2.4: Класичні світлові хвилі
- Page ID
- 77107
Розглянемо класичну, монохроматичну, лінійно-поляризовану, плоску світлову хвилю, що поширюється через вакуум в\(x\) -напрямку. Зручно характеризувати світлову хвилю (що, звичайно, є різновидом електромагнітної хвилі), вказавши пов'язане з нею електричне поле. Припустимо, що хвиля поляризована таким чином, що це електричне поле коливається в\(y\) -напрямку. (Відповідно до стандартної електромагнітної теорії, магнітне поле коливається в\(z\) -напрямку, у фазі з електричним полем, з амплітудою, яка є амплітудою електричного поля, розділеної на швидкість світла у вакуумі.) Тепер електричне поле можна зручно представити в терміні a комплексна хвильова функція:
\[\label{e2.1} \psi (x,t) = \bar{\psi}\,{\rm e}^{\,{\rm i}\,(k\,x-\omega\,t)}.\]Тут\(k\) і\(\omega\) знаходяться реальні параметри\({\rm i} = \sqrt{-1}\), і\(\bar{\psi}\) являє собою складну амплітуду хвилі. За умовністю фізичне електричне поле є реальною частиною попереднього виразу. Припустимо, що
\[\label{e2.2} \bar{\psi} = |\bar{\psi}|\,{\rm e}^{\,{\rm i}\,\varphi},\]де\(\varphi\) реально. Звідси випливає, що фізичне електричне поле набуває вигляду
\[\label{e2.3} E_y(x,t) = {\rm Re}[\psi(x,t)] = |\bar{\psi}|\,\cos(k\,x-\omega\,t +\varphi),\]
де\(|\bar{\psi}|\) - амплітуда електричного\(k\) коливання, хвильове число,\(\omega\) кутова частота і\(\varphi\) фазовий кут. Крім того,\(\lambda=2\pi/k\) це довжина хвилі, і\(\nu=\omega/2\pi\) частота (в герцах).
Відповідно до стандартної електромагнітної теорії, частота та довжина хвилі світлових хвиль пов'язані відповідно до відомого виразу
\[c = \nu\,\lambda,\]або, рівнозначно,
\[\label{e2.7} \omega = k\,c,\]де\(c=3\times 10^8\,{\rm m/s}\) - швидкість світла в вакуумі. Рівняння (2.4.3) і (2.4.5) вихід
Зверніть увагу, що\(E_y\) залежить від\(x\) і\(t\) тільки за допомогою комбінації\(x-c\,t\). Звідси випливає, що хвильові максимуми і мінімуми задовольняють.\[x - c\, t = {\rm constant}.\] Таким чином, хвильові максимуми і мінімуми поширюються в\(x\) -напрямку з фіксованою швидкістю
\[\label{e2.7a} \frac{dx}{dt} = c.\]
Вираз, такий як Рівняння (2.4.5), що визначає кутову частоту хвилі як функцію хвильового числа, зазвичай називають дисперсійним відношенням. Як ми вже бачили, і як видно з Рівняння (2.4.6), максимуми і мінімуми плоскої хвилі поширюються з характерною швидкістю
\[v_p = \frac{\omega}{k},\]який відомий як фаза-швидкість. Отже, співвідношення дисперсії (2.4.5) ефективно говорить про те, що фазова швидкість плоскої світлової хвилі, поширюючись через вакуум, завжди приймає фіксоване значення\(c\), незалежно від її довжини хвилі або частоти.
З стандартної електромагнітної теорії щільність енергії (тобто енергія на одиницю об'єму) плоскої світлової хвилі дорівнює
\[U = \frac{E_y^{\,2}}{\epsilon_0},\]де\(\epsilon_0= 8.85\times 10^{-12}\,{\rm F/m}\) - електрична діелектрична проникність вільного простору. Отже, з Рівняння (2.4.1) і (2.4.3) випливає, що
\[\label{e2.10} U \propto |\psi|^{\,2}.\]Крім того, світлова хвиля володіє лінійним імпульсом, а також енергією. Цей імпульс спрямований вздовж напрямку поширення хвилі і має щільність
\[\label{e2.11} G = \frac{U}{c}.\]