}\, \kappa^{\,2}}{2\,m}.\] Matching\({\cal R}_0(r)\), і його радіальна похідна, при\(r=a\) прибутковості\[\label{e17.107} \tan(k\,a+\delta_0) = \frac{k}{k'} \,\tan( k'\,a)\] для\(E>V_0\), і\[\tan(k\,a+ \delta_0) = \frac{k}{\kappa} \,\tanh( \kappa\, a)\] для\(E<V_0\).

Розглянемо привабливий потенціал, для чого\(E>V_0\). Припустимо, що\(|V_0|\gg E\) (тобто глибина потенційної ями набагато більше енергії падаючих частинок), так що\(k' \gg k\). Ми бачимо з Рівняння ([e17.107]), що, якщо не\(\tan (k'\,a)\) стає надзвичайно великою, права сторона набагато менше одиниці, тому замінивши тангенс невеликої кількості на саму величину, ми отримуємо\[k\,a + \delta_0 \simeq \frac{k}{k'}\,\tan (k'\,a).\] Це дає\[\delta_0 \simeq k\,a \left[ \frac{\tan( k'\,a)}{k'\,a} -1\right].\] Відповідно до рівняння ([e17.99]), Перетин розсіювання задається\[\label{e17.111} \sigma_{\rm total} \simeq \frac{4\pi}{k^{\,2}}\, \sin^2\delta_0 =4\pi \,a^{\,2}\left[\frac{\tan (k\,'a)}{k'\,a} -1\right]^{\,2}.\] Now,\[\label{e17.112} k'\,a = \sqrt{ k^{\,2} \,a^{\,2} + \frac{2 \,m \,|V_0|\, a^{\,2}}{\hbar^{\,2}}},\] тому при досить малих значеннях\(k\,a\),\[k' \,a \simeq \sqrt{\frac{2\, m \,|V_0|\, a^{\,2}}{\hbar^{\,2}}}.\] випливає, що сумарний (\(S\)-хвильовий) переріз розсіювання не залежить від енергії падаючих частинок (за умови, що ця енергія досить мала).

Зверніть увагу, що існують значення\(k'\,a\) (наприклад,\(k'\,a\simeq 4.49\)) при яких\(\delta_0\rightarrow \pi\) і розсіювальний переріз ([e17.111]) зникає, незважаючи на дуже сильне тяжіння потенціалу. Насправді перетин не рівно дорівнює нулю, через внески від\(l>0\) часткових хвиль. Але, при низьких падаючих енергіях, ці внески невеликі. Звідси випливає, що існують певні значення\(V_0\) і\(k\) які породжують майже ідеальну передачу падаючої хвилі. Це називається ефектом Рамзауера-Таунсенда і спостерігалося експериментально.

Автори та атрибуція

• Template:ContribFitzpatrick