Розглянемо систему, що складається з двох частинок, масиm1 іm2, взаємодіючи за допомогою потенціалуV(x1−x2), який залежить тільки від взаємного розташування частинок. Відповідно до Рівняння ([ex3]) і ([ex10]), гамільтоніан системи записуєтьсяH(x1,x2)=−ℏ22m1∂2∂x21−ℏ22m2∂2∂x22+V(x1−x2).
x′=x1−x2
Дозволяти координата відносного положення частинок таX=m1x1+m2x2m1+m2
координата центру мас. Це легко продемонструвати, що∂∂x1=m1m1+m2∂∂X+∂∂x′,∂∂x2=m2m1+m2∂∂X−∂∂x′.
Отже, коли виражається в терміні нових зміннихX,x′ і, гамільтоніанM=m1+m2
стає H(x′,X)=−ℏ22M∂2∂X2−ℏ22μ∂2∂x′2+V(x′),
де загальна маса системи, і такμ=m1m2m1+m2
звана знижена маса. Зверніть увагу, що сумарний імпульс системи можна записати P=−iℏ(∂∂x1+∂∂x2)=−iℏ∂∂X.
Той факт, що гамільтоніан ([ex6.24]) роздільний при вираженні в терміні нових координат [тобто,H(x′,X)=Hx′(x′)+HX(X)] говорить за аналогією з аналізом в попередньому розділі, що хвильова функція може бути факторизована: тобто, ψ(x1,x2,t)=ψx′(x′,t)ψX(X,t).
Отже, час- залежне рівняння Шредінгера ([ex7]) також дає множники,iℏ∂ψx′∂t=−ℏ22μ∂2ψx′∂x′2+V(x′)ψx′,
іiℏ∂ψX∂t=−ℏ22M∂2ψX∂X2.
Попереднє рівняння може бути вирішено, щоб дати ψX(X,t)=ψ0ei(P′X/ℏ−E′t/ℏ),
деψ0P′, іE′=P′2/2M є константами. Зрозуміло, з Рівняння ([exa]), ([exb]) і ([ex33]), що сумарний імпульс системи приймає постійне значенняP′. Іншими словами, імпульс зберігається.
Припустимо, що ми працюємо в центрі маси кадру системи, який характеризуєтьсяP′=0. Звідси випливає, щоψX=ψ0. При цьому ми можемо записати хвильову функцію системи у виглядіψ(x1,x2,t)=ψx′(x′,t)ψ0≡ψ(x1−x2,t), де Іншими словами,iℏ∂ψ∂t=−ℏ22μ∂2ψ∂x2+V(x)ψ.
в центрі маси кадру дві частинки масиm1 іm2, рухаючись в потенціаліV(x1−x2), еквівалентні одній частинці масиμ, що рухаються в потенціалV(x), деx=x1−x2. Це знайомий результат з класичної динаміки.
