2.1: Функції хвиль

Хвиля визначається як порушення в деякій фізичній системі, яка є періодичною як у просторі, так і в часі. В одному вимірі хвиля, як правило, представлена в терміні хвильової функції: наприклад, $$\label{ew} \psi(x,t) = A\,\cos(k\,x-\omega\,t+\varphi),$$ де$x$ координата положення,$t$ представляє час, і$A$$k$,$\omega >0$. Наприклад, якщо ми розглядаємо звукову хвилю, то$\psi(x,t)$ може відповідати збуренню тиску, пов'язаному з хвилею в положенні$x$ та часі$t$. З іншого боку, якщо ми розглядаємо світлову хвилю, то$\psi(x,t)$ може представляти поперечне електричне поле хвилі. Як відомо, функція косинуса$\cos \theta$, є періодичною за своїм аргументом$\theta$, з крапкою$2\pi$: іншими словами,$\cos(\theta+2\pi)=\cos\theta$ для всіх$\theta$. Функція також коливається між мінімальним і максимальним значеннями$-1$ і$+1$, відповідно, як$\theta$ змінюється. Звідси випливає, що хвильова функція (2.1.1) є періодичною в$x$ з періодом$\lambda=2\pi/k$. Іншими словами,$\psi(x+\lambda,t)=\psi(x,t)$ для всіх$x$ і$t$. Більш того, хвильова функція є періодичною в$t$ з періодом$T=2\pi/\omega$. Іншими словами,$\psi(x,t+T)=\psi(x,t)$ для всіх$x$ і$t$. Нарешті, хвильова функція коливається між мінімальним і максимальним значеннями$-A$ і$+A$, відповідно, як$x$ і$t$ варіюється. Просторовий період хвилі$\lambda$, відомий як її довжина хвилі, а часовий період$T$, називається її періодом. Крім того, величина$A$ називається амплітудою хвилі, кількістю$k$ хвильового числа та$\omega$ величиною кутової частоти хвилі. Зверніть увагу, що одиниці$\omega$ - це радіани в секунду. Звичайна частота хвиль, в циклах в секунду (інакше відома як герц), є$\nu=1/T=\omega/2\pi$. Нарешті, величина$\varphi$, що з'являється у виразі (2.1.1), називається фазовим кутом і визначає точні положення хвильових максимумів і мінімумів у заданий час. По суті, максимуми розташовані при$k\,x-\omega\,t+\varphi = j\,2\pi$, де$j$ є ціле число. Це випливає, тому що максимуми$\cos\theta$ відбуваються при$\theta=j\,2\pi$. Зверніть увагу, що заданий максимум задовольняє$x=(j-\varphi/2\pi)\,\lambda+ v\,t$, де$v=\omega/k$. Звідси випливає, що максимальна, і, за своєю суттю, вся хвиля, поширюється в позитивному$x$ -напрямку зі швидкістю$\omega/k$. Аналогічне міркування $$\psi(x,t) = A\,\cos(-k\,x-\omega\,t+\varphi)=A\,\cos(k\,x+\omega\,t-\varphi),$$ виявляє, що хвильова функція хвилі амплітуди$A$, хвильового числа$k$, кутової$\omega$ частоти та фазового кута$\varphi$, що поширюється в$x$ негативному напрямку зі швидкістю$\omega/k$.