5.4: Ідентичні частинки

Розглянемо систему, що складається з двох однакових частинок маси$m$. Як і раніше, миттєвий стан системи задається комплексною хвильовою функцією$\psi(x_1,x_2,t)$. Ця хвильова функція говорить нам про те, що ймовірність знаходження першої частинки між$x_1$ і$x_1+dx_1$, а друга між$x_2$ і$x_2+dx_2$, в той час$t$ є$|\psi(x_1,x_2,t)|^{\,2}\,dx_1\,dx_2$. Однак, оскільки частинки ідентичні, це повинно бути таким же, як ймовірність знаходження першої частинки між$x_2$ і$x_2+dx_2$, а другої між$x_1$ і$x_1+dx_1$, за часом$t$ (тому що в обох випадках результат вимірювання точно такий же). Отже, ми робимо висновок, що

$$|\psi(x_1,x_2,t)|^{\,2} = |\psi(x_2,x_1,t)|^{\,2},$$ або $$\psi(x_1,x_2,t) = {\rm e}^{\,{\rm i}\,\varphi}\,\psi(x_2,x_1,t),$$

де$\varphi$ реальна константа. Однак, якщо поміняти місцями мітки на частинки 1 і 2 (які, врешті-решт, довільні для однакових частинок), і повторимо аргумент, ми також зробимо висновок, що

$$\psi(x_2,x_1,t) = {\rm e}^{\,{\rm i}\,\varphi}\,\psi(x_1,x_2,t).$$

Отже,

$${\rm e}^{\,2\,{\rm i}\,\varphi} = 1.$$

Єдиними розв'язками попереднього рівняння є$\varphi=0$ і$\varphi=\pi$. Таким чином, ми робимо висновок, що для системи, що складається з двох однакових частинок, хвильова функція повинна бути або симетричною, або антисиметричною при обміні мітками частинок. Тобто будь-який

$$\psi(x_2,x_1,t) = \psi(x_1,x_2,t),$$ або $$\psi(x_2,x_1,t) = -\psi(x_1,x_2,t).$$ попередній аргумент можна легко розширити на системи, що містять більше двох однакових частинок.

Виходить, що питання про те, чи є хвильова функція системи, що містить багато однакових частинок симетричною або антисиметричною при обміні міток на будь-яких двох частинках, визначається характером самих частинок. Частинки з хвильовими функціями, які симетричні під міткою обміну, як кажуть, підкоряються статистиці Бозе-Ейнштейна і називаються бозонами. Наприклад, фотони - це бозони. Частинки з хвильовими функціями, які є антисиметричними під міткою обміну, як кажуть, підкоряються статистиці Фермі-Дірака і називаються ферміонами. Наприклад, електрони, протони та нейтрони є ферміонами.

Розглянемо систему, що містить два однакових і не взаємодіючих бозону. $\psi(x,E)$Дозволяти правильно нормована, одночастинкова, стаціонарна хвильова функція, що відповідає стану певної енергії$E$. Записується стаціонарна хвильова функція всієї системи

$$\psi_{E\,{\rm boson}}(x_1,x_2) = \frac{1}{\sqrt{2}}\left[\psi(x_1,E_a)\,\psi(x_2,E_b)+\psi(x_2,E_a)\,\psi(x_1,E_b)\right],$$

коли енергії двох частинок є$E_a$ і$E_b$. Цей вираз автоматично задовольняє вимогу симетрії до хвильової функції. До речі, оскільки частинки ідентичні, ми не можемо бути впевнені, яка частинка має енергію$E_a$, а яка має енергію$E_b$ - лише в тому, що одна частинка має енергію$E_a$, а інша$E_b$.

Для системи, що складається з двох однакових і невзаємодіючих ферміонів, стаціонарна хвильова функція всієї системи набуває вигляду

$$\psi_{E\,{\rm fermion}}(x_1,x_2) = \frac{1}{\sqrt{2}}\left[\psi(x_1,E_a)\,\psi(x_2,E_b)-\psi(x_2,E_a)\,\psi(x_1,E_b)\right],$$

Знову ж таки, цей вираз автоматично задовольняє вимогу симетрії на хвильовій функції. Зверніть увагу, що якщо$E_a=E_b$ тоді загальна хвильова функція стає нульовою скрізь. Тепер в квантовій механіці нульова хвильова функція відповідає відсутності стану. Таким чином, ми робимо висновок, що два ферміони в нашій системі не можуть займати однаковий одночастинковий стаціонарний стан.

Нарешті, якщо дві частинки якось помітні, то стаціонарна хвильова функція системи просто

$$\psi_{E\,{\rm dist}}(x_1,x_2) = \psi(x_1,E_a)\,\psi(x_2,E_b).$$

Оцінимо дисперсію відстані між двома частинками, використовуючи попередні три хвильові функції.$x_1-x_2$ Легко продемонструвати, що якщо частинки помітні, то

$$\langle (x_1-x_2)^{\,2}\rangle_{ {\rm dist}} = \langle x^{\,2}\rangle_a + \langle x^{\,2}\rangle_b - 2\,\langle x\rangle_a\,\langle x\rangle_b,$$ де $$\langle x^{\,n}\rangle_{a,b} = \int_{-\infty}^\infty\psi^\ast(x,E_{a,b})\,x^{\,n}\,\psi(x,E_{a,b})\,dx.$$

Для випадку двох однакових бозонів знаходимо

$$\label{ebos} \langle (x_1-x_2)^{\,2}\rangle_{ {\rm boson}} = \langle (x_1-x_2)^{\,2}\rangle_{ {\rm dist}} - 2\,|\langle x\rangle_{ab}|^{\,2},$$

де

$$\langle x \rangle_{ab} = \int_{-\infty}^\infty \psi^\ast(x,E_a)\,x\,\psi(x,E_b)\,dx.$$

Тут ми припустили$E_a\neq E_b$, що, так що

$$\int_{-\infty}^\infty \psi^\ast(x,E_a)\,\psi(x,E_b)\,dx = 0.$$

Нарешті, для випадку двох однакових ферміонів отримуємо

$$\label{efer} \langle (x_1-x_2)^{\,2}\rangle_{ {\rm fermion}} = \langle (x_1-x_2)^{\,2}\rangle_{ {\rm dist}} + 2\,|\langle x\rangle_{ab}|^{\,2},$$

Рівняння\ ref {ebos} вказує на те, що вимога симетрії щодо загальної хвильової функції двох однакових бозонів призводить до того, що частинки в середньому знаходяться ближче один до одного, ніж дві подібні помітні частинки. І навпаки, Equation\ ref {efer} вказує на те, що вимога симетрії щодо загальної хвильової функції двох однакових ферміонів призводить до того, що частинки в середньому знаходяться далі, ніж дві подібні помітні частинки. Однак сила цього ефекту залежить від квадрата величини$\langle x\rangle_{ab}$, який вимірює перекриття між хвилевими функціями$\psi(x,E_a)$ і$\psi(x,E_b)$. Очевидно, що якщо ці дві хвильові функції не перекриваються в значній мірі, то однакові бозони або ферміони будуть діяти дуже схоже на помітні частинки.

Для системи, що містить$N$ ідентичні та невзаємодіючі ферміони, записана антисиметрична стаціонарна хвильова функція системи

$$\psi_{E}(x_1,x_2,\ldots x_N) =\frac{1}{\sqrt{N!}} \left| \begin{array}{cccc} \psi(x_1,E_1)&\psi(x_2,E_1)&\ldots&\psi(x_N,E_1)\\[0.5ex] \psi(x_1,E_2)&\psi(x_2,E_2)&\ldots&\psi(x_N,E_2)\\[0.5ex] \vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\[0.5ex] \psi(x_1,E_N)&\psi(x_2,E_N)&\ldots&\psi(x_N,E_N) \end{array}\right|.$$

Цей вираз відомий як детермінант Слейтера і автоматично задовольняє вимоги симетрії до хвильової функції. Тут енергії частинок знаходяться$E_1, E_2, \ldots, E_N$. Зверніть увагу, знову ж таки, що якщо будь-які дві частинки в системі мають однакову енергію (тобто, якщо$E_i=E_j$ для деяких$i\neq j$), то загальна хвильова функція дорівнює нулю. Зроблено висновок, що жодні два однакових ферміони в багаточастинковій системі не можуть займати однаковий одночастинковий стаціонарний стан. Цей важливий результат відомий як принцип виключення Паулі.

Автори та атрибуція

• Template:ContribFitzpatrick