14.6: Розсіювання жорсткої сфери

Давайте перевіримо цю схему на особливо простому прикладі. Розглянемо розсіювання жорсткою сферою, для якої потенціал нескінченний для$r<a$, а нуль для$r>a$. Звідси випливає, що$\psi({\bf r})$ дорівнює нулю в регіоні$r<a$, що має на увазі, що$u_l =0$ для всіх$l$. Таким чином,

$$\beta_{l-} = \beta_{l+} = \infty,$$ для всіх$l$. Рівняння ([e17.82]) таким чином дає $$\label{e17.90} \tan \delta_l = \frac{j_l(k\,a)}{y_l(k\,a)}.$$

Розглянемо$l=0$ часткову хвилю, яку зазвичай називають$S$ -хвилею. Рівняння ([e17.90]) дає

$$\tan\delta_0 = \frac{\sin (k\,a)/k\,a}{-\cos (k\,a)/ka} = -\tan (k\,a),$$ там, де було використано рівняння ([e17.58a]) і ([e17.58b]). Звідси випливає, що $$\label{e17.92} \delta_0 = -k\,a.$$ функція радіальної$S$ хвилі -wave [див. Рівняння ([e17.80])] $$\begin{aligned} {\cal R}_0(r) &= \exp(-{\rm i}\, k\,a)\, \frac{[\cos (k\,a) \,\sin (k\,r) -\sin (k\,a) \,\cos (k\,r)]}{k\,r}\nonumber\\[0.5ex] &= \exp(-{\rm i}\, k\,a)\, \frac{ \sin[k\,(r-a)]}{k\,r}.\end{aligned}$$ Відповідна радіальна хвильова функція для падаючої хвилі набуває вигляду [див. Рівняння ([e15.49])] $$\tilde{\cal R}_0(r) = \frac{ \sin (k\,r)}{k\,r}.$$ Таким чином, фактична$l=0$ радіальна хвильова функція аналогічна падаючої$l=0$ хвильової функції, за винятком того, що вона зсувається по фазі$k\,a$.

Розглянемо низько- і високоенергетичні асимптотичні межі$\tan\delta_l$. Низька енергія означає, що$k\,a\ll 1$. При цьому режимі сферичні функції Бесселя зводяться до:

$$\begin{aligned} j_l(k\,r) &\simeq \frac{(k\,r)^l}{(2\,l+1)!!},\\[0.5ex] y_l(k\,r) &\simeq -\frac{(2\,l-1)!!}{(k\,r)^{l+1}},\end{aligned}$$ куди$n!! = n\,(n-2)\,(n-4)\cdots 1$. Звідси $$\tan\delta_l = \frac{-(k\,a)^{2\,l+1}}{(2\,l+1) \,[(2\,l-1)!!]^{\,2}}.$$ випливає, що Зрозуміло, що ми можемо знехтувати$\delta_l$$l>0$, з, стосовно$\delta_0$. Іншими словами, при низькій енергії важливо тільки$S$ -хвильове розсіювання (тобто сферично симетричне розсіювання). Це випливає з Рівняння ([e15.17]), ([e17.73]), і ([e17.92]), що $$\frac{d\sigma}{d{\mit\Omega}} = \frac{\sin^2 k\,a}{k^{\,2}} \simeq a^{\,2}$$ для$k\,a\ll 1$. Зверніть увагу, що загальний перетин $$\sigma_{\rm total} = \int\frac{d\sigma}{d{\mit\Omega}}\,d{\mit\Omega} = 4\pi \,a^{\,2}$$ в чотири рази перевищує геометричний переріз$\pi \,a^{\,2}$ (тобто поперечний переріз для класичних частинок, що відскакують від твердої сфери радіусу$a$). Однак розсіювання з низькою енергією передбачає відносно великі довжини хвиль, тому ми не очікуємо отримання класичного результату в цій межі.

Розглянемо високоенергетичний ліміт$k\,a\gg 1$. При високих енергіях всі часткові хвилі вгору значно$l_{\rm max} = k\,a$ сприяють розсіюванню поперечного перерізу. З Рівняння ([e17.75]) випливає, що

$$\label{e17.99} \sigma_{\rm total} \simeq \frac{4\pi}{k^{\,2}} \sum_{l=0,l_{\rm max}} (2\,l+1)\,\sin^2\delta_l.$$ З такою кількістю$l$ значень, це законно замінити$\sin^2\delta_l$ його середнім значенням$1/2$. Таким чином, $$\sigma_{\rm total} \simeq \sum_{l=0,k\,a} \frac{2\pi}{k^{\,2}} \,(2\,l+1) \simeq 2\pi \,a^{\,2}.$$ це в два рази перевищує класичний результат, що дещо дивно, тому що ми могли б очікувати отримання класичного результату в короткохвильовій межі. Для розсіювання жорсткої сфери, падаючі хвилі з параметрами удару менше, ніж$a$ повинні бути відхилені. Однак для того, щоб створити «тінь» за сферою, також має бути деяке розсіювання в прямому напрямку, щоб створити руйнівні перешкоди падаючій плоскої-хвилі. (Згадайте оптичну теорему.) Насправді перешкоди не є повністю руйнівними, а тінь має яскраву пляму (так зване «пляма Пуассона») в прямому напрямку. Ефективним перетином, пов'язаним з цим світлим плямою, є$\pi \,a^{\,2}$ яке при поєднанні з поперечним перерізом для класичного відображення дає фактичне перетин$2\pi \,a^{\,2}$.$\pi \,a^{\,2}$

Дописувачі та атрибуція

• Template:ContribFitzpatrick