14.1: Основи теорії розсіяння

Розглянемо незалежне від часу, енергозберігаюче розсіювання, в якому гамільтоніан системи записується,

$$H = H_0 + V({\bf r}),$$ де $$H_0 = \frac{p^{\,2}}{2\,m} \equiv - \frac{\hbar^{\,2}}{2\,m}\,\nabla^{\,2}$$ знаходиться гамільтоніан вільної частинки маси$m$, і$V({\bf r})$ потенціал розсіювання. Цей потенціал вважається ненульовим лише в досить локалізованій області, близькій до початку. $$\psi_0({\bf r}) = \sqrt{n}\,{\rm e}^{\,{\rm i}\,{\bf k}\cdot {\bf r}}$$ Дозволяти являють собою падаючий пучок частинок$n$, щільності чисел і швидкості${\bf v} = \hbar\,{\bf k}/m$. [Див. Рівняння ([e14.14gg]).] Звичайно, $$H_0\,\psi_0= E\,\psi_0,$$ де$E = \hbar^{\,2}\,k^{\,2}/(2\,m)$ частка енергії. Рівняння Шредінгера для задачі розсіяння $$(H_0+V)\,\psi = E\,\psi,$$ підпорядковується граничній умові$\psi\rightarrow\psi_0$ як$V\rightarrow 0$.

Попереднє рівняння можна переставити, щоб дати

$$\label{e15.6} (\nabla^{\,2}+k^{\,2})\,\psi = \frac{2\,m}{\hbar^{\,2}}\,V\,\psi.$$ Тепер, $$(\nabla^{\,2}+k^{\,2})\,u({\bf r}) = \rho({\bf r})$$ відоме як рівняння Гельмгольца. Рішення цього рівняння добре відомо $$u({\bf r}) = u_0({\bf r}) - \int \frac{{\rm e}^{\,{\rm i}\,k\,|{\bf r}-{\bf r}'|}} {4\pi\,|{\bf r}-{\bf r}'|}\,\rho({\bf r}')\,d^{\,3}{\bf r}'.$$ Тут$u_0({\bf r})$ є будь-яке рішення$(\nabla^{\,2}+k^{\,2})\,u_0 = 0$. Отже, рівняння ([e15.6]) може бути перевернуто, за умови граничної умови$\psi\rightarrow\psi_0$ як$V\rightarrow 0$, щоб дати

\ почати {рівняння}\ psi (\ mathbf {r}) =\ psi_ {0} (\ mathbf {r}) -\ frac {2 м} {\ hbar^ {2}}\ int\ frac {\ mathbf {e} ^ {i k\ ліворуч |\ mathbf {r} -\ mathbf {r} правий}\ праворуч |}} {4\ пі\ ліворуч |\ mathbf {r} -\ mathbf {r} ^ {\ правий}\ праворуч |} V\ лівий (\ mathbf {r} ^ {\ правий}\ правий}\ psi\ лівий (\ mathbf {r} ^ {\ правий}\ правий) d^ {3}\ mathbf {r} ^ {\ прайм}\ кінець { рівняння}

Обчислимо значення хвильової функції$\psi({\bf r})$ добре за межами області розсіювання. Тепер, якщо$r\gg r'$ потім

$$|{\bf r}-{\bf r}'| \simeq r - \hat{\bf r}\cdot {\bf r}'$$ до першого порядку в$r'/r$, де$\hat{\bf r}/r$ є одиничний вектор, який вказує від області розсіювання до точки спостереження. Корисно визначити${\bf k}'=k\,\hat{\bf r}$. Це хвильовий вектор для частинок з тією ж енергією, що і вхідні частинки (тобто$k'=k$), які поширюються від області розсіювання до точки спостереження. Рівняння ([e15.9]) зводиться до

$$\label{e15.11} \psi({\bf r}) \simeq \sqrt{n}\left[{\rm e}^{\,{\rm i}\,{\bf k}\cdot{\bf r}} + \frac{e^{\,{\rm i}\,k\,r}}{r}\,f({\bf k}, {\bf k}')\right],$$ де

$$\label{e5.12} f({\bf k},{\bf k}') = -\frac{m}{2\pi \sqrt{n}\,\hbar^{\,2}}\int {\rm e}^{-{\rm i}\,{\bf k}'\cdot{\bf r}'}\,V({\bf r}')\,\psi({\bf r}')\,d^{\,3}{\bf r}'.$$ Перший член з правого боку Рівняння ([e15.11]) являє собою пучок падаючих частинок, тоді як другий член являє собою вихідну сферичну хвилю розсіяних частинок.

Перетин диференціального розсіювання визначається як кількість частинок за одиницю часу$d\sigma/d{\mit\Omega}$, розсіяних на елемент твердого кута$d{\mit\Omega}$, розділений на потік падаючих частинок. З розділу [s7.2] потік ймовірності (тобто потік частинок), пов'язаний з хвильовою функцією,$\psi$ є

$${\bf j} = \frac{\hbar}{m}\,{\rm Im}(\psi^\ast\,\nabla\psi).$$ Таким чином, потік частинок, пов'язаний з падаючою хвильовою функцією,$\psi_0$ є

$$\label{e14.14gg} {\bf j} = n\,{\bf v},$$ де${\bf v}=\hbar\,{\bf k}/m$ - швидкість падаючих частинок. Так само потік частинок, пов'язаний з розсіяною хвильовою функцією$\psi-\psi_0$ $${\bf j}' = n\,\frac{|f({\bf k},{\bf k}')|^{\,2}}{r^{\,2}}\,{\bf v}',$$ ,${\bf v}' = \hbar\,{\bf k}'/m$ - це швидкість розсіяних частинок. Тепер, $$\frac{d\sigma}{d{\mit\Omega}}\,d{\mit\Omega} = \frac{r^{\,2}\,d{\mit\Omega}\,|{\bf j}'|}{|{\bf j}|},$$ яка врожайність

$$\label{e15.17} \frac{d\sigma}{d{\mit\Omega}} = |f({\bf k},{\bf k}')|^{\,2}.$$ Таким чином,$|f({\bf k},{\bf k}')|^{\,2}$ дає диференціальний переріз для частинок з${\bf v}=\hbar\,{\bf k}/m$ падаючою швидкістю, щоб бути розсіяними таким чином, щоб їх кінцеві швидкості були спрямовані в діапазон твердих кутів$d{\mit\Omega}$ близько${\bf v}'=\hbar\,{\bf k}'/m$. Зверніть увагу, що розсіювання зберігає енергію, так що$|{\bf v}'|=|{\bf v}|$ і$|{\bf k}'|=|{\bf k}|$.

Дописувачі та атрибуція

• Template:ContribFitzpatrick