7.4: Резюме законів трансформації

Цілі навчання

• Резюме законів трансформації

Детально опрацювавши один приклад, перейдемо від конкретного до загального. У позначеннях індексу бетону Ейнштейна нехай$(x^0,x^1,x^2,x^3)$ координати перетворюються на нові координати$(x^{'0},x^{'1},x^{'2},x^{'3})$. Потім вектори трансформуються згідно з правилом

$$v^{'\mu } = v^\kappa \frac{\partial x^{'\mu }}{\partial x^\kappa }$$

де конвенція про підсумовування Ейнштейна передбачає суму над повторюваним індексом$κ$. За тими ж міркуваннями, що і в розділі 6.4, трансформація для$ω$ ковектора

$$\omega _{\mu }^{'} = \omega _\kappa \frac{\partial x^\kappa }{\partial x^{'\mu }}$$

Зверніть увагу на інверсію часткової похідної в одному рівнянні порівняно з іншим. Оскільки ці рівняння описують зміну від однієї системи координат до іншої, вони чітко залежать від системи координат, тому ми використовуємо грецькі індекси, а не латинські, які вказують на координатно-незалежне абстрактне рівняння індексу.

Буква$µ$ в цих рівняннях завжди з'являється як індекс, що відноситься до нових координат,$\kappa$ до старих. З цієї причини ми можемо піти від скидання простих чисел і написання, наприклад,

$$v^{\mu } = v^{\kappa }\frac{\partial x^{'\mu }}{\partial x^{\kappa }}$$

замість того$v'$, щоб розраховувати на контекст, щоб показати,$v^µ$ що вектор виражений в нових координатах,$v^{\kappa }$ в старих. Це стає особливо природним, якщо ми починаємо працювати в певній системі координат, де координати мають імена. Наприклад, якщо ми трансформуємо з координат$(t,x,y,z)$ в$(a,b,c,d)$, то зрозуміло, що$v^t$ виражається в одній системі і$v^c$ в іншій.

У$\PageIndex{2}$ Рівнянні$µ$ відображається як індекс у лівій частині рівняння, але як верхній індекс праворуч. Це, здається, порушує граматичні правила, наведені в розділі 6.7, але тлумачення тут полягає в тому$∂/∂x_i$, що у виразах форми$∂/∂x^i$ та верхні та індекси слід розуміти як перевернуті догори дном. Аналогічно, Рівняння,$\PageIndex{1}$ здається, має неявну суму над$\kappa$ написаним$\kappa$ ungramatically, причому обидва з'являються як надскрипти. Зазвичай ми маємо на увазі лише суми, в яких індекс з'являється один раз у вигляді верхнього індексу та один раз як індекс. З нашим новим правилом інтерпретації індексів на дні похідних, мається на увазі, що мається на увазі сума написана правильно. Це правило схоже на правило для аналізу одиниць похідних, написаних у позначенні Лейбніца, з, наприклад,$d^2 x/dt^2$ мають одиниці метрів на секунду в квадраті. Тобто, перевертання таких індексів потрібно для узгодженості, щоб все працювало належним чином, коли ми змінюємо одиниці виміру, змушуючи масштабувати всі наші векторні компоненти.

Приклад$\PageIndex{1}$: The identity transformation

У разі перетворення тотожності$x^{'µ} = x^µ$, Рівняння$\PageIndex{1}$ чітко дає$v^{'} = v$, так як всі змішані часткові похідні$∂x^{'µ}/∂x^κ$ з$\mu \neq \kappa$ дорівнюють нулю, а всі похідні -$κ = µ$ рівними$1$.

У$\PageIndex{2}$ рівнянні спокусливо писати

$$\frac{\partial ^{\kappa }}{\partial x^{'\mu }} = \frac{1}{\frac{\partial x^{'\mu }}{\partial x^{\kappa }}}\; \; \; \; \text{wrong!}$$

але це дало б нескінченні результати для змішаних термінів! Тільки у випадку функцій однієї змінної можна відкидати похідні таким чином, це не працює для часткових похідних. Щоб оцінити ці часткові похідні, ми повинні інвертувати перетворення (що в цьому прикладі тривіально виконати), а потім взяти часткові похідні.

Приклад$\PageIndex{2}$: Polar coordinates

Жодна з розглянутих тут методів не є особливою для відносності. Наприклад, розглянемо перетворення від полярних координат$(r,θ)$ у площині до декартових координат

$$x = r cosθ$$

$$y = r sinθ$$

Клоп сидить на краю вертушки фонографа, в$(r,θ) = (1,0)$. Поворотний стіл обертається за годинниковою стрілкою$v^κ = (v^r,v^θ) = (0,-1)$, надаючи клопу вектор швидкості, тобто кутова швидкість дорівнює одному радіану в секунду в негативному (проти годинникової стрілки) напрямку. Давайте знайдемо вектор швидкості помилки в декартових координатах. Закон трансформації векторів дає:

$$v^x = v^{\kappa } \frac{\partial x}{\partial x^{\kappa }}$$

Розширюючи мається на увазі суму над повторюваним індексом$κ$, ми маємо

$$\begin{align*} v^x &= v^r \frac{\partial x}{\partial r} + v^{\theta } \frac{\partial x}{\partial \theta }\\ &= (0) \frac{\partial x}{\partial r} + (-1)\frac{\partial x}{\partial \theta }\\ &= -r\sin \theta \\ &= 0 \end{align*}$$

Для$y$ складової,

$$\begin{align*} v^y &= v^r \frac{\partial y}{\partial r} + v^{\theta } \frac{\partial y}{\partial \theta }\\ &= (0) \frac{\partial y}{\partial r} + (-1)\frac{\partial y}{\partial \theta }\\ &= -r\sin \theta \\ &= -1 \end{align*}$$