7.5: Інерція та швидкість змін

Last updated
Save as PDF

Page ID: 77232

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Цілі навчання

Як обійти криволінійну систему координат

Припустимо, що ми описуємо літаючу кулю в полярних координатах. Ми нехтуємо вертикальним розміром, тому рух кулі є лінійним. Якщо куля має зміщення\((∆r_1,∆θ_1)\) в короткий проміжок часу\(∆t\), то явно в більш пізній момент свого руху, протягом рівного інтервалу, вона буде мати зміщення\((∆r_2,∆θ_2)\) з двома різними числами всередині дужок. Це не тому, що його швидкість або імпульс дійсно змінилися. Це тому, що система координат криволінійна. Є три способи обійти це:

Використовуйте лише координати Мінковського.
Замість того, щоб характеризувати інерційний рух як рух з постійними компонентами швидкості, ми можемо натомість охарактеризувати його як рух, який максимізує належний час (розділ 2.4).
Визначте коригувальний термін, який буде додано при взятті похідної вектора або ковектора, вираженої в не-мінковських координатах.

Ці питання загострюються в загальній теорії відносності, де викривлення простору-часу може зробити варіант 1 неможливим. Варіант 3, званий коваріантною похідною, розглядається в необов'язковому розділі 9.4. Якщо ви не збираєтеся читати цей розділ, просто майте на увазі, що в не-мінковських координатах ви не можете наївно використовувати зміни в компонентах вектора як міру зміни самого вектора.