14.1: Основи теорії розсіяння
- Page ID
- 76914
Розглянемо незалежне від часу, енергозберігаюче розсіювання, в якому гамільтоніан системи записується,\[H = H_0 + V({\bf r}),\] де\[H_0 = \frac{p^{\,2}}{2\,m} \equiv - \frac{\hbar^{\,2}}{2\,m}\,\nabla^{\,2}\] знаходиться гамільтоніан вільної частинки маси\(m\), і\(V({\bf r})\) потенціал розсіювання. Цей потенціал вважається ненульовим лише в досить локалізованій області, близькій до початку. \[\psi_0({\bf r}) = \sqrt{n}\,{\rm e}^{\,{\rm i}\,{\bf k}\cdot {\bf r}}\]Дозволяти являють собою падаючий пучок частинок\(n\), щільності чисел і швидкості\({\bf v} = \hbar\,{\bf k}/m\). [Див. Рівняння ([e14.14gg]).] Звичайно,\[H_0\,\psi_0= E\,\psi_0,\] де\(E = \hbar^{\,2}\,k^{\,2}/(2\,m)\) частка енергії. Рівняння Шредінгера для задачі розсіяння\[(H_0+V)\,\psi = E\,\psi,\] підпорядковується граничній умові\(\psi\rightarrow\psi_0\) як\(V\rightarrow 0\).
Попереднє рівняння можна переставити, щоб дати \[\label{e15.6} (\nabla^{\,2}+k^{\,2})\,\psi = \frac{2\,m}{\hbar^{\,2}}\,V\,\psi.\]Тепер,\[(\nabla^{\,2}+k^{\,2})\,u({\bf r}) = \rho({\bf r})\] відоме як рівняння Гельмгольца. Рішення цього рівняння добре відомо\[u({\bf r}) = u_0({\bf r}) - \int \frac{{\rm e}^{\,{\rm i}\,k\,|{\bf r}-{\bf r}'|}} {4\pi\,|{\bf r}-{\bf r}'|}\,\rho({\bf r}')\,d^{\,3}{\bf r}'.\] Тут\(u_0({\bf r})\) є будь-яке рішення\((\nabla^{\,2}+k^{\,2})\,u_0 = 0\). Отже, рівняння ([e15.6]) може бути перевернуто, за умови граничної умови\(\psi\rightarrow\psi_0\) як\(V\rightarrow 0\), щоб дати
\ почати {рівняння}\ psi (\ mathbf {r}) =\ psi_ {0} (\ mathbf {r}) -\ frac {2 м} {\ hbar^ {2}}\ int\ frac {\ mathbf {e} ^ {i k\ ліворуч |\ mathbf {r} -\ mathbf {r} правий}\ праворуч |}} {4\ пі\ ліворуч |\ mathbf {r} -\ mathbf {r} ^ {\ правий}\ праворуч |} V\ лівий (\ mathbf {r} ^ {\ правий}\ правий}\ psi\ лівий (\ mathbf {r} ^ {\ правий}\ правий) d^ {3}\ mathbf {r} ^ {\ прайм}\ кінець { рівняння}
Обчислимо значення хвильової функції\(\psi({\bf r})\) добре за межами області розсіювання. Тепер, якщо\(r\gg r'\) потім\[|{\bf r}-{\bf r}'| \simeq r - \hat{\bf r}\cdot {\bf r}'\] до першого порядку в\(r'/r\), де\(\hat{\bf r}/r\) є одиничний вектор, який вказує від області розсіювання до точки спостереження. Корисно визначити\({\bf k}'=k\,\hat{\bf r}\). Це хвильовий вектор для частинок з тією ж енергією, що і вхідні частинки (тобто\(k'=k\)), які поширюються від області розсіювання до точки спостереження. Рівняння ([e15.9]) зводиться до
\[\label{e5.12} f({\bf k},{\bf k}') = -\frac{m}{2\pi \sqrt{n}\,\hbar^{\,2}}\int {\rm e}^{-{\rm i}\,{\bf k}'\cdot{\bf r}'}\,V({\bf r}')\,\psi({\bf r}')\,d^{\,3}{\bf r}'.\]Перший член з правого боку Рівняння ([e15.11]) являє собою пучок падаючих частинок, тоді як другий член являє собою вихідну сферичну хвилю розсіяних частинок.
Перетин диференціального розсіювання визначається як кількість частинок за одиницю часу\(d\sigma/d{\mit\Omega}\), розсіяних на елемент твердого кута\(d{\mit\Omega}\), розділений на потік падаючих частинок. З розділу [s7.2] потік ймовірності (тобто потік частинок), пов'язаний з хвильовою функцією,\(\psi\) є\[{\bf j} = \frac{\hbar}{m}\,{\rm Im}(\psi^\ast\,\nabla\psi).\] Таким чином, потік частинок, пов'язаний з падаючою хвильовою функцією,\(\psi_0\) є
\[\label{e14.14gg} {\bf j} = n\,{\bf v},\]де\({\bf v}=\hbar\,{\bf k}/m\) - швидкість падаючих частинок. Так само потік частинок, пов'язаний з розсіяною хвильовою функцією\(\psi-\psi_0\)\[{\bf j}' = n\,\frac{|f({\bf k},{\bf k}')|^{\,2}}{r^{\,2}}\,{\bf v}',\],\({\bf v}' = \hbar\,{\bf k}'/m\) - це швидкість розсіяних частинок. Тепер,\[\frac{d\sigma}{d{\mit\Omega}}\,d{\mit\Omega} = \frac{r^{\,2}\,d{\mit\Omega}\,|{\bf j}'|}{|{\bf j}|},\] яка врожайність
\[\label{e15.17} \frac{d\sigma}{d{\mit\Omega}} = |f({\bf k},{\bf k}')|^{\,2}.\]Таким чином,\(|f({\bf k},{\bf k}')|^{\,2}\) дає диференціальний переріз для частинок з\({\bf v}=\hbar\,{\bf k}/m\) падаючою швидкістю, щоб бути розсіяними таким чином, щоб їх кінцеві швидкості були спрямовані в діапазон твердих кутів\(d{\mit\Omega}\) близько\({\bf v}'=\hbar\,{\bf k}'/m\). Зверніть увагу, що розсіювання зберігає енергію, так що\(|{\bf v}'|=|{\bf v}|\) і\(|{\bf k}'|=|{\bf k}|\).