14.8: Резонанси
- Page ID
- 76919
Є істотний виняток з незалежності перетину від енергії, згаданої раніше. Припустимо,\((2\,m \,|V_0|\,a^{\,2}/\hbar^{\,2})^{\,1/2}\) що кількість трохи менше\(\pi/2\). У міру збільшення падаючої енергії\(k'\,a\), яка задається рівнянням ([e17.112]), може досягати значення\(\pi/2\). У цьому випадку\(\tan (k'\,a)\) стає нескінченним, тому ми більше не можемо вважати, що права частина Рівняння ([e17.107]) мала. Насправді з Рівняння ([e17.107]) випливає, що якщо значення падаючої енергії таке, що\(k'\,a = \pi/2\) тоді ми також маємо\(k\,a+\delta_0 = \pi/2\), або\(\delta_0 \simeq \pi/2\) (тому що ми припускаємо, що\(k\,a\ll 1\)). Це означає, що\[\sigma_{\rm total} = \frac{4\pi}{k^{\,2}} \,\sin^2\delta_0 = 4\pi \,a^{\,2} \left(\frac{1}{k^{\,2} \,a^{\,2}}\right).\] Зверніть увагу, що перетин тепер залежить від енергії. Крім того, величина поперечного перерізу набагато більша, ніж дана в Рівнянні ([e17.111]) для\(k'\,a\neq \pi/2\) (тому що\(k\,a\ll 1\)).
Походження цього досить дивного поведінки досить просте. Умова\[\sqrt{\frac{2\,m\,|V_0 |\,a^{\,2}}{\hbar^{\,2}} } = \frac{\pi}{2}\] еквівалентна умові, що сферична свердловина глибини\(V_0\) має зв'язаний стан при нульовій енергії. Таким чином, для потенційної ями, яка задовольняє попередньому рівнянню, енергія системи розсіювання по суті така ж, як і енергія зв'язаного стану. У цій ситуації інцидентна частка хотіла б сформувати зв'язаний стан в потенційній ямі. Однак зв'язаний стан не є стабільним, тому що система має невелику позитивну енергію. Тим не менш, такий вид резонансного розсіювання найкраще розуміти як захоплення падаючої частинки з утворенням метастабільного зв'язаного стану, а також подальший розпад зв'язаного стану і вивільнення частинки. Поперечний переріз резонансного розсіяння, як правило, набагато більше, ніж для нерезонансного розсіяння.
Ми бачили, що виникає резонансний ефект, коли фазовий зсув\(S\) -хвилі приймає значення\(\pi/2\). Нічого особливого в\(l=0\) часткової хвилі немає, тому розумно припустити, що існує подібний резонанс при фазовому зсуві\(l\) ї часткової хвилі\(\pi/2\). Припустимо, що\(\delta_l\) досягає значення\(\pi/2\) при\(E_0\) падаючій енергії, так що\[\delta_l(E_0) = \frac{\pi}{2}.\] Розширимо\(\cot \delta_l\) в околицях резонансну енергію:\[\begin{aligned} \cot \delta_l(E)& = \cot \delta_l(E_0) +\left( \frac{ d \cot\delta_l}{d E}\right)_{E=E_0}(E-E_0) + \cdots\nonumber\\[0.5ex] &= - \left(\frac{1}{\sin^2\delta_l}\frac{d\delta_l}{d E}\right)_{E=E_0} (E-E_0)+\cdots.\end{aligned}\]
Визначення\ почати {рівняння}\ ліворуч (\ frac {d\ delta_ {l} (E)} {d E}\ праворуч) _ {E=E_ {0}} =\ frac {2} {\ Gamma}\ end {рівняння}
отримаємо\ почати {рівняння}\ cot\ delta_ {l} (E) =-\ frac {2} {\ Гамма}\ ліворуч (E-E_ {0}\ праворуч) +\ cdots\ end {рівняння}
Нагадаємо, з Equation ([e17.75]), що внесок\(l\) ї часткової хвилі в розсіює перетин є\[\sigma_l = \frac{4\pi}{k^{\,2}} \,(2\,l+1)\,\sin^2\delta_l = \frac{4\pi}{k^{\,2}} \,(2\,l+1)\,\frac{1}{1+\cot^2\delta_l}.\] таким чином,\[\sigma_l \simeq \frac{4\pi}{k^{\,2}} \,(2\,l+1)\, \frac{{\mit\Gamma}^{\,2}/4}{(E-E_0)^{\,2} + {\mit\Gamma}^{\,2}/4}.\] це знаменита формула Брейта-Вінгера. Варіація часткового перерізу\(\sigma_l\) з падаючою енергією має вигляд класичної резонансної кривої. \({\mit\Gamma}\)Величина - ширина резонансу (в енергії). Формулу Брейта-Вігнера можна інтерпретувати як опис поглинання падаючої частинки з утворенням метастабільного стану\(E_0\), енергії та часу життя\(\tau = \hbar/ {\mit\Gamma}\).