5.4: Ідентичні частинки
- Page ID
- 76942
Розглянемо систему, що складається з двох однакових частинок маси\(m\). Як і раніше, миттєвий стан системи задається комплексною хвильовою функцією\(\psi(x_1,x_2,t)\). Ця хвильова функція говорить нам про те, що ймовірність знаходження першої частинки між\(x_1\) і\(x_1+dx_1\), а друга між\(x_2\) і\(x_2+dx_2\), в той час\(t\) є\(|\psi(x_1,x_2,t)|^{\,2}\,dx_1\,dx_2\). Однак, оскільки частинки ідентичні, це повинно бути таким же, як ймовірність знаходження першої частинки між\(x_2\) і\(x_2+dx_2\), а другої між\(x_1\) і\(x_1+dx_1\), за часом\(t\) (тому що в обох випадках результат вимірювання точно такий же). Отже, ми робимо висновок, що
\[|\psi(x_1,x_2,t)|^{\,2} = |\psi(x_2,x_1,t)|^{\,2},\]або\[\psi(x_1,x_2,t) = {\rm e}^{\,{\rm i}\,\varphi}\,\psi(x_2,x_1,t),\]
де\(\varphi\) реальна константа. Однак, якщо поміняти місцями мітки на частинки 1 і 2 (які, врешті-решт, довільні для однакових частинок), і повторимо аргумент, ми також зробимо висновок, що
\[\psi(x_2,x_1,t) = {\rm e}^{\,{\rm i}\,\varphi}\,\psi(x_1,x_2,t).\]
Отже,
\[{\rm e}^{\,2\,{\rm i}\,\varphi} = 1.\]
Єдиними розв'язками попереднього рівняння є\(\varphi=0\) і\(\varphi=\pi\). Таким чином, ми робимо висновок, що для системи, що складається з двох однакових частинок, хвильова функція повинна бути або симетричною, або антисиметричною при обміні мітками частинок. Тобто будь-який\[\psi(x_2,x_1,t) = \psi(x_1,x_2,t),\] або\[\psi(x_2,x_1,t) = -\psi(x_1,x_2,t).\] попередній аргумент можна легко розширити на системи, що містять більше двох однакових частинок.
Виходить, що питання про те, чи є хвильова функція системи, що містить багато однакових частинок симетричною або антисиметричною при обміні міток на будь-яких двох частинках, визначається характером самих частинок. Частинки з хвильовими функціями, які симетричні під міткою обміну, як кажуть, підкоряються статистиці Бозе-Ейнштейна і називаються бозонами. Наприклад, фотони - це бозони. Частинки з хвильовими функціями, які є антисиметричними під міткою обміну, як кажуть, підкоряються статистиці Фермі-Дірака і називаються ферміонами. Наприклад, електрони, протони та нейтрони є ферміонами.
Розглянемо систему, що містить два однакових і не взаємодіючих бозону. \(\psi(x,E)\)Дозволяти правильно нормована, одночастинкова, стаціонарна хвильова функція, що відповідає стану певної енергії\(E\). Записується стаціонарна хвильова функція всієї системи
\[\psi_{E\,{\rm boson}}(x_1,x_2) = \frac{1}{\sqrt{2}}\left[\psi(x_1,E_a)\,\psi(x_2,E_b)+\psi(x_2,E_a)\,\psi(x_1,E_b)\right],\]
коли енергії двох частинок є\(E_a\) і\(E_b\). Цей вираз автоматично задовольняє вимогу симетрії до хвильової функції. До речі, оскільки частинки ідентичні, ми не можемо бути впевнені, яка частинка має енергію\(E_a\), а яка має енергію\(E_b\) - лише в тому, що одна частинка має енергію\(E_a\), а інша\(E_b\).
Для системи, що складається з двох однакових і невзаємодіючих ферміонів, стаціонарна хвильова функція всієї системи набуває вигляду
\[\psi_{E\,{\rm fermion}}(x_1,x_2) = \frac{1}{\sqrt{2}}\left[\psi(x_1,E_a)\,\psi(x_2,E_b)-\psi(x_2,E_a)\,\psi(x_1,E_b)\right],\]
Знову ж таки, цей вираз автоматично задовольняє вимогу симетрії на хвильовій функції. Зверніть увагу, що якщо\(E_a=E_b\) тоді загальна хвильова функція стає нульовою скрізь. Тепер в квантовій механіці нульова хвильова функція відповідає відсутності стану. Таким чином, ми робимо висновок, що два ферміони в нашій системі не можуть займати однаковий одночастинковий стаціонарний стан.
Нарешті, якщо дві частинки якось помітні, то стаціонарна хвильова функція системи просто
\[\psi_{E\,{\rm dist}}(x_1,x_2) = \psi(x_1,E_a)\,\psi(x_2,E_b).\]
Оцінимо дисперсію відстані між двома частинками, використовуючи попередні три хвильові функції.\(x_1-x_2\) Легко продемонструвати, що якщо частинки помітні, то
\[\langle (x_1-x_2)^{\,2}\rangle_{ {\rm dist}} = \langle x^{\,2}\rangle_a + \langle x^{\,2}\rangle_b - 2\,\langle x\rangle_a\,\langle x\rangle_b,\]де\[\langle x^{\,n}\rangle_{a,b} = \int_{-\infty}^\infty\psi^\ast(x,E_{a,b})\,x^{\,n}\,\psi(x,E_{a,b})\,dx.\]
Для випадку двох однакових бозонів знаходимо
де
\[\langle x \rangle_{ab} = \int_{-\infty}^\infty \psi^\ast(x,E_a)\,x\,\psi(x,E_b)\,dx.\]
Тут ми припустили\(E_a\neq E_b\), що, так що
\[\int_{-\infty}^\infty \psi^\ast(x,E_a)\,\psi(x,E_b)\,dx = 0.\]
Нарешті, для випадку двох однакових ферміонів отримуємо
Рівняння\ ref {ebos} вказує на те, що вимога симетрії щодо загальної хвильової функції двох однакових бозонів призводить до того, що частинки в середньому знаходяться ближче один до одного, ніж дві подібні помітні частинки. І навпаки, Equation\ ref {efer} вказує на те, що вимога симетрії щодо загальної хвильової функції двох однакових ферміонів призводить до того, що частинки в середньому знаходяться далі, ніж дві подібні помітні частинки. Однак сила цього ефекту залежить від квадрата величини\(\langle x\rangle_{ab}\), який вимірює перекриття між хвилевими функціями\(\psi(x,E_a)\) і\(\psi(x,E_b)\). Очевидно, що якщо ці дві хвильові функції не перекриваються в значній мірі, то однакові бозони або ферміони будуть діяти дуже схоже на помітні частинки.
Для системи, що містить\(N\) ідентичні та невзаємодіючі ферміони, записана антисиметрична стаціонарна хвильова функція системи
\[\psi_{E}(x_1,x_2,\ldots x_N) =\frac{1}{\sqrt{N!}} \left| \begin{array}{cccc} \psi(x_1,E_1)&\psi(x_2,E_1)&\ldots&\psi(x_N,E_1)\\[0.5ex] \psi(x_1,E_2)&\psi(x_2,E_2)&\ldots&\psi(x_N,E_2)\\[0.5ex] \vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\[0.5ex] \psi(x_1,E_N)&\psi(x_2,E_N)&\ldots&\psi(x_N,E_N) \end{array}\right|.\]
Цей вираз відомий як детермінант Слейтера і автоматично задовольняє вимоги симетрії до хвильової функції. Тут енергії частинок знаходяться\(E_1, E_2, \ldots, E_N\). Зверніть увагу, знову ж таки, що якщо будь-які дві частинки в системі мають однакову енергію (тобто, якщо\(E_i=E_j\) для деяких\(i\neq j\)), то загальна хвильова функція дорівнює нулю. Зроблено висновок, що жодні два однакових ферміони в багаточастинковій системі не можуть займати однаковий одночастинковий стаціонарний стан. Цей важливий результат відомий як принцип виключення Паулі.