5.3: Двочастинкові системи
- Page ID
- 76934
Розглянемо систему, що складається з двох частинок, маси\(m_1\) і\(m_2\), взаємодіючи за допомогою потенціалу\(V(x_1-x_2)\), який залежить тільки від взаємного розташування частинок. Відповідно до Рівняння ([ex3]) і ([ex10]), гамільтоніан системи записується\[H(x_1,x_2) = -\frac{\hbar^{\,2}}{2\,m_1}\frac{\partial^{\,2}}{\partial x_1^{\,2}} - \frac{\hbar^{\,2}}{2\,m_2}\frac{\partial^{\,2}}{\partial x_2^{\,2}}+ V(x_1-x_2).\]\[x' = x_1-x_2\] Дозволяти координата відносного положення частинок та\[X = \frac{m_1\,x_1+m_2\,x_2}{m_1+m_2}\] координата центру мас. Це легко продемонструвати, що\[\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial x_1}& = \frac{m_1}{m_1+m_2}\frac{\partial}{\partial X} + \frac{\partial}{\partial x'},\\[0.5ex] \frac{\partial}{\partial x_2} &= \frac{m_2}{m_1+m_2}\frac{\partial}{\partial X} - \frac{\partial}{\partial x'}. \end{aligned}\] Отже, коли виражається в терміні нових змінних\(X\),\(x'\) і, гамільтоніан\[M = m_1+ m_2\] стає \[\label{ex6.24} H(x',X) = -\frac{\hbar^{\,2}}{2\,M} \frac{\partial^{\,2}}{\partial X^{\,2}} -\frac{\hbar^{\,2}}{2\,\mu}\frac{\partial^{\,2}}{\partial x'^{\,2}} + V(x'),\]де загальна маса системи, і так\[\mu = \frac{m_1\,m_2}{m_1+m_2}\] звана знижена маса. Зверніть увагу, що сумарний імпульс системи можна записати \[\label{exa} P= -{\rm i}\,\hbar\left(\frac{\partial}{\partial x_1} + \frac{\partial}{\partial x_2}\right) = -{\rm i}\,\hbar\,\frac{\partial}{\partial X}.\]
Той факт, що гамільтоніан ([ex6.24]) роздільний при вираженні в терміні нових координат [тобто,\(H(x',X) = H_{x'}(x') + H_X(X)]\) говорить за аналогією з аналізом в попередньому розділі, що хвильова функція може бути факторизована: тобто, \[\label{exb} \psi(x_1,x_2,t) = \psi_{x'}(x',t)\,\psi_X(X,t).\]Отже, час- залежне рівняння Шредінгера ([ex7]) також дає множники,\[{\rm i}\,\hbar\,\frac{\partial\psi_{x'}}{\partial t} = -\frac{\hbar^{\,2}}{2\,\mu} \frac{\partial^{\,2}\psi_{x'}}{\partial x'^{\,2}} + V(x')\,\psi_{x'},\] і\[{\rm i}\,\hbar\,\frac{\partial\psi_X}{\partial t} = -\frac{\hbar^{\,2}}{2\,M}\frac{\partial^{\,2}\psi_X}{\partial X^{\,2}}.\] Попереднє рівняння може бути вирішено, щоб дати \[\label{ex33} \psi_X(X,t) = \psi_{0}\,{\rm e}^{\,{\rm i}\,(P'\,X/\hbar - E'\,t/\hbar)},\]де\(\psi_0\)\(P'\), і\(E' = P'^{\,2}/2\,M\) є константами. Зрозуміло, з Рівняння ([exa]), ([exb]) і ([ex33]), що сумарний імпульс системи приймає постійне значення\(P'\). Іншими словами, імпульс зберігається.
Припустимо, що ми працюємо в центрі маси кадру системи, який характеризується\(P'=0\). Звідси випливає, що\(\psi_X=\psi_0\). При цьому ми можемо записати хвильову функцію системи у вигляді\(\psi(x_1,x_2,t) = \psi_{x'}(x',t)\,\psi_0\equiv \psi(x_1-x_2,t)\), де Іншими словами,\[{\rm i}\,\hbar\,\frac{\partial\psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^{\,2}}{2\,\mu} \frac{\partial^{\,2}\psi}{\partial x^{\,2}} + V(x)\,\psi.\] в центрі маси кадру дві частинки маси\(m_1\) і\(m_2\), рухаючись в потенціалі\(V(x_1-x_2)\), еквівалентні одній частинці маси\(\mu\), що рухаються в потенціал\(V(x)\), де\(x=x_1-x_2\). Це знайомий результат з класичної динаміки.