14.6: Розсіювання жорсткої сфери

Давайте перевіримо цю схему на особливо простому прикладі. Розглянемо розсіювання жорсткою сферою, для якої потенціал нескінченний для\(r<a\), а нуль для\(r>a\). Звідси випливає, що\(\psi({\bf r})\) дорівнює нулю в регіоні\(r<a\), що має на увазі, що\(u_l =0\) для всіх\(l\). Таким чином,\[\beta_{l-} = \beta_{l+} = \infty,\] для всіх\(l\). Рівняння ([e17.82]) таким чином дає\[\label{e17.90} \tan \delta_l = \frac{j_l(k\,a)}{y_l(k\,a)}.\]

Розглянемо\(l=0\) часткову хвилю, яку зазвичай називають\(S\) -хвилею. Рівняння ([e17.90]) дає\[\tan\delta_0 = \frac{\sin (k\,a)/k\,a}{-\cos (k\,a)/ka} = -\tan (k\,a),\] там, де було використано рівняння ([e17.58a]) і ([e17.58b]). Звідси випливає, що\[\label{e17.92} \delta_0 = -k\,a.\] функція радіальної\(S\) хвилі -wave [див. Рівняння ([e17.80])]\[\begin{aligned} {\cal R}_0(r) &= \exp(-{\rm i}\, k\,a)\, \frac{[\cos (k\,a) \,\sin (k\,r) -\sin (k\,a) \,\cos (k\,r)]}{k\,r}\nonumber\\[0.5ex] &= \exp(-{\rm i}\, k\,a)\, \frac{ \sin[k\,(r-a)]}{k\,r}.\end{aligned}\] Відповідна радіальна хвильова функція для падаючої хвилі набуває вигляду [див. Рівняння ([e15.49])]\[\tilde{\cal R}_0(r) = \frac{ \sin (k\,r)}{k\,r}.\] Таким чином, фактична\(l=0\) радіальна хвильова функція аналогічна падаючої\(l=0\) хвильової функції, за винятком того, що вона зсувається по фазі\(k\,a\).

Розглянемо низько- і високоенергетичні асимптотичні межі\(\tan\delta_l\). Низька енергія означає, що\(k\,a\ll 1\). При цьому режимі сферичні функції Бесселя зводяться до:\[\begin{aligned} j_l(k\,r) &\simeq \frac{(k\,r)^l}{(2\,l+1)!!},\\[0.5ex] y_l(k\,r) &\simeq -\frac{(2\,l-1)!!}{(k\,r)^{l+1}},\end{aligned}\] куди\(n!! = n\,(n-2)\,(n-4)\cdots 1\). Звідси\[\tan\delta_l = \frac{-(k\,a)^{2\,l+1}}{(2\,l+1) \,[(2\,l-1)!!]^{\,2}}.\] випливає, що Зрозуміло, що ми можемо знехтувати\(\delta_l\)\(l>0\), з, стосовно\(\delta_0\). Іншими словами, при низькій енергії важливо тільки\(S\) -хвильове розсіювання (тобто сферично симетричне розсіювання). Це випливає з Рівняння ([e15.17]), ([e17.73]), і ([e17.92]), що\[\frac{d\sigma}{d{\mit\Omega}} = \frac{\sin^2 k\,a}{k^{\,2}} \simeq a^{\,2}\] для\(k\,a\ll 1\). Зверніть увагу, що загальний перетин\[\sigma_{\rm total} = \int\frac{d\sigma}{d{\mit\Omega}}\,d{\mit\Omega} = 4\pi \,a^{\,2}\] в чотири рази перевищує геометричний переріз\(\pi \,a^{\,2}\) (тобто поперечний переріз для класичних частинок, що відскакують від твердої сфери радіусу\(a\)). Однак розсіювання з низькою енергією передбачає відносно великі довжини хвиль, тому ми не очікуємо отримання класичного результату в цій межі.

Розглянемо високоенергетичний ліміт\(k\,a\gg 1\). При високих енергіях всі часткові хвилі вгору значно\(l_{\rm max} = k\,a\) сприяють розсіюванню поперечного перерізу. З Рівняння ([e17.75]) випливає, що\[\label{e17.99} \sigma_{\rm total} \simeq \frac{4\pi}{k^{\,2}} \sum_{l=0,l_{\rm max}} (2\,l+1)\,\sin^2\delta_l.\] З такою кількістю\(l\) значень, це законно замінити\(\sin^2\delta_l\) його середнім значенням\(1/2\). Таким чином,\[\sigma_{\rm total} \simeq \sum_{l=0,k\,a} \frac{2\pi}{k^{\,2}} \,(2\,l+1) \simeq 2\pi \,a^{\,2}.\] це в два рази перевищує класичний результат, що дещо дивно, тому що ми могли б очікувати отримання класичного результату в короткохвильовій межі. Для розсіювання жорсткої сфери, падаючі хвилі з параметрами удару менше, ніж\(a\) повинні бути відхилені. Однак для того, щоб створити «тінь» за сферою, також має бути деяке розсіювання в прямому напрямку, щоб створити руйнівні перешкоди падаючій плоскої-хвилі. (Згадайте оптичну теорему.) Насправді перешкоди не є повністю руйнівними, а тінь має яскраву пляму (так зване «пляма Пуассона») в прямому напрямку. Ефективним перетином, пов'язаним з цим світлим плямою, є\(\pi \,a^{\,2}\) яке при поєднанні з поперечним перерізом для класичного відображення дає фактичне перетин\(2\pi \,a^{\,2}\).\(\pi \,a^{\,2}\)

Дописувачі та атрибуція

• Template:ContribFitzpatrick