3.10: Стаціонарні стани

Власний стан енергетичного оператора,$H\equiv {\rm i}\,\hbar\,\partial/\partial t$ відповідного власному значенню,$E_i$ задовольняє

$${\rm i}\,\hbar\,\frac{\partial \psi_E(x,t,E_i)}{\partial t} = E_i\,\psi_E(x,t,E_i).$$ Очевидно, що це рівняння можна вирішити шляхом написання, $$\psi_E(x,t,E_i) = \psi_i(x)\,{\rm e}^{-{\rm i}\,E_i\,t/\hbar},$$ де$\psi_i(x)$ знаходиться правильно нормована стаціонарна (тобто незмінна в часі) хвильова функція. Хвильова функція$\psi_E(x,t,E_i)$ відповідає так званому стаціонарному стану, оскільки$|\psi_E|^{\,2}$ щільність ймовірності не змінюється в часі. Відзначимо, що стаціонарний стан асоціюється з унікальною цінністю для енергії. Підстановка попереднього виразу на рівняння Шредінгера ([e3.1]) дає рівняння, задоволене стаціонарною хвильовою функцією:

$$\label{etimeii} \frac{\hbar^{\,2}}{2\,m}\,\frac{d^{\,2} \psi_i}{d x^{\,2}} = \left[V(x)-E_i\right]\psi_i.$$ Це відоме як незалежне від часу рівняння Шредінгера. Більш загально, це рівняння набуває вигляду, $$\label{etimei} H\,\psi_i = E_i\,\psi_i,$$ де$H$ передбачається, що не є явною функцією$t$. Звичайно,$\psi_i$ задовольняють звичайну умову ортонормальності:

$$\label{e4.157} \int_{-\infty}^\infty \psi_i^\ast\,\psi_j\,dx = \delta_{ij}.$$

Крім того, ми можемо висловити загальну хвильову функцію як лінійну комбінацію енергетичних власних станів:

$$\label{e4.158} \psi(x,t) = \sum_i c_i\,\psi_i(x)\,{\rm e}^{-{\rm i}\,E_i\,t/\hbar},$$ де $$c_i = \int_{-\infty}^{\infty} \psi_i^\ast(x)\,\psi(x,0)\,dx.$$ $|c_i|^{\,2}$ Тут, - ймовірність того, що вимір енергії дасть власне значення$E_i$. Крім того, відразу після такого вимірювання система залишається у відповідному енергетичному власному стані. Узагальнення попередніх результатів до випадку, коли$H$ має неперервні власні значення, є простим.

Якщо динамічна змінна представлена деяким ермітовим оператором$A$, який комутується з$H$ (так що він має одночасні власні стани з$H$), і не містить конкретної залежності від часу, то з рівнянь ([e4.157]) і ([e4.158]) видно, що значення очікування та дисперсія є$A$ незалежними від часу. У цьому сенсі динамічна змінна, про яку йде мова, є постійною руху.

Автори та атрибуція

• Template:ContribFitzpatrick