3.9: Вимірювання
- Page ID
- 77016
Припустимо, що\(A\) це ермітієвий оператор, що відповідає деякій динамічній змінній. За аналогією з обговоренням у розділі [сколл], ми очікуємо, що якщо вимірювання\(A\) дає результат,\(a\) то акт вимірювання призведе до згортання хвильової функції до стану, в якому вимірювання\(A\) зобов'язане дати результат\(a\). Яка хвильова функція\(\psi\), така, що вимір\(A\) зобов'язаний дати певний результат,\(a\)? Ну, виражаючи\(\psi\) як лінійну комбінацію власних станів\(A\), у нас\(\psi_i\) є \[\label{e4.128} \psi = \sum_i c_i\,\psi_i,\]де є власний стан, що\(A\) відповідає власному значенню\(a_i\). Якщо вимір\(A\) зобов'язаний дати результат\(a\) тоді\[\langle A\rangle= a,\] і \[\label{e4.130} \sigma_A^{\,2} = \langle A^2\rangle - \langle A\rangle = 0.\]зараз, легко помітити, що \[\begin{aligned} \label{e4.131} \langle A\rangle &= \sum_i |c_i|^{\,2}\,a_i,\\[0.5ex] \langle A^2\rangle &= \sum_i |c_i|^{\,2}\,a_i^{\,2}.\end{aligned}\]Таким чином, Рівняння ([e4.130]) дає\[\sum_i a_i^{\,2}\,|c_i|^{\,2} - \left(\sum_i a_i\,|c_i|^{\,2}\right)^2=0.\] Крім того, умова нормалізації дає \[\label{e4.134} \sum_i |c_i|^{\,2} = 1.\]
Наприклад, припустимо, що існує тільки два власнихстанів. Попередні два рівняння потім зводять до\(|c_1|^{\,2}=x\), і\(|c_2|^{\,2}=1-x\), де\(0\leq x\leq 1\), і \[\label{e4.126} (a_1-a_2)^2\,x\,(1-x) = 0.\]єдиними розв'язками є\(x=0\) і\(x=1\). Цей результат можна легко узагальнити до випадку, коли існує більше двох власних станів. Звідси випливає, що стан, пов'язане з певним значенням,\(A\) - це таке, в якому одне з\(|c_i|^{\,2}\) - єдність, а всі інші - нуль. Іншими словами, єдиними станами, пов'язаними з певними значеннями,\(A\) є власні стани\(A\). Відразу випливає, що результатом вимірювання\(A\) має бути одне з власних значень\(A\). Більш того, якщо загальна хвильова функція розширюється як лінійна комбінація власних станів\(A\), як в Рівнянні ([e4.128]), то з Рівняння ([e4.131]) зрозуміло, і загальне визначення середнього, що ймовірність виміру отримання\(A\) \(a_i\)Власне значення просто\(|c_i|^{\,2}\), де\(c_i\) коефіцієнт перед\(i\) м власним станом в розширенні. Зверніть увагу, з Equation ([e4.134]), що ці ймовірності належним чином нормалізовані: тобто ймовірність вимірювання в\(A\) результаті будь-якої можливої відповіді є одиницею. Нарешті, якщо вимірювання\(A\) результатів у власному значенні,\(a_i\) то відразу після вимірювання система залишиться у власному стані, відповідному\(a_i\).
Розглянемо дві фізичні динамічні змінні, представлені двома ермітовими операторами\(A\) і\(B\). За яких обставин можна одночасно виміряти ці дві змінні (точно)? Ну а можливі результати вимірювань\(A\) і\(B\) є власнимизначеннями\(A\) і\(B\), відповідно. Таким чином, для одночасного вимірювання\(A\) і\(B\) (точно) повинні існувати стани, які є одночасними власними станами\(A\) і\(B\). Насправді, для того,\(B\) щоб\(A\) і бути одночасно вимірними за будь-яких обставин, нам потрібно,\(A\) щоб всі власні стани також були власними станами\(B\), і навпаки, так що всі стани, пов'язані з унікальними значеннями, також\(A\) пов'язані з унікальними значеннями значення\(B\), і навпаки.
Тепер ми вже бачили в розділі 1.8, що якщо\(A\) і\(B\) не їздити (тобто якщо\(A\,B\neq B\,A\)), то їх не можна одночасно виміряти. Це говорить про те, що умовою одночасного вимірювання є те, що\(A\) і\(B\) слід їздити на роботу. Припустимо, що це так, і що\(\psi_i\) і\(a_i\) є нормованими власними станами і власними\(A\) значеннями відповідно. Звідси випливає, що\[(A\,B-B\,A)\,\psi_i = (A\,B-B\,a_i)\,\psi_i = (A-a_i)\,B\,\psi_i = 0,\] або\[A\,(B\,\psi_i) = a_i\,(B\,\psi_i).\] Таким чином,\(B\,\psi_i\) є\(A\) власним станом, відповідним власному\(a_i\) значенню (хоча і не обов'язково нормоване). Іншими словами\(B\,\psi_i\propto \psi_i\), або\[B\,\psi_i = b_i\,\psi_i,\] де\(b_i\) константа пропорційності. Отже,\(\psi_i\) є власним станом і\(B\), таким чином, одночасним власним станом\(A\) і\(B\). Зробимо висновок, що якщо\(A\) і\(B\) коммутіруют, то вони мають одночасні власні стани, і, таким чином, одночасно вимірювані (точно).
Безперервні власні значення
У попередніх двох розділах мовчазно припускалося, що ми маємо справу з операторами, що володіють дискретними власними значеннями та власними станами, що інтегруються в квадрат. На жаль, деякі оператори - особливо,\(x\) і\(p\) - володіють власними значеннями, які лежать у безперервному діапазоні та не-квадратних інтегровних власних станах (насправді, ці дві властивості йдуть рука об руку). Отже, досліджуємо власні стани та власні значення операторів переміщення та імпульсу.
\(\psi_x(x,x')\)Дозволяти бути\(x\) власним станом, відповідним власному значенню\(x'\). Звідси випливає, що\[x\,\psi_x(x,x') = x'\,\psi_x(x,x')\] для всіх\(x\). Розглянемо дельта-функцію Дірака\(\delta(x-x')\). Ми можемо писати,\[x\,\delta(x-x') = x'\,\delta(x-x'),\] тому\(\delta(x-x')\) що тільки ненульовий нескінченно близький до\(x=x'\). Очевидно,\(\psi_x(x,x')\) пропорційно\(\delta(x-x')\). Зробимо константу пропорційності єдності, так що\[\psi_x(x,x') = \delta(x-x').\] Це легко продемонструвати, що\[\int_{-\infty}^{\infty} \delta(x-x')\,\delta(x-x'')\,dx = \delta(x'-x'').\] Отже,\(\psi_x(x,x')\) задовольняє умові ортонормальності \[\label{e4.143} \int_{-\infty}^\infty \psi_x^\ast(x,x')\,\psi_x(x,x'')\,dx = \delta(x'-x'').\]Ця умова є аналогічною умові ортонормальності ([e3.125]), що задовольняє квадрат- інтегровні власні стани. Тепер за визначенням\(\delta(x-x')\) задовольняє,\[\int_{-\infty}^\infty f(x)\,\delta(x-x')\,dx = f(x'),\] де\(f(x)\) знаходиться загальна функція. Таким чином, ми можемо записати \[\label{e4.144} \psi(x) = \int_{-\infty}^\infty c(x')\,\psi_x(x,x')\,dx',\]де\(c(x')=\psi(x')\), або \[\label{e4.145} c(x') = \int_{-\infty}^\infty \psi_x^\ast(x,x')\,\psi(x)\,dx.\]Іншими словами, ми можемо розширити загальну хвильову функцію\(\psi(x)\) як лінійну комбінацію власних станів\(\psi_x(x,x')\), оператора переміщення. Рівняння ([e4.144]) та ([e4.145]) є аналогічними рівнянням ([e3.123]) та ([e3.126]) відповідно для власних станів, що інтегруються в квадрат. Нарешті, за аналогією з результатами в розділі 1.9, щільність ймовірності\(x\) вимірювання отримання значення\(x'\) дорівнює\(|c(x')|^{\,2}\), що еквівалентно стандартному результату\(|\psi(x')|^{\,2}\). Крім того, ці ймовірності належним чином нормовані за умови\(\psi(x)\) правильного нормування [пор., Рівняння ([e3.127])]: тобто,\[\int_{-\infty}^\infty |c(x')|^{\,2}\,dx'= \int_{-\infty}^\infty |\psi(x')|^{\,2}\,dx' =1.\] нарешті, якщо вимірювання\(x\) дає значення,\(x'\) то система залишається у відповідному зміщенні власний стан\(\psi_x(x,x')\), відразу після вимірювання. Тобто хвильова функція згортається до «спайк-функції»\(\delta(x-x')\), як обговорюється в розділі [scoll].
Тепер, власний стан оператора імпульсу, що\(p\equiv -{\rm i}\,\hbar\,\partial/\partial x\) відповідає власному значенню,\(p'\) задовольняє\[-{\rm i}\,\hbar\,\frac{\partial \psi_p(x,p')}{\partial x} = p'\,\psi_p(x,p').\] Очевидно, що \[\label{e4.148} \psi_p(x,p') \propto {\rm e}^{+{\rm i}\,p'\,x/\hbar}.\]ми вимагаємо\(\psi_p(x,p')\) задовольнити аналогічну умову ортонормальності рівнянню ([e4.143]): тобто,\[\int_{-\infty}^\infty \psi_p^\ast(x,p')\,\psi_p(x,p'')\,dx = \delta(p'-p'').\] Таким чином, слід з Рівняння ([e3.72]), що константа пропорційності в рівнянні ([e4.148]) повинна бути\((2\pi\,\hbar)^{-1/2}\): тобто, \[\label{e4.148a} \psi_p(x,p') =\frac{ {\rm e}^{+{\rm i}\,p'\,x/\hbar}}{(2\pi\,\hbar)^{1/2}}.\]Крім того, відповідно до рівнянь ([e3.64]) і ([e3.65]), \[\label{e4.152} \psi(x) = \int_{-\infty}^\infty c(p')\,\psi_p(x,p')\,dp',\]де\(c(p') = \phi(p')\) [ див. рівняння ([e3.65])], або \[\label{e4.153} c(p') = \int_{-\infty}^\infty \psi_p^\ast(x,p')\,\psi(x)\,dx.\]Іншими словами, ми можемо розширити загальну хвильову функцію\(\psi(x)\) як лінійну комбінацію власних станів оператора імпульсу.\(\psi_p(x,p')\) Рівняння ([e4.152]) і ([e4.153]) знову аналогічні рівнянням ([e3.123]) і ([e3.126]) відповідно для власних станів, що інтегруються в квадрат. Так само щільність ймовірності вимірювання\(p\) отримання результату\(p'\) є\(|c(p')|^{\,2}\), що еквівалентно стандартному результату\(|\phi(p')|^{\,2}\). Імовірності також належним чином нормалізовані за умови\(\psi(x)\) належного нормування [пор., Рівняння ([e3.83])]: тобто,\[\int_{-\infty}^\infty |c(p')|^{\,2}\,dp'= \int_{-\infty}^{\infty} |\phi(p')|^{\,2}\,dp' = \int_{-\infty}^\infty |\psi(x')|^{\,2}\,dx' =1.\] Нарешті, якщо вимірювання\(p\) дає значення,\(p'\) то система залишається у відповідному імпульсі власний стан, \(\psi_p(x,p')\), Відразу після вимірювання.