3.10: Стаціонарні стани
- Page ID
- 77004
Власний стан енергетичного оператора,\(H\equiv {\rm i}\,\hbar\,\partial/\partial t\) відповідного власному значенню,\(E_i\) задовольняє
\[{\rm i}\,\hbar\,\frac{\partial \psi_E(x,t,E_i)}{\partial t} = E_i\,\psi_E(x,t,E_i).\]Очевидно, що це рівняння можна вирішити шляхом написання,\[\psi_E(x,t,E_i) = \psi_i(x)\,{\rm e}^{-{\rm i}\,E_i\,t/\hbar},\] де\(\psi_i(x)\) знаходиться правильно нормована стаціонарна (тобто незмінна в часі) хвильова функція. Хвильова функція\(\psi_E(x,t,E_i)\) відповідає так званому стаціонарному стану, оскільки\(|\psi_E|^{\,2}\) щільність ймовірності не змінюється в часі. Відзначимо, що стаціонарний стан асоціюється з унікальною цінністю для енергії. Підстановка попереднього виразу на рівняння Шредінгера ([e3.1]) дає рівняння, задоволене стаціонарною хвильовою функцією:
\[\label{etimeii} \frac{\hbar^{\,2}}{2\,m}\,\frac{d^{\,2} \psi_i}{d x^{\,2}} = \left[V(x)-E_i\right]\psi_i.\]Це відоме як незалежне від часу рівняння Шредінгера. Більш загально, це рівняння набуває вигляду,\[\label{etimei} H\,\psi_i = E_i\,\psi_i,\] де\(H\) передбачається, що не є явною функцією\(t\). Звичайно,\(\psi_i\) задовольняють звичайну умову ортонормальності:
\[\label{e4.157} \int_{-\infty}^\infty \psi_i^\ast\,\psi_j\,dx = \delta_{ij}.\]
Крім того, ми можемо висловити загальну хвильову функцію як лінійну комбінацію енергетичних власних станів:
\[\label{e4.158} \psi(x,t) = \sum_i c_i\,\psi_i(x)\,{\rm e}^{-{\rm i}\,E_i\,t/\hbar},\]де\[c_i = \int_{-\infty}^{\infty} \psi_i^\ast(x)\,\psi(x,0)\,dx.\]\(|c_i|^{\,2}\) Тут, - ймовірність того, що вимір енергії дасть власне значення\(E_i\). Крім того, відразу після такого вимірювання система залишається у відповідному енергетичному власному стані. Узагальнення попередніх результатів до випадку, коли\(H\) має неперервні власні значення, є простим.
Якщо динамічна змінна представлена деяким ермітовим оператором\(A\), який комутується з\(H\) (так що він має одночасні власні стани з\(H\)), і не містить конкретної залежності від часу, то з рівнянь ([e4.157]) і ([e4.158]) видно, що значення очікування та дисперсія є\(A\) незалежними від часу. У цьому сенсі динамічна змінна, про яку йде мова, є постійною руху.