14.8: Резонанси

Є істотний виняток з незалежності перетину від енергії, згаданої раніше. Припустимо,$(2\,m \,|V_0|\,a^{\,2}/\hbar^{\,2})^{\,1/2}$ що кількість трохи менше$\pi/2$. У міру збільшення падаючої енергії$k'\,a$, яка задається рівнянням ([e17.112]), може досягати значення$\pi/2$. У цьому випадку$\tan (k'\,a)$ стає нескінченним, тому ми більше не можемо вважати, що права частина Рівняння ([e17.107]) мала. Насправді з Рівняння ([e17.107]) випливає, що якщо значення падаючої енергії таке, що$k'\,a = \pi/2$ тоді ми також маємо$k\,a+\delta_0 = \pi/2$, або$\delta_0 \simeq \pi/2$ (тому що ми припускаємо, що$k\,a\ll 1$). Це означає, що

$$\sigma_{\rm total} = \frac{4\pi}{k^{\,2}} \,\sin^2\delta_0 = 4\pi \,a^{\,2} \left(\frac{1}{k^{\,2} \,a^{\,2}}\right).$$ Зверніть увагу, що перетин тепер залежить від енергії. Крім того, величина поперечного перерізу набагато більша, ніж дана в Рівнянні ([e17.111]) для$k'\,a\neq \pi/2$ (тому що$k\,a\ll 1$).

Походження цього досить дивного поведінки досить просте. Умова

$$\sqrt{\frac{2\,m\,|V_0 |\,a^{\,2}}{\hbar^{\,2}} } = \frac{\pi}{2}$$ еквівалентна умові, що сферична свердловина глибини$V_0$ має зв'язаний стан при нульовій енергії. Таким чином, для потенційної ями, яка задовольняє попередньому рівнянню, енергія системи розсіювання по суті така ж, як і енергія зв'язаного стану. У цій ситуації інцидентна частка хотіла б сформувати зв'язаний стан в потенційній ямі. Однак зв'язаний стан не є стабільним, тому що система має невелику позитивну енергію. Тим не менш, такий вид резонансного розсіювання найкраще розуміти як захоплення падаючої частинки з утворенням метастабільного зв'язаного стану, а також подальший розпад зв'язаного стану і вивільнення частинки. Поперечний переріз резонансного розсіяння, як правило, набагато більше, ніж для нерезонансного розсіяння.

Ми бачили, що виникає резонансний ефект, коли фазовий зсув$S$ -хвилі приймає значення$\pi/2$. Нічого особливого в$l=0$ часткової хвилі немає, тому розумно припустити, що існує подібний резонанс при фазовому зсуві$l$ ї часткової хвилі$\pi/2$. Припустимо, що$\delta_l$ досягає значення$\pi/2$ при$E_0$ падаючій енергії, так що

$$\delta_l(E_0) = \frac{\pi}{2}.$$ Розширимо$\cot \delta_l$ в околицях резонансну енергію: $$\begin{aligned} \cot \delta_l(E)& = \cot \delta_l(E_0) +\left( \frac{ d \cot\delta_l}{d E}\right)_{E=E_0}(E-E_0) + \cdots\nonumber\\[0.5ex] &= - \left(\frac{1}{\sin^2\delta_l}\frac{d\delta_l}{d E}\right)_{E=E_0} (E-E_0)+\cdots.\end{aligned}$$

Визначення\ почати {рівняння}\ ліворуч (\ frac {d\ delta_ {l} (E)} {d E}\ праворуч) _ {E=E_ {0}} =\ frac {2} {\ Gamma}\ end {рівняння}

отримаємо\ почати {рівняння}\ cot\ delta_ {l} (E) =-\ frac {2} {\ Гамма}\ ліворуч (E-E_ {0}\ праворуч) +\ cdots\ end {рівняння}

Нагадаємо, з Equation ([e17.75]), що внесок$l$ ї часткової хвилі в розсіює перетин є

$$\sigma_l = \frac{4\pi}{k^{\,2}} \,(2\,l+1)\,\sin^2\delta_l = \frac{4\pi}{k^{\,2}} \,(2\,l+1)\,\frac{1}{1+\cot^2\delta_l}.$$ таким чином, $$\sigma_l \simeq \frac{4\pi}{k^{\,2}} \,(2\,l+1)\, \frac{{\mit\Gamma}^{\,2}/4}{(E-E_0)^{\,2} + {\mit\Gamma}^{\,2}/4}.$$ це знаменита формула Брейта-Вінгера. Варіація часткового перерізу$\sigma_l$ з падаючою енергією має вигляд класичної резонансної кривої. ${\mit\Gamma}$Величина - ширина резонансу (в енергії). Формулу Брейта-Вігнера можна інтерпретувати як опис поглинання падаючої частинки з утворенням метастабільного стану$E_0$, енергії та часу життя$\tau = \hbar/ {\mit\Gamma}$.

Дописувачі та атрибуція

• Template:ContribFitzpatrick