14.3: Часткові хвилі
- Page ID
- 76905
Можна припустити, без втрати спільності, що падаюча хвильова функція характеризується хвильовим вектором\({\bf k}\), який вирівняний паралельно\(z\) -осі. Розсіяна хвильова функція характеризується хвильовим вектором,\({\bf k}'\) який має таку ж величину\({\bf k}\), як, але, в цілому, вказує в іншому напрямку. Напрямок\({\bf k}'\) задається полярним кутом\(\theta\) (тобто кутом, підтягнутим між двома хвильовими векторами), і азимутальним\(\phi\) кутом навколо\(z\) осі. Рівняння ([e17.38]) і ([e17.39]) настійно припускають, що для сферично симетричного потенціалу розсіювання [тобто\(V({\bf r}) = V(r)\)] амплітуда розсіювання є функцією\(\theta\) тільки: тобто, з\[f(\theta, \phi) = f(\theta).\] цього випливає, що ні падаюча хвильова функція,
\[\label{e17.52} \psi_0({\bf r}) = \sqrt{n}\,\exp(\,{\rm i}\,k\,z)= \sqrt{n}\,\exp(\,{\rm i}\,k\,r\cos\theta),\]ні велика\(r\) форма загальної хвильової функції,
\[\label{e17.53} \psi({\bf r}) = \sqrt{n} \left[ \exp(\,{\rm i}\,k\,r\cos\theta) + \frac{\exp(\,{\rm i}\,k\,r)\, f(\theta)} {r} \right],\]залежать від азимутального кута\(\phi\).
Поза діапазоном потенціалу розсіювання, обидва\(\psi_0({\bf r})\) і\(\psi({\bf r})\) задовольняють рівняння Шредінгера вільного простору,
\[\label{e17.54} (\nabla^{\,2} + k^{\,2})\,\psi = 0.\]Яке найзагальніше рішення цього рівняння в сферичних полярних координатах, що не залежить від азимутального кута\(\phi\)? Поділ змінних дає
\[\label{e17.55} \psi(r,\theta) = \sum_l R_l(r)\, P_l(\cos\theta),\]тому що функції Лежандра\(P_l(\cos\theta)\), утворюють повний набір в\(\theta\) -space. Функції Лежандра пов'язані зі сферичними гармоніками, введені в розділі [сорб], через\[P_l(\cos\theta) = \sqrt{\frac{4\pi}{2\,l+1}}\, Y_{l,0}(\theta,\varphi).\] Рівняння ([e17.54]) і ([e17.55]) можуть бути об'єднані, щоб дати
\[r^{\,2}\,\frac{d^{\,2} R_l}{dr^{\,2}} + 2\,r \,\frac{dR_l}{dr} + [k^{\,2} \,r^{\,2} - l\,(l+1)]\,R_l = 0.\]Двома незалежними розв'язками цього рівняння є сферичні функції Бесселя,\(j_l(k\,r)\) і\(y_l(k\,r)\), введені в Розділі [rwell]. Нагадаємо, що
\[\begin{aligned} \label{e17.58a} j_l(z) &= z^{\,l}\left(-\frac{1}{z}\frac{d}{dz}\right)^l\left( \frac{\sin z}{z}\right), \\[0.5ex]\label{e17.58b} y_l(z) &= -z^{\,l}\left(-\frac{1}{z}\frac{d}{dz}\right)^l \left(\frac{\cos z}{z}\right).\end{aligned}\]Зверніть увагу, що\(j_l(z)\) вони добре поводяться в межі\(z\rightarrow 0\), тоді як\(y_l(z)\) стають одниною. Асимптотична поведінка цих функцій у межі\(z\rightarrow \infty\) дорівнює
\[\begin{aligned} \label{e17.59a} j_l(z) &\rightarrow \frac{\sin(z - l\,\pi/2)}{z},\\[0.5ex] y_l(z) &\rightarrow - \frac{\cos(z-l\,\pi/2)}{z}.\label{e17.59b}\end{aligned}\]
Ми можемо записати\[\exp(\,{\rm i}\,k\,r \cos\theta) = \sum_l a_l\, j_l(k\,r)\, P_l(\cos\theta),\], де\(a_l\) є константи. Зверніть увагу, що у цьому виразі немає\(y_l(k\,r)\) функцій, оскільки вони погано поводяться як\(r \rightarrow 0\). Функції Лежандра ортонормальні,
\[\label{e17.61} \int_{-1}^1 P_n(\mu) \,P_m(\mu)\,d\mu = \frac{\delta_{nm}}{n+1/2},\]тому ми можемо інвертувати попереднє розширення, щоб дати\[a_l \,j_l(k\,r) = (l+1/2)\int_{-1}^1 \exp(\,{\rm i}\,k\,r \,\mu) \,P_l(\mu) \,d\mu.\] Добре відомо, що\[j_l(y) = \frac{(-{\rm i})^{\,l}}{2} \int_{-1}^1 \exp(\,{\rm i}\, y\,\mu) \,P_l(\mu)\,d\mu,\] де\(l=0, 1, 2, \cdots\). Таким чином,\[a_l = {\rm i}^{\,l} \,(2\,l+1),\] даючи
\[\label{e15.49} \psi_0({\bf r}) = \sqrt{n}\,\exp(\,{\rm i}\,k\,r \cos\theta) =\sqrt{n}\, \sum_l {\rm i}^{\,l}\,(2\,l+1)\, j_l(k\,r)\, P_l(\cos\theta).\]Попередній вираз розповідає нам, як розкласти падаючу площину-хвилю на ряд сферичних хвиль. Ці хвилі зазвичай називають «частковими хвилями».
Найзагальнішим виразом для повної хвильової функції поза областю розсіювання є те,\[\psi({\bf r}) = \sqrt{n}\sum_l\left[ A_l\,j_l(k\,r) + B_l\,y_l(k\,r)\right] P_l(\cos\theta),\] де\(A_l\) і\(B_l\) є константами. Зверніть увагу, що\(y_l(k\,r)\) функції можуть з'являтися в цьому розширенні, оскільки його область дії не включає походження. У великій\(r\) межі загальна хвильова функція зводиться туди,\[\psi ({\bf r} ) \simeq \sqrt{n} \sum_l\left[A_l\, \frac{\sin(k\,r - l\,\pi/2)}{k\,r} - B_l\,\frac{\cos(k\,r -l\,\pi/2)}{k\,r} \right] P_l(\cos\theta),\] де було використано рівняння ([e17.59a]) та ([e17.59b]). Попереднє вираз також може бути написано
\[\label{e17.68} \psi ({\bf r} ) \simeq \sqrt{n} \sum_l C_l\, \frac{\sin(k\,r - l\,\pi/2+ \delta_l)}{k\,r}\, P_l(\cos\theta),\]де синус і косинус функції були об'єднані, щоб дати синус функція, яка зсувається по фазі\(\delta_l\). Зверніть увагу, що\(A_l=C_l\,\cos\delta_l\) і\(B_l=-C_l\,\sin\delta_l\).
Рівняння ([e17.68]) дає,\[\psi({\bf r}) \simeq \sqrt{n} \sum_l C_l\left[ \frac{{\rm e}^{\,{\rm i}\,(k\,r - l\,\pi/2+ \delta_l)} -{\rm e}^{-{\rm i}\,(k\,r - l\,\pi/2+ \delta_l)} }{2\,{\rm i}\,k\,r} \right] P_l(\cos\theta),\label{e17.69}\] що містить як вхідні, так і вихідні сферичні хвилі. Що є джерелом вхідних хвиль? Очевидно, що вони повинні бути частиною\(r\) великоасимптотичного розширення падаючої хвильової функції. Насправді з Рівняння ([e17.59a]) і ([e15.49]) легко видно, що
\[\psi_0({\bf r}) \simeq \sqrt{n} \sum_l {\rm i}^{\,l}\, (2l+1)\left[\frac{ {\rm e}^{\,{\rm i}\,(k\,r - l\,\pi/2)} -{\rm e}^{-{\rm i}\,(k\,r - l\,\pi/2)}}{2\,{\rm i}\,k\,r} \right]P_l(\cos\theta)\label{e17.70}\]в великому\(r\) ліміті. Тепер рівняння ([e17.52]) і ([e17.53]) дають
\[\label{e17.71} \frac{\psi({\bf r} )- \psi_0({\bf r}) }{ \sqrt{n}} = \frac{\exp(\,{\rm i}\,k\,r)}{r}\, f(\theta).\]Зверніть увагу, що права сторона складається тільки з вихідної сферичної хвилі. З цього випливає, що коефіцієнти надходять сферичних хвиль в великих-\(r\) розширеннях\(\psi({\bf r})\) і\(\psi_0({\bf r})\) повинні бути однаковими. З рівнянь ([e17.69]) і ([e17.70]) випливає, що,\[C_l = (2\,l+1)\,\exp[\,{\rm i}\,(\delta_l + l\,\pi/2)].\] таким чином, рівняння ([e17.69]) — ([e17.71]) дають
\[\label{e17.73} f(\theta) = \sum_{l=0,\infty} (2\,l+1)\,\frac{\exp(\,{\rm i}\,\delta_l)} {k} \,\sin\delta_l\,P_l(\cos\theta).\]Зрозуміло, що визначення амплітуди розсіювання\(f(\theta)\), шляхом розкладання на часткові хвилі (тобто сферичні хвилі) еквівалентно визначенню фазових зрушень,\(\delta_l\).
Тепер перетин диференціального розсіювання - це просто модуль пружності в квадраті амплітуди розсіювання,\(f(\theta)\).\(d\sigma/d{\mit\Omega}\) [Див. Рівняння ([e15.17]).] Загальний перетин, таким чином, задається\[\begin{aligned} \sigma_{\rm total}& = \int |f(\theta)|^{\,2}\,d{\mit\Omega}\\[0.5ex] &= \frac{1}{k^{\,2}} \oint d\phi \int_{-1}^{1} d\mu \sum_l \sum_{l'} (2\,l+1)\,(2\,l'+1) \exp[\,{\rm i}\,(\delta_l-\delta_{l'})]\, \sin\delta_l \,\sin\delta_{l'}\, P_l(\mu)\, P_{l'}(\mu),\nonumber\end{aligned}\] де\(\mu = \cos\theta\). Звідси випливає, що \[\label{e17.75} \sigma_{\rm total} = \frac{4\pi}{k^{\,2}} \sum_l (2\,l+1)\,\sin^2\delta_l,\]там, де було використано рівняння ([e17.61]).