3.9: Вимірювання

Припустимо, що$A$ це ермітієвий оператор, що відповідає деякій динамічній змінній. За аналогією з обговоренням у розділі [сколл], ми очікуємо, що якщо вимірювання$A$ дає результат,$a$ то акт вимірювання призведе до згортання хвильової функції до стану, в якому вимірювання$A$ зобов'язане дати результат$a$. Яка хвильова функція$\psi$, така, що вимір$A$ зобов'язаний дати певний результат,$a$? Ну, виражаючи$\psi$ як лінійну комбінацію власних станів$A$, у нас$\psi_i$ є $$\label{e4.128} \psi = \sum_i c_i\,\psi_i,$$ де є власний стан, що$A$ відповідає власному значенню$a_i$. Якщо вимір$A$ зобов'язаний дати результат$a$ тоді $$\langle A\rangle= a,$$ і $$\label{e4.130} \sigma_A^{\,2} = \langle A^2\rangle - \langle A\rangle = 0.$$ зараз, легко помітити, що $$\begin{aligned} \label{e4.131} \langle A\rangle &= \sum_i |c_i|^{\,2}\,a_i,\\[0.5ex] \langle A^2\rangle &= \sum_i |c_i|^{\,2}\,a_i^{\,2}.\end{aligned}$$ Таким чином, Рівняння ([e4.130]) дає $$\sum_i a_i^{\,2}\,|c_i|^{\,2} - \left(\sum_i a_i\,|c_i|^{\,2}\right)^2=0.$$ Крім того, умова нормалізації дає $$\label{e4.134} \sum_i |c_i|^{\,2} = 1.$$

Наприклад, припустимо, що існує тільки два власнихстанів. Попередні два рівняння потім зводять до$|c_1|^{\,2}=x$, і$|c_2|^{\,2}=1-x$, де$0\leq x\leq 1$, і $$\label{e4.126} (a_1-a_2)^2\,x\,(1-x) = 0.$$ єдиними розв'язками є$x=0$ і$x=1$. Цей результат можна легко узагальнити до випадку, коли існує більше двох власних станів. Звідси випливає, що стан, пов'язане з певним значенням,$A$ - це таке, в якому одне з$|c_i|^{\,2}$ - єдність, а всі інші - нуль. Іншими словами, єдиними станами, пов'язаними з певними значеннями,$A$ є власні стани$A$. Відразу випливає, що результатом вимірювання$A$ має бути одне з власних значень$A$. Більш того, якщо загальна хвильова функція розширюється як лінійна комбінація власних станів$A$, як в Рівнянні ([e4.128]), то з Рівняння ([e4.131]) зрозуміло, і загальне визначення середнього, що ймовірність виміру отримання$A$ $a_i$Власне значення просто$|c_i|^{\,2}$, де$c_i$ коефіцієнт перед$i$ м власним станом в розширенні. Зверніть увагу, з Equation ([e4.134]), що ці ймовірності належним чином нормалізовані: тобто ймовірність вимірювання в$A$ результаті будь-якої можливої відповіді є одиницею. Нарешті, якщо вимірювання$A$ результатів у власному значенні,$a_i$ то відразу після вимірювання система залишиться у власному стані, відповідному$a_i$.

Розглянемо дві фізичні динамічні змінні, представлені двома ермітовими операторами$A$ і$B$. За яких обставин можна одночасно виміряти ці дві змінні (точно)? Ну а можливі результати вимірювань$A$ і$B$ є власнимизначеннями$A$ і$B$, відповідно. Таким чином, для одночасного вимірювання$A$ і$B$ (точно) повинні існувати стани, які є одночасними власними станами$A$ і$B$. Насправді, для того,$B$ щоб$A$ і бути одночасно вимірними за будь-яких обставин, нам потрібно,$A$ щоб всі власні стани також були власними станами$B$, і навпаки, так що всі стани, пов'язані з унікальними значеннями, також$A$ пов'язані з унікальними значеннями значення$B$, і навпаки.

Тепер ми вже бачили в розділі 1.8, що якщо$A$ і$B$ не їздити (тобто якщо$A\,B\neq B\,A$), то їх не можна одночасно виміряти. Це говорить про те, що умовою одночасного вимірювання є те, що$A$ і$B$ слід їздити на роботу. Припустимо, що це так, і що$\psi_i$ і$a_i$ є нормованими власними станами і власними$A$ значеннями відповідно. Звідси випливає, що $$(A\,B-B\,A)\,\psi_i = (A\,B-B\,a_i)\,\psi_i = (A-a_i)\,B\,\psi_i = 0,$$ або $$A\,(B\,\psi_i) = a_i\,(B\,\psi_i).$$ Таким чином,$B\,\psi_i$ є$A$ власним станом, відповідним власному$a_i$ значенню (хоча і не обов'язково нормоване). Іншими словами$B\,\psi_i\propto \psi_i$, або $$B\,\psi_i = b_i\,\psi_i,$$ де$b_i$ константа пропорційності. Отже,$\psi_i$ є власним станом і$B$, таким чином, одночасним власним станом$A$ і$B$. Зробимо висновок, що якщо$A$ і$B$ коммутіруют, то вони мають одночасні власні стани, і, таким чином, одночасно вимірювані (точно).

Безперервні власні значення

У попередніх двох розділах мовчазно припускалося, що ми маємо справу з операторами, що володіють дискретними власними значеннями та власними станами, що інтегруються в квадрат. На жаль, деякі оператори - особливо,$x$ і$p$ - володіють власними значеннями, які лежать у безперервному діапазоні та не-квадратних інтегровних власних станах (насправді, ці дві властивості йдуть рука об руку). Отже, досліджуємо власні стани та власні значення операторів переміщення та імпульсу.

$\psi_x(x,x')$Дозволяти бути$x$ власним станом, відповідним власному значенню$x'$. Звідси випливає, що $$x\,\psi_x(x,x') = x'\,\psi_x(x,x')$$ для всіх$x$. Розглянемо дельта-функцію Дірака$\delta(x-x')$. Ми можемо писати, $$x\,\delta(x-x') = x'\,\delta(x-x'),$$ тому$\delta(x-x')$ що тільки ненульовий нескінченно близький до$x=x'$. Очевидно,$\psi_x(x,x')$ пропорційно$\delta(x-x')$. Зробимо константу пропорційності єдності, так що $$\psi_x(x,x') = \delta(x-x').$$ Це легко продемонструвати, що $$\int_{-\infty}^{\infty} \delta(x-x')\,\delta(x-x'')\,dx = \delta(x'-x'').$$ Отже,$\psi_x(x,x')$ задовольняє умові ортонормальності $$\label{e4.143} \int_{-\infty}^\infty \psi_x^\ast(x,x')\,\psi_x(x,x'')\,dx = \delta(x'-x'').$$ Ця умова є аналогічною умові ортонормальності ([e3.125]), що задовольняє квадрат- інтегровні власні стани. Тепер за визначенням$\delta(x-x')$ задовольняє, $$\int_{-\infty}^\infty f(x)\,\delta(x-x')\,dx = f(x'),$$ де$f(x)$ знаходиться загальна функція. Таким чином, ми можемо записати $$\label{e4.144} \psi(x) = \int_{-\infty}^\infty c(x')\,\psi_x(x,x')\,dx',$$ де$c(x')=\psi(x')$, або $$\label{e4.145} c(x') = \int_{-\infty}^\infty \psi_x^\ast(x,x')\,\psi(x)\,dx.$$ Іншими словами, ми можемо розширити загальну хвильову функцію$\psi(x)$ як лінійну комбінацію власних станів$\psi_x(x,x')$, оператора переміщення. Рівняння ([e4.144]) та ([e4.145]) є аналогічними рівнянням ([e3.123]) та ([e3.126]) відповідно для власних станів, що інтегруються в квадрат. Нарешті, за аналогією з результатами в розділі 1.9, щільність ймовірності$x$ вимірювання отримання значення$x'$ дорівнює$|c(x')|^{\,2}$, що еквівалентно стандартному результату$|\psi(x')|^{\,2}$. Крім того, ці ймовірності належним чином нормовані за умови$\psi(x)$ правильного нормування [пор., Рівняння ([e3.127])]: тобто, $$\int_{-\infty}^\infty |c(x')|^{\,2}\,dx'= \int_{-\infty}^\infty |\psi(x')|^{\,2}\,dx' =1.$$ нарешті, якщо вимірювання$x$ дає значення,$x'$ то система залишається у відповідному зміщенні власний стан$\psi_x(x,x')$, відразу після вимірювання. Тобто хвильова функція згортається до «спайк-функції»$\delta(x-x')$, як обговорюється в розділі [scoll].

Тепер, власний стан оператора імпульсу, що$p\equiv -{\rm i}\,\hbar\,\partial/\partial x$ відповідає власному значенню,$p'$ задовольняє $$-{\rm i}\,\hbar\,\frac{\partial \psi_p(x,p')}{\partial x} = p'\,\psi_p(x,p').$$ Очевидно, що $$\label{e4.148} \psi_p(x,p') \propto {\rm e}^{+{\rm i}\,p'\,x/\hbar}.$$ ми вимагаємо$\psi_p(x,p')$ задовольнити аналогічну умову ортонормальності рівнянню ([e4.143]): тобто, $$\int_{-\infty}^\infty \psi_p^\ast(x,p')\,\psi_p(x,p'')\,dx = \delta(p'-p'').$$ Таким чином, слід з Рівняння ([e3.72]), що константа пропорційності в рівнянні ([e4.148]) повинна бути$(2\pi\,\hbar)^{-1/2}$: тобто, $$\label{e4.148a} \psi_p(x,p') =\frac{ {\rm e}^{+{\rm i}\,p'\,x/\hbar}}{(2\pi\,\hbar)^{1/2}}.$$ Крім того, відповідно до рівнянь ([e3.64]) і ([e3.65]), $$\label{e4.152} \psi(x) = \int_{-\infty}^\infty c(p')\,\psi_p(x,p')\,dp',$$ де$c(p') = \phi(p')$ [ див. рівняння ([e3.65])], або $$\label{e4.153} c(p') = \int_{-\infty}^\infty \psi_p^\ast(x,p')\,\psi(x)\,dx.$$ Іншими словами, ми можемо розширити загальну хвильову функцію$\psi(x)$ як лінійну комбінацію власних станів оператора імпульсу.$\psi_p(x,p')$ Рівняння ([e4.152]) і ([e4.153]) знову аналогічні рівнянням ([e3.123]) і ([e3.126]) відповідно для власних станів, що інтегруються в квадрат. Так само щільність ймовірності вимірювання$p$ отримання результату$p'$ є$|c(p')|^{\,2}$, що еквівалентно стандартному результату$|\phi(p')|^{\,2}$. Імовірності також належним чином нормалізовані за умови$\psi(x)$ належного нормування [пор., Рівняння ([e3.83])]: тобто, $$\int_{-\infty}^\infty |c(p')|^{\,2}\,dp'= \int_{-\infty}^{\infty} |\phi(p')|^{\,2}\,dp' = \int_{-\infty}^\infty |\psi(x')|^{\,2}\,dx' =1.$$ Нарешті, якщо вимірювання$p$ дає значення,$p'$ то система залишається у відповідному імпульсі власний стан, $\psi_p(x,p')$, Відразу після вимірювання.

Дописувачі та атрибуція

• Template:ContribFitzpatrick