Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/GreekAndCoptic.js
Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

7.6: Гучність, орієнтація та тензор Леві-Чівіти

Цілі навчання

  • Впровадження деяких геометричних машин, які використовуються як у спеціальній, так і в загальній теорії відносності

Цей необов'язковий розділ представляє деякі геометричні машини, які використовуються як у спеціальній, так і в загальній теорії відносності.

Обсяг

бажані властивості

У3+1 розмірах ми маємо природний спосіб визначення чотиривимірного об'єму, який полягає в тому, щоб вибрати систему відліку і дозволити елементу об'єму знаходитисяdtdxdydz в координатах Мінковського цього кадру. Хоча це визначення4 -обсягу викладається в терміні певних координат, воно виявляється Лоренц-інваріантним (розділ 2.5). Він також має такі бажані властивості, які ми констатуємо для довільного значенняm from1 to4:

  1. V1. Будь-які дваm -обсяги можна порівняти за їх співвідношенням.
  2. V2. Для будь-якихm ненульових векторівm -обсяг паралелепіпеда, який вони охоплюють, є ненульовим тоді і лише тоді, коли вектори лінійно незалежні (тобто якщо жоден з них не може бути виражений через інші за допомогою скалярного множення та додавання векторів).

Також хотілося б мати зручні методи роботи з трьохтомними, двооб'ємними (площа) і однооб'ємними (довжина). Алеm -томи дляm<4 дають нам головні болі, якщо ми спробуємо визначити їх так, щоб вони підкорялися як V1, так і V2. Наприклад, очевидним способом визначення length (m=1) є використання метрики, але тоді світлоподібні вектори порушуватимуть V2.

Аффінна міра

Якщо ми готові відмовитися від V1, то наступний підхід вдається. Розглянемоm=1 випадок. Ми повністю ігноруємо метрику і експлуатуємо той факт, що в спеціальній теорії відносності spacetime flat (постулат P2), так що паралелізм працює так само, як і в евклідовій геометрії. lДозволяти лінії, і припустимо, що ми хочемо визначити систему числення на цій лінії, яка вимірює, наскільки далеко один від одного події. Залежно від типу лінії, це може бути вимір часу, просторової відстані або суміш двох.

рис. 7.6.1.png
Малюнок7.6.1: Використання паралелізму для визначення 1-томи.

Спочатку довільно виділяємо дві різні точки наl і маркуємо їх0 і1, як на малюнку7.6.1. Далі підберіть якусь допоміжну точку, щоq0 не лежить наl. Побудуватиq0q1 і паралельно01 і1q1 паралельно0q0, утворюючи паралелограм, показаний на малюнку. Продовжуючи таким чином, ми маємо риштування паралелограмів, що примикають до прямої, визначаючи нескінченну решітку точок1,2,3,... на прямій, які представляють собою натуральні числа. Дроби можуть бути визначені аналогічним чином. Наприклад,12 визначається як точка така, що коли початковий відрізок решітки012 подовжується тією ж конструкцією, наступною точкою на решітці є1. Постійно мінлива змінна, побудована таким чином, називається афінним параметром. Час, виміряний годинником вільного падіння, є прикладом афінного параметра, як і відстань, виміряна галочками на вільно падаючої лінійці. Аффінний параметр можна визначити лише вздовж прямої світової лінії, а не довільної кривої. Афінне вимірювання1 -обсягу порушує V1, оскільки воно дозволяє нам лише порівнювати відстані, які лежать на ньомуl або паралельні йому. З іншого боку, він має перевагу перед метричним вимірюванням, що дозволяє нам вимірювати довжини вздовж світлоподібних ліній.

рис. 7.6.2.png
Малюнок7.6.2: Площа альта можна визначити, підрахувавши паралелограми, утворені гратами. Площа можна визначити з будь-якою потрібною точністю, розділивши паралелограми на дробові частини, які настільки малі, наскільки це необхідно.

На малюнку7.6.2 показано, як визначити афінну міру2 -обсягу, і подібний метод працює для3 -volume.

Лінійність

рис. 7.6.3.png
Малюнок7.6.3: Лінійність площі. Подвоєння вектора a подвоює площу.

Припустимо, що паралелограм утворений з векторами a і b як дві його сторони. Це ми подвоюємо а, то площа подвоюється, а також,

area(2a,b)=2area(a,b)

Загалом, якщо ми масштабуємо будь-який з векторів за коефіцієнтомc, площа масштабується на той самий коефіцієнт, за умови, що ми встановимо якесь правило для обробки знаків - проблема, яку ми відкладемо до розділу Орієнтація нижче. Щось подібне відбувається, коли ми додаємо два вектори, наприклад,

area(a,b+c)=area(a,b)+area(a,c)

знову відкладаючи питання зі знаками. Ми називаємо ці властивості лінійністю2 афінного об'єму. Будь-яка розумна міра m-обсягу повинна мати подібні властивості лінійності.

зміна основи

рис. 7.6.4.png
Малюнок7.6.4: Віола має різну площу при вимірюванні за допомогою іншого паралелограма в якості одиниці.

Оскільки ми досі не використовували метрику, всі наші заходи площі були відносними, а не абсолютними. Як показано на малюнку7.6.4, вони залежать від того, який паралелограм ми виберемо в якості нашої одиниці площі. Одинична комірка на малюнку7.6.4 (2) менша, ніж на малюнку7.6.1 (1), з двох причин: вектори, що визначають ребра, коротші, а кут між ними менший. Такі слова, як «коротше» та «кут», показують, що ми вдаємося до метричного вимірювання, але ми також могли б виконати порівняння, не використовуючи метрику, просто використовуючи паралелограм1 для вимірювання паралелограма2 або2 вимірювання1. Якщо розглядати таку пару векторів як базисні вектори для площини, то перемикання нашого вибору одиничного паралелограма еквівалентно зміні базису. Ділянки змінюються пропорційно визначнику матриці, що визначає зміну основи.

Приклад7.6.1: A halFLing basis

Припустимоa=a/2, що, іb=b/2. Зміна базису від негрунтованої пари на загрунтовану парі задається матрицею.

(2002)

який має детермінант4. Зменшення обох базисних векторів в2 множник призвело до зменшення площі одиничного паралелограма4 в множник. Якщо використовувати загрунтований паралелограм для вимірювання інших площ, то всі площі вийдуть більше в рази4.

Обертання та підсилення Лоренца - це зміни основи. Вони мають детермінанти, рівні1, тобто зберігають об'єм простору-часу.

Орієнтація

рис. 7.6.5.png
Малюнок7.6.5: Лінійність площі вимагає, щоб деяким областям були присвоєні негативні значення.

Як показано на малюнку7.6.5, лінійність площі вимагає, щоб деяким областям були присвоєні негативні значення. Якщо порівняти області+1 і1, то побачимо, що єдина відмінність полягає в орієнтації, або передачі. У випадку, якому ми довільно присвоїли область+1, вектор b лежить проти годинникової стрілки від вектора a, але коли a перевертається, відносна орієнтація стає за годинниковою стрілкою.

Якщо у вас був звичайний першокурсник фізики, то ви бачили, що це питання розглядається певним чином, який полягає в тому, що ми припускаємо, що третій вимір існує, і визначаємо область, щоб бути векторним перехресним добуткомa×b, який перпендикулярний площині, населеноїa іb. Біда при такому підході полягає в тому, що він працює лише в трьох вимірах. У чотирьох вимірах припустимо, що a лежить вздовжx -осі, аb вздовжt -осі. Тоді, якщо ми повинні були визначитиa×b, це повинно бути в напрямку, перпендикулярному обох з них, але у нас є більше одного такого напрямку. Ми могли вибрати все, що завгодно вyz літаку.

Щоб розпочати роботу з цього питання в m розмірах, деm не обов'язково дорівнює3, можна розглянутиm -обсягm -мірного паралелепіпеда, охопленогоm векторами. Наприклад, припустимо, що в4 -мірному просторовічасі ми вибираємо нашіm вектори як одиничні вектори, що лежать уздовж чотирьох осей координат Мінковськогоˆt,ˆx,ˆyandˆz. З досвіду роботи з векторним перехресним добутком, який є антикомутативним, ми очікуємо, що знак результату буде залежати від порядку векторів, тому давайте візьмемо їх у такому порядку. Зрозуміло, що є лише два розумні значення, які ми могли собі уявити для цього обсягу:+1 або1. Вибір довільний, тому робимо довільний вибір. Припустимо, що саме+1 для цього замовлення. Це означає вибір орієнтації на простору-час.

Приховане і нетривіальне припущення полягало в тому, що як тільки ми зробили цей вибір в один момент простору-часу, він може бути перенесений в інші регіони простору-часу послідовно. Це не повинно бути так, як запропоновано на малюнку7.6.6.

рис. 7.6.6.png
Малюнок7.6.6: Смуга Мебіуса не є орієнтованою поверхнею.

Однак нашою темою на даний момент є особлива відносність, і, як коротко обговорюється в розділі 2.4, зазвичай передбачається в спеціальній теорії відносності, що просторово-час топологічно тривіальний, так що це питання виникає тільки в загальній теорії відносності, і тільки в просторовічаси, які, ймовірно, не є реалістичними моделями наш Всесвіт.

Оскільки4 -volume є інваріантним при обертаннях та перетвореннях Лоренца, нашого вибору орієнтації достатньо, щоб виправити визначення4 -обсягу, який є інваріантом Лоренца. Якщо векториab,c,, іd охоплюють a4 -паралелепіпед, то лінійність обсягу виражається тим, що існує набір коефіцієнтів,ϵijkl таких, що

V=ϵijklaibjckdl

Зазначаючи це таким чином, ми інтерпретуємо його як абстрактне позначення індексу, і в цьому випадку відсутність будь-яких індексівV означає, що це не просто інваріант Лоренца, але й скаляр.

Приклад7.6.2: HaLFLing coordinates

(t,x,y,z)Дозволяти координати Мінковського, і нехай(t,x,y,z)=(2t,2x,2y,2z). Розглянемо, як впливає кожен з факторів у нашому рівнянні об'єму, коли ми робимо цю зміну координат.

Vno change=ϵκλμν×1/16aκ×2bλ×2cμ×2dν×2

Оскільки наша конвенція полягає вV тому, що це скаляр, він не змінюється при зміні координат. Це змушує нас говорити про те, що складові змінюються по фактору1/16 в цьому прикладі.

Результат Прикладу7.6.2 говорить нам, що згідно з нашою конвенцією цей обсяг є скаляром, компоненти повинні змінюватися, коли ми змінюємо координати. Можна стверджувати, що було б логічніше думати про трансформацію в цьому прикладі як про зміну одиниць, і в цьому випадку значенняV буде різним у нових одиницях; це можлива альтернативна конвенція, але вона мала б недолік унеможливлення зчитування властивості перетворення об'єкта від числа і положення його індексів. Згідно з нашою конвенцією, ми можемо таким чином зчитувати властивості трансформації. Хоча розділ 7.4 представив ці властивості лише у випадку тензорів рангу0 і1, відклавши загальний опис тензорів вищого рангу до розділу 9.2, властивості перетворення є, якϵ це передбачено чотирма його індексами, властивостями тензора рангу 4. Різні автори використовують різні умовності щодо визначенняϵ, яке спочатку було описано математиком Леві-Чівіта.

рис. 7.6.7.png
Малюнок7.6.7: Тулліо Леві-Чівіта (1873-1941) працював над моделями систем числення, що володіють нескінченними величинами, і над диференціальною геометрією. Він винайшов тензорні позначення, які Ейнштейн дізнався зі свого підручника. Він був призначений на престижні наділені кафедри в Падуї та Римському університеті, але був звільнений у 1938 році, оскільки він був євреєм і антифашистом.

Оскільки за нашою умовністюϵ є тензором, ми називаємо його тензором Леві-Чивіта. В інших конвенціях, деϵ не тензор, його можна назвати символом Леві-Чівіта. Оскільки позначення не стандартизовані, я іноді ставлю нагадування поруч із важливими рівняннями, щоϵ містять твердження, що це тензоріалϵ.

Тензор Levi-Civita має багато і багато індексів. Страшно! Уявіть собі складність цього звіра. (Риб.) У нас є чотири варіанти для першого індексу, чотири для другого, і так далі, так що загальна кількість компонентів є256. Зачекайте, не дотягуйтеся до kleenex. Наступний приклад показує, що ця складність є ілюзорною.

Приклад7.6.3: Volume in Minkowski coordinates

Ми створили наші визначення так, що для паралелепіпедаˆt,ˆx,ˆy,ˆz, ми маємоV=+1. Тому

ϵtxyz=+1

за визначенням, і оскільки4 -volume є інваріантним Лоренцем, це стосується будь-якого набору координат Мінковського.

Якщоx помінятися іy скласти списокˆt,ˆy,ˆx,ˆz, то як на малюнку7.6.5 обсяг стає1, так

ϵtyxz=1

Припустимо, ми беремо краю нашого паралелепіпеда бутиˆt,ˆx,ˆx,ˆz, зy опущеними іx дубльованими. Ці чотири вектори не лінійно незалежні, тому наш паралелепіпед вироджений і має нульовий обсяг.

ϵtxxz=0

З цих прикладів ми бачимо, що як тільки будь-який елемент був зафіксований, всі інші також можуть бути визначені. Правило полягає в тому, що обмін будь-якими двома індексами перевертає знак, а будь-який повторюваний індекс робить результат нулем.

Приклад7.6.3 показує, що вигадливий символϵijkl, який виглядає як таємний ієрогліф майя, що викликає256 різні числа, насправді кодує інформацію лише одного числа; кожен компонент тензора або дорівнює цьому числу, або мінус це число, або нуль. Припустимо, ми працюємо в деякому наборі координат, який може бути не Мінковський, і ми хочемо знайти це число. Складним способом знайти це було б використання закону тензорного перетворення для4 ранг-тензора (розділ 9.2). Набагато простішим способом є використання визначника метрики, розглянутого в прикладі 6.2.1. Для списку координат ijkl, які відсортовані в порядку, який ми визначаємо як позитивну орієнтацію, результат простоϵijkl=|detg|. Знак абсолютного значення потрібен тому, що релятивістська метрика має негативний детермінант.

Приклад7.6.4: Cartesian coordinates and their halFLIng versions

Розглянемо евклідові координати в площині, щоб метрика була2×2 матрицею, іϵij мала всього два індекси. У стандартних декартових координатах метрика єg=diag(1,1), яка маєdetg=1. Таким чином, тензор Леві-Чівіта маєϵxy=+1\]),anditsotherthreecomponentsareuniquelydeterminedfromthisonebytherulesdiscussedinExample\(7.6.3. (Ми могли б перевернути всі знаки, якби хотіли вибрати протилежну орієнтацію для площини.) У матричній формі ці правила призводять до

ϵ=(0110)

Тепер трансформуємо в координати(x,y)=(2x,2y). У цих координатах метрикаg=diag(1/4,1/4), зdetg=1/16, так щоϵxy=1/4, або в матричній формі,

ϵ=(01/41/40)

Приклад7.6.5: Polar coordinates

У полярних(r,θ) координатах метрика єg = diag(1,r^2), яка має детермінантr^2. Тензор Леві-Чівіта є

\epsilon = \begin{pmatrix} 0 & r\\ -r & 0 \end{pmatrix}

(беручи ту ж орієнтацію, що і в прикладі\PageIndex{4}).

Приклад\PageIndex{6}: Area of a circle

Знайдемо площу одиничного кола. Його (підписана) площа

A = \int \text{2-volume}(dr, d\theta )

де порядокdr і вибирається так, що з орієнтацією, яку ми використовували для площини, результат вийде позитивним. Використовуючи визначення тензора Леві-Чивіта, ми маємо

\begin{align*} A &= \int \epsilon _{r\theta } dx^r dx^\theta \\ &= \int_{r = 0}^{1}\int_{\theta =0}^{2\pi }rdrd\theta \\ &= \pi \end{align*}

3-об'ємний ковектор

Розглянемо обсяг тривимірного підпростору чотиривимірного просторучасу. Лінійність призводить до особливо простої характеристики3 -обсягу. Нехай3 -volume визначається паралелепіпедом, що охоплюється векторамиab, іc. Якби ми кинули четвертий векторd, у нас був би4 -volume, а4 -volume - скаляр. Цей4 -обсяг буде залежати лінійно від усіх чотирьох векторів, і, зокрема, він буде залежати лінійно відd. Але це означає, що у нас є скаляр, який є лінійною функцією вектора, і така функція саме те, що ми маємо на увазі під ковектором. Тому ми можемо визначити об'ємний ковекторS відповідно до

S_l d^l = \text{4-volume(a,b,c,d)}

або

S_l = \epsilon _{ijkl} a^i b^j c^k \; \; \; \; [\text{tensorial }\epsilon ]

рис. 7.6.8.png
Малюнок\PageIndex{8}: Інтерпретація 3-об'ємного ковектора.

Об'ємний ковектор збирає інформацію про обсяг3 -паралелепіпеда, інкапсулюючи його в зручній формі з відомими властивостями перетворення. Зокрема, твердження і доказ теореми Гаусса в3 + 1 розмірах значно спрощуються за рахунок використання цього інструменту. Ковектор3 -обсяг, на відміну від афінного3 -обсягу, визначається в абсолютному сенсі, а не по відношенню до якогось паралелепіпеда, довільно обраного в якості стандарту. І ковектор, і афінний об'єм не задовольняють властивість порівняння коефіцієнтів V1, оскільки ми не можемо порівнювати обсяги, якщо вони не лежать в паралельних3 площинам.

Ми візуалізуємо ковектори вn розмірах у вигляді штабелів(n-1) розмірних площин (рис. 6.3.1; рис. 6.6.1). Тому об'ємний тривимірний вектор повинен бути візуалізований як стек3 -площин у чотиривимірному просторі. Оскільки більшість з нас не може візуалізувати речі дуже добре в чотирьох вимірах, фігура\PageIndex{8} опускає один з розмірів, так що3 -поверхні виглядають як двовимірні площини. Малий фігурка руки \PageIndex{1}(1) має певний3 -обсяг, а ковектор, який її вимірює, представлений стеком3 -площин, паралельних їй, малюнок \PageIndex{1}(2). Більша фігура руки \PageIndex{1}(3) має вдвічі більший3 об'єм, а її ковектор представлений стопкою площин з половиною відстані.

Якщо відступити від чотирьох вимірів до трьох, то об'ємний ковектор утворений векторамиu іv стає векторним перехресним добуткомS = u×v, т. ЕS_k = \epsilon _{ijk} u^i v^j.

Приклад\PageIndex{7}: A vector cross product

Розглянемо евклідовий 3-простір у декартових координатах. З фізики першокурсника ми знаємо, що

\hat{z} = \hat{x}\times \hat{y}

Перевиражаючи це в позначеннях вищеu^x = 1, ми маємоv^y = 1, і нуль для всіх інших компонентівu іv. Оскільки тензор Levi-Civita зникає, якщо у нас є якісь дубльовані індекси, його єдиний незникаючий компонент, який може бути актуальним тут\epsilon _{xyz}= 1. (Тут ми припускаємо стандартну правосторонню орієнтацію для декартових координат, і ми використовуємо той фактg = diag(1,1,1), що, так щоdetg = 1.) Результат -

S_z = \epsilon _{xyz}u^x v^x = 1

як очікувалося. (Тут не має значення, чи ми говоримо проS_z абоS^z, тому що за допомогою цієї метрики підвищення та зниження індексів не змінює компоненти вектора.)

Класифікація 3-поверхонь

Корисним застосуванням ковектора3 -об'єму є класифікація3 -поверхонь за тим, як вони відносяться до світлового конуса. Якщо прибити три палички, всі під прямим кутом один до одного, то я можу розглядати їх як набір базисних векторів, що охоплюють тривимірний простір подій. Цей трипростір плоский, тому ми можемо назвати його гіперплощиною - або просто площиною, якщо, як і в цьому розділі, немає небезпеки забути, що він має три виміри, а не два. Всі події в цій площині є одночасними в моїй системі відліку. Жоден з цих фактів не залежить від використання прямих кутів; нам просто потрібно переконатися, що палички не всі лежать в одній площині.

Справа фізика полягає в тому, щоб в кінцевому рахунку робити прогнози. Тобто, якщо дати набір початкових умов, ми можемо сказати, як наша система буде розвиватися через час. Ці початкові умови в принципі вимірюються по всьому простору, і площина одночасності буде природним вибором для множини точок, в яких слід проводити вимірювання. Поверхня, яка використовується для цієї мети, називається поверхнею Коші.

Якщо площина є поверхнею одночасності на думку якогось спостерігача, то ми називаємо її космічною. Світова лінія будь-якої частинки повинна перетинати таку площину рівно один раз, і саме тому вона працює як поверхня Коші: ми гарантовано виявляємо частинку, щоб ми могли врахувати її вплив на еволюцію космосу. Ми могли б взяти космічний літак і переорієнтувати його. Для досить невеликої зміни орієнтації (тобто зміни, яку можна було б описати досить невеликими змінами базових векторів), вона залишиться схожою на простір.

Коли площина не схожа на простір і залишається такою при будь-якій досить невеликій зміні орієнтації, ми називаємо це timeslike. У координатах Мінковського прикладом може бутиt-x-y літак. Світова лінія даної частинки ніколи не може перетнути таку поверхню, і тому подібну до часу площину не можна використовувати як поверхню Коші.

Літак, який не є ні космічним, ні схожим на час, називається світлоподібним. Прикладом може служити поверхня, визначена рівняннямx = t в координатах Мінковського.

Вищевказану класифікацію можна висловити дуже стисло, використовуючи ковектор3 -об'єм, визначений вище. Площина є космічною, світлоподібною або схожою на час, відповідно, якщо регіони, які вона містить, описуються ковекторами3 -об'ємом, які є часовими, світлоподібними або космічними. Поверхня, яка є гладкою, але не обов'язково плоскою, може бути описана локально відповідно до цих категорій, враховуючи її дотичну площину. Наприклад, світловий конус є світлоподібним у кожній його точці, і оскільки він скрізь світлий, ми називаємо його світлоподібною поверхнею. Горизонт подій чорної діри також є світлоподібною поверхнею. Будь-яка космічна поверхня, вигнута або плоска, може бути використана як поверхня Коші.

Світлоподібні поверхні мають деякі кумедні властивості. Використовуючи позначення birdtracks, припустимо, що ми формуємо таку поверхню, як простір, що охоплюється трьома базисними векторами\to a\to b\to c, і, і нехайS \to буде відповідний3 -об'ємний ковектор. Поверхня світлоподібна, тому

S \to S = 0

Тому щоS \to визначається як функція, що дає4 -обсяг паралелепіпеда, що охоплюється основами з четвертим вектором\to d, і оскільки цей обсяг\to d зникає, коли дотична до поверхні (властивість V2), ми маємо,

S \to a = S \to b = S \to c = 0

Так що в цьомуS \to сенсі перпендикулярно поверхні. У евклідовому просторі ми звикли описувати орієнтацію поверхні з точки зору одиничного нормального вектора, і це майже те, щоS \to є, за винятком того, що це ковектор, а не вектор, і він також не може бути змушений мати одиничну довжину, оскільки його величина дорівнює нулю. Ми могли б виправити першу з цих двох проблем, побудувавши вектор,\to S який є подвійнимS\to , але це має збентежений ефект. Поєднуючись\PageIndex{17} з визначеннямS\to , ми виявляємо, що\to S охоплює зникаючий4 -обсяг з базисними векторами, і тому по V2 ми знаходимо, що\to S дотична до поверхні. Таким чином, у певному сенсі ми маємо вектор, який є паралельним і дотичним до поверхні, що дозволяє уникнути абсурду, оскільки ми дійсно маємо на увазі два різні об'єкти, ковекторS\to і вектор\to S.