2.2: Площина-хвилі

Як ми тільки що бачили, хвиля амплітуди$A$, хвильового числа$k$, кутової$\omega$ частоти та фазового кута$\varphi$, що поширюється в$x$ позитивному напрямку, представлена наступною хвильовою функцією:

$$\label{e10.1} \psi(x,t)=A\,\cos(k\,x-\omega\,t+\varphi).$$ Цей тип хвиль умовно називають одновимірної плоскохвильової. Він є одновимірним, оскільки його асоційована хвильова функція залежить лише від однієї декартової координати,$x$. Крім того, це плоска хвиля, оскільки хвильові максимуми, які розташовані на

$$\label{e10.2} k\,x-\omega\,t+\varphi = j\,2\pi,$$ де$j$ ціле число, складаються з ряду паралельних площин, перпендикулярних до$x$ -осі, які однаково розташовані на$\lambda=2\pi/k$ відстані один від одного, і поширюються вздовж позитивної$x$ -осі зі швидкістю$v=\omega/k$. Ці висновки слідують тому, що рівняння (2.2.2) може бути переписано у формі

$$\label{e10.3} x= d,$$ де$d=(j-\varphi/2\pi)\,\lambda + v\,t$. Більше того, як відомо, Рівняння (2.2.3) - це рівняння площини, нормальної до$x$ осі -осі, відстань якого найближчого наближення до початку$d$.

Малюнок 1: Рішення$\begin{equation}\mathbf{n} \cdot \mathbf{r}=d\end{equation}$ є площиною.

Попереднє рівняння також може бути записано в безкоординатному вигляді

$$\label{e10.4} {\bf n}\cdot{\bf r} = d,$$ де${\bf n} = (1,\,0,\,0)$ - одиничний вектор, спрямований вздовж позитивної$x$ -осі, і${\bf r}=(x,\,y,\,z)$ являє собою векторне зміщення загальної точки від початку. Оскільки немає нічого особливого щодо$x$ -direction, випливає,${\bf n}$ що якщо переінтерпретувати як одиничний вектор, що вказує у довільному напрямку, то рівняння (2.2.4) можна переосмислити як загальне рівняння площини. Як і раніше, площина нормальна до${\bf n}$, і її відстань найближчого наближення до початку є$d$. Див. Рисунок [f10.1]. Це спостереження дозволяє записати тривимірний еквівалент хвильової функції (2.2.1) як

$$\label{e10.5} \psi({\bf r},t)=A\,\cos({\bf k}\cdot{\bf r}-\omega\,t+\varphi),$$

де постійний вектор${\bf k} = (k_x,\,k_y,\,k_z)=k\,{\bf n}$ називається хвильовим вектором. Хвиля, представлена раніше, умовно називається тривимірною плоскохвилею. Він тривимірний, оскільки його хвильова функція$\psi({\bf r},t)$, залежить від усіх трьох декартових координат. Більш того, це плоска хвиля, тому що хвильові максимуми розташовані в

$${\bf k}\cdot{\bf r} -\omega\,t +\varphi= j\,2\pi,$$ або $${\bf n}\cdot{\bf r} = (j-\varphi/2\pi)\,\lambda + v\,t,$$ де$\lambda=2\pi/k$, і$v=\omega/k$. Зверніть увагу, що хвильове число,$k$, - це величина хвильового вектора,${\bf k}$: тобто$k\equiv |{\bf k}|$. Звідси випливає, порівняно з рівнянням (2.2.4), що хвильові максимуми складаються з ряду паралельних площин, нормальних до хвильового вектора, які однаково розташовані на$\lambda$ відстані один від одного і поширюються в${\bf k}$ -напрямку зі швидкістю$v$. Див. Рисунок [f10.2]. Значить, напрямок хвильового вектора визначає напрямок поширення хвилі, тоді як його величина визначає хвильове число, і$k$, таким чином, довжину хвилі,$\lambda=2\pi/k$.

Малюнок 2: Хвильові максимуми, пов'язані з тривимірною плоскою хвилею.

Автори та авторства

• Template:ContribFitzpatrick