2.1: Функції хвиль

Хвиля визначається як порушення в деякій фізичній системі, яка є періодичною як у просторі, так і в часі. В одному вимірі хвиля, як правило, представлена в терміні хвильової функції: наприклад, \[\label{ew} \psi(x,t) = A\,\cos(k\,x-\omega\,t+\varphi),\]де\(x\) координата положення,\(t\) представляє час, і\(A\)\(k\),\(\omega >0\). Наприклад, якщо ми розглядаємо звукову хвилю, то\(\psi(x,t)\) може відповідати збуренню тиску, пов'язаному з хвилею в положенні\(x\) та часі\(t\). З іншого боку, якщо ми розглядаємо світлову хвилю, то\(\psi(x,t)\) може представляти поперечне електричне поле хвилі. Як відомо, функція косинуса\(\cos \theta\), є періодичною за своїм аргументом\(\theta\), з крапкою\(2\pi\): іншими словами,\(\cos(\theta+2\pi)=\cos\theta\) для всіх\(\theta\). Функція також коливається між мінімальним і максимальним значеннями\(-1\) і\(+1\), відповідно, як\(\theta\) змінюється. Звідси випливає, що хвильова функція (2.1.1) є періодичною в\(x\) з періодом\(\lambda=2\pi/k\). Іншими словами,\(\psi(x+\lambda,t)=\psi(x,t)\) для всіх\(x\) і\(t\). Більш того, хвильова функція є періодичною в\(t\) з періодом\(T=2\pi/\omega\). Іншими словами,\(\psi(x,t+T)=\psi(x,t)\) для всіх\(x\) і\(t\). Нарешті, хвильова функція коливається між мінімальним і максимальним значеннями\(-A\) і\(+A\), відповідно, як\(x\) і\(t\) варіюється. Просторовий період хвилі\(\lambda\), відомий як її довжина хвилі, а часовий період\(T\), називається її періодом. Крім того, величина\(A\) називається амплітудою хвилі, кількістю\(k\) хвильового числа та\(\omega\) величиною кутової частоти хвилі. Зверніть увагу, що одиниці\(\omega\) - це радіани в секунду. Звичайна частота хвиль, в циклах в секунду (інакше відома як герц), є\(\nu=1/T=\omega/2\pi\). Нарешті, величина\(\varphi\), що з'являється у виразі (2.1.1), називається фазовим кутом і визначає точні положення хвильових максимумів і мінімумів у заданий час. По суті, максимуми розташовані при\(k\,x-\omega\,t+\varphi = j\,2\pi\), де\(j\) є ціле число. Це випливає, тому що максимуми\(\cos\theta\) відбуваються при\(\theta=j\,2\pi\). Зверніть увагу, що заданий максимум задовольняє\(x=(j-\varphi/2\pi)\,\lambda+ v\,t\), де\(v=\omega/k\). Звідси випливає, що максимальна, і, за своєю суттю, вся хвиля, поширюється в позитивному\(x\) -напрямку зі швидкістю\(\omega/k\). Аналогічне міркування\[\psi(x,t) = A\,\cos(-k\,x-\omega\,t+\varphi)=A\,\cos(k\,x+\omega\,t-\varphi),\] виявляє, що хвильова функція хвилі амплітуди\(A\), хвильового числа\(k\), кутової\(\omega\) частоти та фазового кута\(\varphi\), що поширюється в\(x\) негативному напрямку зі швидкістю\(\omega/k\).