14.2: Народжене наближення

Рівняння ([e15.17]) не особливо корисно, як воно стоїть, оскільки величина$f({\bf k},{\bf k}')$ залежить від, поки що, невідомої хвильової функції$\psi({\bf r})$. [Див. Рівняння ([e5.12]).] Припустимо, однак, що розсіювання не особливо сильне. У цьому випадку розумно припустити, що сумарна хвильова функція$\psi({\bf r})$, не відрізняється істотно від падаючої хвильової функції,$\psi_0({\bf r})$. Таким чином, ми можемо отримати вираз для,$f({\bf k},{\bf k}')$ зробивши підстановку$\psi({\bf r})\rightarrow\psi_0({\bf r}) = \sqrt{n}\,\exp(\,{\rm i}\, {\bf k}\cdot{\bf r})$ в Equation ([e5.12]). Ця процедура називається наближенням Борна.

Наближення Борна дає

$$f({\bf k},{\bf k}') \simeq \frac{m}{2\pi\,\hbar^{\,2}} \int {\rm e}^{\,{\rm i}\,({\bf k}-{\bf k'})\cdot{\bf r}'}\,V({\bf r'})\,d^{\,3}{\bf r}'.$$ Таким чином,$f({\bf k},{\bf k}')$ стає пропорційним перетворенню Фур'є потенціалу$V({\bf r})$ розсіювання по відношенню до хвильового вектора${\bf q} = {\bf k}-{\bf k}'$.

Для сферично симетричного потенціалу,

$$f({\bf k}', {\bf k}) \simeq - \frac{m}{2\pi\, \hbar^{\,2}} \int\!\int\!\int \exp(\,{\rm i} \, q \,r'\cos\theta') \, V(r')\,r'^{\,2}\, dr'\,\sin\theta' \,d\theta'\,d\phi',$$ даючи $$\label{e17.38} f({\bf k}', {\bf k}) \simeq - \frac{2\,m}{\hbar^{\,2}\,q} \int_0^\infty r' \,V(r') \sin(q \,r') \,dr'.$$ Примітка, що$f({\bf k}', {\bf k})$ є лише функцією$q$ для сферично симетричного потенціалу. Легко продемонструвати, що $$\label{e17.39} q \equiv |{\bf k} - {\bf k}'| = 2\, k \,\sin (\theta/2),$$ де$\theta$ знаходиться кут, підтягнутий між векторами${\bf k}$ і${\bf k}'$. Іншими словами,$\theta$ це кут розсіювання. Нагадаємо, що вектори${\bf k}$ і${\bf k}'$ мають однакову довжину, за рахунок енергозбереження.

Розглянемо розсіювання потенціалом Юкава,

$$\label{e10.35ee} V(r) = \frac{V_0\,\exp(-\mu \,r)}{\mu \,r},$$ де$V_0$ константа, і$1/\mu$ вимірює «діапазон» потенціалу. З рівняння ([e17.38]) випливає, що $$f(\theta) = - \frac{2\,m \,V_0}{\hbar^{\,2}\,\mu} \frac{1}{q^{\,2} + \mu^{\,2}},$$ $$\int_0^\infty \exp(-\mu \,r') \,\sin(q\,r') \, dr' = \frac{q}{q^{\,2}+ \mu^{\,2}}.$$ тому, що в наближенні Борна диференціальний переріз для розсіювання потенціалом Юкави $$\frac{d\sigma}{d {\mit\Omega}} \simeq \left(\frac{2\,m \,V_0}{ \hbar^{\,2}\,\mu}\right)^2 \frac{1}{[2\,k^{\,2}\, (1-\cos\theta) + \mu^{\,2}]^{\,2}},$$ дається, що $$q^{\,2} = 4\,k^{\,2}\, \sin^2(\theta/2) = 2\,k^{\,2}\, (1-\cos\theta).$$

Потенціал Юкава зводиться до знайомого Кулонівському потенціалу$\mu \rightarrow 0$, як, за умови, що$V_0/\mu \rightarrow Z\,Z'\, e^{\,2} / (4\pi\,\epsilon_0)$. У цій межі диференціальний переріз Борна стає

$$\frac{d\sigma}{d{\mit\Omega}} \simeq \left(\frac{2\,m \,Z\, Z'\, e^{\,2}}{4\pi\,\epsilon_0\,\hbar^{\,2}}\right)^2 \frac{1}{ 16 \,k^{\,4}\, \sin^4( \theta/2)}.$$ Renall, що$\hbar\, k$ еквівалентно$|{\bf p}|$, тому попереднє рівняння можна переписати, $$\label{e17.46} \frac{d\sigma}{d{\mit\Omega}} \simeq\left(\frac{Z \,Z'\, e^{\,2}}{16\pi\,\epsilon_0\,E}\right)^2 \frac{1}{\sin^4(\theta/2)},$$ де$E= p^{\,2}/2\,m$ кінетична енергія падаючих частинок. Звичайно, Equation ([e17.46]) ідентично відомій формулі поперечного перерізу розсіювання Резерфорда класичної фізики.

Наближення Борна є дійсним за умови, що$\psi({\bf r})$ не надто відрізняється від$\psi_0({\bf r})$ області розсіювання. З Рівняння ([e15.9]) випливає, що умовою для$\psi({\bf r}) \simeq \psi_0({\bf r})$ в околицях${\bf r} = {\bf 0}$ є

$$\label{e17.47} \left| \frac{m}{2\pi\, \hbar^{\,2}} \int \frac{ \exp(\,{\rm i}\, k \,r')}{r'} \,V({\bf r}')\,d^{\,3}{\bf r'} \right| \ll 1.$$ Розглянемо особливий випадок потенціалу Юкава. При низьких енергіях, (тобто$k\ll \mu$) ми можемо замінити$\exp(\,{\rm i}\,k\, r')$ єдністю, даючи $$\frac{2\,m}{\hbar^{\,2}} \frac{|V_0|}{\mu^{\,2}} \ll 1$$ як умову дійсності Народженого наближення. Умова потенціалу Юкава розвивати зв'язаний стан - це те $$\frac{2\,m}{\hbar^{\,2}} \frac{|V_0|} {\mu^{\,2}} \geq 2.7,$$ , де$V_0$ негативне. Таким чином, якщо потенціал досить сильний, щоб сформувати зв'язаний стан, то наближення Борна, швидше за все, зламається. У високій$k$ границі рівняння ([e17.47]) дає $$\frac{2\,m}{\hbar^{\,2}} \frac{|V_0|}{\mu \,k} \ll 1.$$ Ця нерівність стає поступово легше задовольнити зі$k$ збільшенням, маючи на увазі, що наближення Борна є більш точним при високих енергіях падаючих частинок.

Автори та атрибуція

• Template:ContribFitzpatrick