2.2: Площина-хвилі
- Page ID
- 77139
Як ми тільки що бачили, хвиля амплітуди\(A\), хвильового числа\(k\), кутової\(\omega\) частоти та фазового кута\(\varphi\), що поширюється в\(x\) позитивному напрямку, представлена наступною хвильовою функцією:
\[\label{e10.1} \psi(x,t)=A\,\cos(k\,x-\omega\,t+\varphi).\]Цей тип хвиль умовно називають одновимірної плоскохвильової. Він є одновимірним, оскільки його асоційована хвильова функція залежить лише від однієї декартової координати,\(x\). Крім того, це плоска хвиля, оскільки хвильові максимуми, які розташовані на
\[\label{e10.2} k\,x-\omega\,t+\varphi = j\,2\pi,\]де\(j\) ціле число, складаються з ряду паралельних площин, перпендикулярних до\(x\) -осі, які однаково розташовані на\(\lambda=2\pi/k\) відстані один від одного, і поширюються вздовж позитивної\(x\) -осі зі швидкістю\(v=\omega/k\). Ці висновки слідують тому, що рівняння (2.2.2) може бути переписано у формі
\[\label{e10.3} x= d,\]де\(d=(j-\varphi/2\pi)\,\lambda + v\,t\). Більше того, як відомо, Рівняння (2.2.3) - це рівняння площини, нормальної до\(x\) осі -осі, відстань якого найближчого наближення до початку\(d\).
Малюнок 1: Рішення\(\begin{equation}\mathbf{n} \cdot \mathbf{r}=d\end{equation}\) є площиною.
Попереднє рівняння також може бути записано в безкоординатному вигляді
\[\label{e10.4} {\bf n}\cdot{\bf r} = d,\]де\({\bf n} = (1,\,0,\,0)\) - одиничний вектор, спрямований вздовж позитивної\(x\) -осі, і\({\bf r}=(x,\,y,\,z)\) являє собою векторне зміщення загальної точки від початку. Оскільки немає нічого особливого щодо\(x\) -direction, випливає,\({\bf n}\) що якщо переінтерпретувати як одиничний вектор, що вказує у довільному напрямку, то рівняння (2.2.4) можна переосмислити як загальне рівняння площини. Як і раніше, площина нормальна до\({\bf n}\), і її відстань найближчого наближення до початку є\(d\). Див. Рисунок [f10.1]. Це спостереження дозволяє записати тривимірний еквівалент хвильової функції (2.2.1) як
\[\label{e10.5} \psi({\bf r},t)=A\,\cos({\bf k}\cdot{\bf r}-\omega\,t+\varphi),\]
де постійний вектор\({\bf k} = (k_x,\,k_y,\,k_z)=k\,{\bf n}\) називається хвильовим вектором. Хвиля, представлена раніше, умовно називається тривимірною плоскохвилею. Він тривимірний, оскільки його хвильова функція\(\psi({\bf r},t)\), залежить від усіх трьох декартових координат. Більш того, це плоска хвиля, тому що хвильові максимуми розташовані в\[{\bf k}\cdot{\bf r} -\omega\,t +\varphi= j\,2\pi,\] або\[{\bf n}\cdot{\bf r} = (j-\varphi/2\pi)\,\lambda + v\,t,\] де\(\lambda=2\pi/k\), і\(v=\omega/k\). Зверніть увагу, що хвильове число,\(k\), - це величина хвильового вектора,\({\bf k}\): тобто\(k\equiv |{\bf k}|\). Звідси випливає, порівняно з рівнянням (2.2.4), що хвильові максимуми складаються з ряду паралельних площин, нормальних до хвильового вектора, які однаково розташовані на\(\lambda\) відстані один від одного і поширюються в\({\bf k}\) -напрямку зі швидкістю\(v\). Див. Рисунок [f10.2]. Значить, напрямок хвильового вектора визначає напрямок поширення хвилі, тоді як його величина визначає хвильове число, і\(k\), таким чином, довжину хвилі,\(\lambda=2\pi/k\).
Малюнок 2: Хвильові максимуми, пов'язані з тривимірною плоскою хвилею.