14.2: Народжене наближення
- Page ID
- 76906
Рівняння ([e15.17]) не особливо корисно, як воно стоїть, оскільки величина\(f({\bf k},{\bf k}')\) залежить від, поки що, невідомої хвильової функції\(\psi({\bf r})\). [Див. Рівняння ([e5.12]).] Припустимо, однак, що розсіювання не особливо сильне. У цьому випадку розумно припустити, що сумарна хвильова функція\(\psi({\bf r})\), не відрізняється істотно від падаючої хвильової функції,\(\psi_0({\bf r})\). Таким чином, ми можемо отримати вираз для,\(f({\bf k},{\bf k}')\) зробивши підстановку\(\psi({\bf r})\rightarrow\psi_0({\bf r}) = \sqrt{n}\,\exp(\,{\rm i}\, {\bf k}\cdot{\bf r})\) в Equation ([e5.12]). Ця процедура називається наближенням Борна.
Наближення Борна дає\[f({\bf k},{\bf k}') \simeq \frac{m}{2\pi\,\hbar^{\,2}} \int {\rm e}^{\,{\rm i}\,({\bf k}-{\bf k'})\cdot{\bf r}'}\,V({\bf r'})\,d^{\,3}{\bf r}'.\] Таким чином,\(f({\bf k},{\bf k}')\) стає пропорційним перетворенню Фур'є потенціалу\(V({\bf r})\) розсіювання по відношенню до хвильового вектора\({\bf q} = {\bf k}-{\bf k}'\).
Для сферично симетричного потенціалу,\[f({\bf k}', {\bf k}) \simeq - \frac{m}{2\pi\, \hbar^{\,2}} \int\!\int\!\int \exp(\,{\rm i} \, q \,r'\cos\theta') \, V(r')\,r'^{\,2}\, dr'\,\sin\theta' \,d\theta'\,d\phi',\] даючи \[\label{e17.38} f({\bf k}', {\bf k}) \simeq - \frac{2\,m}{\hbar^{\,2}\,q} \int_0^\infty r' \,V(r') \sin(q \,r') \,dr'.\]Примітка, що\(f({\bf k}', {\bf k})\) є лише функцією\(q\) для сферично симетричного потенціалу. Легко продемонструвати, що \[\label{e17.39} q \equiv |{\bf k} - {\bf k}'| = 2\, k \,\sin (\theta/2),\]де\(\theta\) знаходиться кут, підтягнутий між векторами\({\bf k}\) і\({\bf k}'\). Іншими словами,\(\theta\) це кут розсіювання. Нагадаємо, що вектори\({\bf k}\) і\({\bf k}'\) мають однакову довжину, за рахунок енергозбереження.
Розглянемо розсіювання потенціалом Юкава,
\[\label{e10.35ee} V(r) = \frac{V_0\,\exp(-\mu \,r)}{\mu \,r},\]де\(V_0\) константа, і\(1/\mu\) вимірює «діапазон» потенціалу. З рівняння ([e17.38]) випливає, що\[f(\theta) = - \frac{2\,m \,V_0}{\hbar^{\,2}\,\mu} \frac{1}{q^{\,2} + \mu^{\,2}},\]\[\int_0^\infty \exp(-\mu \,r') \,\sin(q\,r') \, dr' = \frac{q}{q^{\,2}+ \mu^{\,2}}.\] тому, що в наближенні Борна диференціальний переріз для розсіювання потенціалом Юкави\[\frac{d\sigma}{d {\mit\Omega}} \simeq \left(\frac{2\,m \,V_0}{ \hbar^{\,2}\,\mu}\right)^2 \frac{1}{[2\,k^{\,2}\, (1-\cos\theta) + \mu^{\,2}]^{\,2}},\] дається, що\[q^{\,2} = 4\,k^{\,2}\, \sin^2(\theta/2) = 2\,k^{\,2}\, (1-\cos\theta).\]
Потенціал Юкава зводиться до знайомого Кулонівському потенціалу\(\mu \rightarrow 0\), як, за умови, що\(V_0/\mu \rightarrow Z\,Z'\, e^{\,2} / (4\pi\,\epsilon_0)\). У цій межі диференціальний переріз Борна стає\[\frac{d\sigma}{d{\mit\Omega}} \simeq \left(\frac{2\,m \,Z\, Z'\, e^{\,2}}{4\pi\,\epsilon_0\,\hbar^{\,2}}\right)^2 \frac{1}{ 16 \,k^{\,4}\, \sin^4( \theta/2)}.\] Renall, що\(\hbar\, k\) еквівалентно\(|{\bf p}|\), тому попереднє рівняння можна переписати, \[\label{e17.46} \frac{d\sigma}{d{\mit\Omega}} \simeq\left(\frac{Z \,Z'\, e^{\,2}}{16\pi\,\epsilon_0\,E}\right)^2 \frac{1}{\sin^4(\theta/2)},\]де\(E= p^{\,2}/2\,m\) кінетична енергія падаючих частинок. Звичайно, Equation ([e17.46]) ідентично відомій формулі поперечного перерізу розсіювання Резерфорда класичної фізики.
Наближення Борна є дійсним за умови, що\(\psi({\bf r})\) не надто відрізняється від\(\psi_0({\bf r})\) області розсіювання. З Рівняння ([e15.9]) випливає, що умовою для\(\psi({\bf r}) \simeq \psi_0({\bf r})\) в околицях\({\bf r} = {\bf 0}\) є \[\label{e17.47} \left| \frac{m}{2\pi\, \hbar^{\,2}} \int \frac{ \exp(\,{\rm i}\, k \,r')}{r'} \,V({\bf r}')\,d^{\,3}{\bf r'} \right| \ll 1.\]Розглянемо особливий випадок потенціалу Юкава. При низьких енергіях, (тобто\(k\ll \mu\)) ми можемо замінити\(\exp(\,{\rm i}\,k\, r')\) єдністю, даючи\[\frac{2\,m}{\hbar^{\,2}} \frac{|V_0|}{\mu^{\,2}} \ll 1\] як умову дійсності Народженого наближення. Умова потенціалу Юкава розвивати зв'язаний стан - це те\[\frac{2\,m}{\hbar^{\,2}} \frac{|V_0|} {\mu^{\,2}} \geq 2.7,\], де\(V_0\) негативне. Таким чином, якщо потенціал досить сильний, щоб сформувати зв'язаний стан, то наближення Борна, швидше за все, зламається. У високій\(k\) границі рівняння ([e17.47]) дає\[\frac{2\,m}{\hbar^{\,2}} \frac{|V_0|}{\mu \,k} \ll 1.\] Ця нерівність стає поступово легше задовольнити зі\(k\) збільшенням, маючи на увазі, що наближення Борна є більш точним при високих енергіях падаючих частинок.