14.5: Визначення фазових зрушень
- Page ID
- 76930
Розглянемо тепер, як можна оцінити фазові зрушення\(\delta_l\), в Рівнянні ([e17.73]). Розглянемо сферично симетричний потенціал\(V(r)\), який\(a\) зникає для\(r>a\), де називається діапазон потенціалу. В області\(r>a\) хвильова функція\(\psi({\bf r})\) задовольняє рівнянню Шредінгера вільного простору ([e17.54]). Найзагальнішим рішенням, яке узгоджується з відсутністю вхідних сферичних хвиль, є\[\psi({\bf r}) = \sqrt{n}\, \sum_{l=0,\infty} {\rm i}^{\,l}\, (2\,l+1) \, {\cal R}_l(r)\, P_l(\cos\theta),\] де\[\label{e17.80} {\cal R}_l(r) = \exp(\,{\rm i} \,\delta_l)\, \left[\cos\delta_l \,j_l(k\,r) -\sin\delta_l\, y_l(k\,r)\right].\] Зверніть увагу, що\(y_l(k\,r)\) функції дозволено з'являтися в попередньому виразі, оскільки його область дійсності не включає походження (де\(V\neq 0\)). Логарифмічна похідна\(l\) ї радіальної хвильової функції\({\cal R}_l(r)\), що знаходиться за межами діапазону потенціалу, задається\[\beta_{l+} = k\,a \left[\frac{ \cos\delta_l\,j_l'(k\,a) - \sin\delta_l\, y_l'(k\,a)}{\cos\delta_l \, j_l(k\,a) - \sin\delta_l\,y_l(k\,a)}\right],\] де\(j_l'(x)\) позначає\(dj_l(x)/dx\), і так далі. Попереднє рівняння можна інвертувати, щоб дати\[\label{e17.82} \tan \delta_l = \frac{ k\,a\,j_l'(k\,a) - \beta_{l+}\, j_l(k\,a)} {k\,a\,y_l'(k\,a) - \beta_{l+}\, y_l(k\,a)}.\] Таким чином, задача визначення фазового зсуву\(\delta_l\), еквівалентна отриманню\(\beta_{l+}\).
Найбільш загальним рішенням рівняння Шредінгера всередині діапазону потенціалу (\(r<a\)), який не залежить від азимутального кута,\(\phi\) є\[\psi({\bf r}) = \sqrt{n}\,\sum_{l=0,\infty} {\rm i}^{\,l} \,(2\,l+1)\,{\cal R}_l(r)\,P_l(\cos\theta),\] де\[{\cal R}_l (r) = \frac{u_l(r)}{r},\] і\[\label{e17.85} \frac{d^{\,2} u_l}{d r^{\,2}} +\left[k^{\,2} -\frac{l\,(l+1)}{r^{\,2}} -\frac{2\,m}{\hbar^{\,2}} \,V\right] u_l = 0.\] Гранична умова\[\label{e17.86} u_l(0) = 0\] гарантує, що радіальна хвильова функція добре поводиться на початку. Ми можемо запустити добре поведене рішення попереднього рівняння з\(r=0\), інтегрувати до\(r=a\) та сформувати логарифмічну похідну\[\beta_{l-} = \left.\frac{1}{(u_l/r)} \frac{d(u_l/r)}{dr}\right|_{r=a}.\] Оскільки\(\psi({\bf r})\) та його перші похідні обов'язково є безперервними для фізично прийнятних хвильових функцій, випливає, що\[\beta_{l+} = \beta_{l-}.\] фаза- shift\(\delta_l\), потім можна отримати з Рівняння ([e17.82]).