2.3: Представлення хвиль за допомогою складних функцій
- Page ID
- 77133
У математиці символ умовно\({\rm i}\) використовується для представлення квадрата-кореня мінус одиниці: іншими словами, один з рішень\({\rm i}^{\,2} = -1\). Тепер дійсне число,\(x\) (скажімо), може приймати будь-яке значення в континуумі різних значень, що лежать між\(-\infty\) і\(+\infty\). З іншого боку, уявне число набуває загального вигляду\({\rm i}\,y\), де\(y\) - дійсне число. Звідси випливає, що квадрат дійсного числа є додатним дійсним числом, тоді як квадрат уявного числа є від'ємним дійсним числом. Крім того, записується загальне комплексне число,\[z = x + {\rm i}\,y,\] де\(x\) і\(y\) є дійсними числами. По суті,\(x\) називається реальна частина\(z\), і\(y\) уявна частина\(z\). Це написано математично як\(x={\rm Re}(z)\) і\(y={\rm Im}(z)\). Нарешті, визначається складний\(z\) сполучений з\(z^\ast = x-{\rm i}\,y\).
Подібно до того, як ми можемо візуалізувати дійсне число як точку, що лежить на нескінченній прямій лінії, ми можемо візуалізувати комплексне число як точку, що лежить в нескінченній площині. Координати даної точки - це реальна і уявна частини числа: тобто\(z\equiv (x,\,y)\). Ця ідея проілюстрована на малюнку [f13.2]. Відстань\(r=(x^{\,2}+y^{\,2})^{1/2}\), представницької точки від початку називається модулем відповідного комплексного числа,\(z\). Це написано математично як\(|z|=(x^{\,2}+y^{\,2})^{1/2}\). До речі, з цього випливає\(z\,z^\ast = x^{\,2} + y^{\,2}=|z|^{\,2}\). Кут\(\theta=\tan^{-1}(y/x)\), який пряма, що з'єднує представницьку точку з початком, підлягає дійсній осі, називається аргументом відповідного комплексного числа,\(z\). Це написано математично як\({\rm arg}(z)=\tan^{-1}(y/x)\). Зі стандартної тригонометрії випливає\(x=r\,\cos\theta\), що, і\(y=r\,\sin\theta\). Отже,\(z= r\,\cos\theta+ {\rm i}\,r\sin\theta\).
Рисунок 3: Представлення комплексного числа у вигляді точки на площині.
Комплексні числа часто використовуються для представлення хвильових функцій. Усі такі уявлення в кінцевому підсумку залежать від фундаментальної математичної ідентичності, відомої як теорема Ейлера, яка приймає форму,\[{\rm e}^{\,{\rm i}\,\phi} \equiv \cos\phi + {\rm i}\,\sin\phi,\] де\(\phi\) є дійсне число. До речі, враховуючи\(z=r\,\cos\theta + {\rm i}\,r\,\sin\theta= r\,(\cos\theta+{\rm i}\,\sin\theta)\), що, де\(z\) знаходиться загальне комплексне число,\(r=|z|\) його модуль і\(\theta={\rm arg}(z)\) його аргумент, з теореми Ейлера випливає, що будь-яке комплексне число\(z\), може бути записано\[z = r\,{\rm e}^{\,{\rm i}\,\theta},\] де\(r=|z|\) і\(\theta={\rm arg}(z)\) є дійсними числами.
Одновимірна хвильова функція набуває загального вигляду
\[\label{e12.8} \psi(x,t) = A\,\cos(k\,x-\omega\,t+\varphi),\]де\(A\) - амплітуда хвилі,\(k\) хвильове число,\(\omega\) кутова частота і\(\varphi\) фазовий кут. Розглянемо складну хвильову функцію
\[\label{e12.10} \psi(x,t) = \psi_0\,{\rm e}^{\,{\rm i}\,(k\,x-\omega\,t)},\]де\(\psi_0\) складна константа. Ми можемо написати\(A\),\[\psi_0 = A\,{\rm e}^{\,{\rm i}\,\varphi},\] де модуль, і\(\varphi\) аргумент, з\(\psi_0\). Звідси виводимо, що\[\begin{aligned} {\rm Re}\left[\psi_0\,{\rm e}^{\,{\rm i}\,(k\,x-\omega\,t)}\right] &= {\rm Re}\left[A\,{\rm e}^{\,{\rm i}\,\varphi}\,{\rm e}^{\,{\rm i}\,(k\,x-\omega\,t)}\right]={\rm Re}\left[A\,{\rm e}^{\,{\rm i}\,(k\,x-\omega\,t+\varphi)}\right]=A\,{\rm Re}\left[{\rm e}^{\,{\rm i}\,(k\,x-\omega\,t+\varphi)}\right].\end{aligned}\] Таким чином, з теореми Ейлера і Рівняння (2.3.4) випливає, що\[{\rm Re}\left[\psi_0\,{\rm e}^{\,{\rm i}\,(k\,x-\omega\,t)}\right] =A\,\cos(k\,x-\omega\,t+\varphi)=\psi(x,t).\] Іншими словами, загальна одновимірна дійсна хвильова функція, (2.3.4), може бути представлена як реальна частина складної хвильової функції виду (2.3.5). Для зручності позначення аспект «взяти реальну частину» попереднього виразу зазвичай опускається, а наша загальна одновимірна хвильова функція просто пишеться
\[\label{e12.13} \psi(x,t) = \psi_0\,{\rm e}^{\,{\rm i}\,(k\,x-\omega\,t)}.\]Основна перевага комплексного подання (2.3.8) над більш простим реальним поданням (2.3.4) полягає в тому, що перше дозволяє об'єднати амплітуду та фазовий кут хвильової функції в єдине\(A\)\(\varphi\) комплексна амплітуда,\(\psi_0\). Нарешті, тривимірне узагальнення попереднього виразу - це те\[\psi({\bf r},t) = \psi_0\,{\rm e}^{\,{\rm i}\,({\bf k}\cdot{\bf r}-\omega\,t)},\], де\({\bf k}\) знаходиться хвильовий вектор.