7.4: Резюме законів трансформації

Цілі навчання

• Резюме законів трансформації

Детально опрацювавши один приклад, перейдемо від конкретного до загального. У позначеннях індексу бетону Ейнштейна нехай\((x^0,x^1,x^2,x^3)\) координати перетворюються на нові координати\((x^{'0},x^{'1},x^{'2},x^{'3})\). Потім вектори трансформуються згідно з правилом

\[v^{'\mu } = v^\kappa \frac{\partial x^{'\mu }}{\partial x^\kappa }\]

де конвенція про підсумовування Ейнштейна передбачає суму над повторюваним індексом\(κ\). За тими ж міркуваннями, що і в розділі 6.4, трансформація для\(ω\) ковектора

\[\omega _{\mu }^{'} = \omega _\kappa \frac{\partial x^\kappa }{\partial x^{'\mu }}\]

Зверніть увагу на інверсію часткової похідної в одному рівнянні порівняно з іншим. Оскільки ці рівняння описують зміну від однієї системи координат до іншої, вони чітко залежать від системи координат, тому ми використовуємо грецькі індекси, а не латинські, які вказують на координатно-незалежне абстрактне рівняння індексу.

Буква\(µ\) в цих рівняннях завжди з'являється як індекс, що відноситься до нових координат,\(\kappa\) до старих. З цієї причини ми можемо піти від скидання простих чисел і написання, наприклад,

\[v^{\mu } = v^{\kappa }\frac{\partial x^{'\mu }}{\partial x^{\kappa }}\]

замість того\(v'\), щоб розраховувати на контекст, щоб показати,\(v^µ\) що вектор виражений в нових координатах,\(v^{\kappa }\) в старих. Це стає особливо природним, якщо ми починаємо працювати в певній системі координат, де координати мають імена. Наприклад, якщо ми трансформуємо з координат\((t,x,y,z)\) в\((a,b,c,d)\), то зрозуміло, що\(v^t\) виражається в одній системі і\(v^c\) в іншій.

У\(\PageIndex{2}\) Рівнянні\(µ\) відображається як індекс у лівій частині рівняння, але як верхній індекс праворуч. Це, здається, порушує граматичні правила, наведені в розділі 6.7, але тлумачення тут полягає в тому\(∂/∂x_i\), що у виразах форми\(∂/∂x^i\) та верхні та індекси слід розуміти як перевернуті догори дном. Аналогічно, Рівняння,\(\PageIndex{1}\) здається, має неявну суму над\(\kappa\) написаним\(\kappa\) ungramatically, причому обидва з'являються як надскрипти. Зазвичай ми маємо на увазі лише суми, в яких індекс з'являється один раз у вигляді верхнього індексу та один раз як індекс. З нашим новим правилом інтерпретації індексів на дні похідних, мається на увазі, що мається на увазі сума написана правильно. Це правило схоже на правило для аналізу одиниць похідних, написаних у позначенні Лейбніца, з, наприклад,\(d^2 x/dt^2\) мають одиниці метрів на секунду в квадраті. Тобто, перевертання таких індексів потрібно для узгодженості, щоб все працювало належним чином, коли ми змінюємо одиниці виміру, змушуючи масштабувати всі наші векторні компоненти.

Приклад\(\PageIndex{1}\): The identity transformation

У разі перетворення тотожності\(x^{'µ} = x^µ\), Рівняння\(\PageIndex{1}\) чітко дає\(v^{'} = v\), так як всі змішані часткові похідні\(∂x^{'µ}/∂x^κ\) з\(\mu \neq \kappa\) дорівнюють нулю, а всі похідні -\(κ = µ\) рівними\(1\).

У\(\PageIndex{2}\) рівнянні спокусливо писати

\[\frac{\partial ^{\kappa }}{\partial x^{'\mu }} = \frac{1}{\frac{\partial x^{'\mu }}{\partial x^{\kappa }}}\; \; \; \; \text{wrong!}\]

але це дало б нескінченні результати для змішаних термінів! Тільки у випадку функцій однієї змінної можна відкидати похідні таким чином, це не працює для часткових похідних. Щоб оцінити ці часткові похідні, ми повинні інвертувати перетворення (що в цьому прикладі тривіально виконати), а потім взяти часткові похідні.

Приклад\(\PageIndex{2}\): Polar coordinates

Жодна з розглянутих тут методів не є особливою для відносності. Наприклад, розглянемо перетворення від полярних координат\((r,θ)\) у площині до декартових координат

\[x = r cosθ\]

\[y = r sinθ\]

Клоп сидить на краю вертушки фонографа, в\((r,θ) = (1,0)\). Поворотний стіл обертається за годинниковою стрілкою\(v^κ = (v^r,v^θ) = (0,-1)\), надаючи клопу вектор швидкості, тобто кутова швидкість дорівнює одному радіану в секунду в негативному (проти годинникової стрілки) напрямку. Давайте знайдемо вектор швидкості помилки в декартових координатах. Закон трансформації векторів дає:

\[v^x = v^{\kappa } \frac{\partial x}{\partial x^{\kappa }}\]

Розширюючи мається на увазі суму над повторюваним індексом\(κ\), ми маємо

\[\begin{align*} v^x &= v^r \frac{\partial x}{\partial r} + v^{\theta } \frac{\partial x}{\partial \theta }\\ &= (0) \frac{\partial x}{\partial r} + (-1)\frac{\partial x}{\partial \theta }\\ &= -r\sin \theta \\ &= 0 \end{align*}\]

Для\(y\) складової,

\[\begin{align*} v^y &= v^r \frac{\partial y}{\partial r} + v^{\theta } \frac{\partial y}{\partial \theta }\\ &= (0) \frac{\partial y}{\partial r} + (-1)\frac{\partial y}{\partial \theta }\\ &= -r\sin \theta \\ &= -1 \end{align*}\]