14.5: Визначення фазових зрушень
- Last updated
-
Oct 27, 2022
-
Save as PDF
-
Розглянемо тепер, як можна оцінити фазові зрушенняδl, в Рівнянні ([e17.73]). Розглянемо сферично симетричний потенціалV(r), якийa зникає дляr>a, де називається діапазон потенціалу. В областіr>a хвильова функціяψ(r) задовольняє рівнянню Шредінгера вільного простору ([e17.54]). Найзагальнішим рішенням, яке узгоджується з відсутністю вхідних сферичних хвиль, єψ(r)=√n∑l=0,∞il(2l+1)Rl(r)Pl(cosθ),
деRl(r)=exp(iδl)[cosδljl(kr)−sinδlyl(kr)].
Зверніть увагу, щоyl(kr) функції дозволено з'являтися в попередньому виразі, оскільки його область дійсності не включає походження (деV≠0). Логарифмічна похіднаl ї радіальної хвильової функціїRl(r), що знаходиться за межами діапазону потенціалу, задаєтьсяβl+=ka[cosδlj′l(ka)−sinδly′l(ka)cosδljl(ka)−sinδlyl(ka)],
деj′l(x) позначаєdjl(x)/dx, і так далі. Попереднє рівняння можна інвертувати, щоб датиtanδl=kaj′l(ka)−βl+jl(ka)kay′l(ka)−βl+yl(ka).
Таким чином, задача визначення фазового зсувуδl, еквівалентна отриманнюβl+.
Найбільш загальним рішенням рівняння Шредінгера всередині діапазону потенціалу (r<a), який не залежить від азимутального кута,ϕ єψ(r)=√n∑l=0,∞il(2l+1)Rl(r)Pl(cosθ),
деRl(r)=ul(r)r,
іd2uldr2+[k2−l(l+1)r2−2mℏ2V]ul=0.
Гранична умоваul(0)=0
гарантує, що радіальна хвильова функція добре поводиться на початку. Ми можемо запустити добре поведене рішення попереднього рівняння зr=0, інтегрувати доr=a та сформувати логарифмічну похіднуβl−=1(ul/r)d(ul/r)dr|r=a.
Оскількиψ(r) та його перші похідні обов'язково є безперервними для фізично прийнятних хвильових функцій, випливає, щоβl+=βl−.
фаза- shiftδl, потім можна отримати з Рівняння ([e17.82]).