7.E: Координати (вправи)

Q1

У прикладі 7.4.2 обговорюються полярні координати в евклідовій площині. Використовуйте техніку, продемонстровану в розділі 7.3, щоб знайти метрику в цих координатах.

Q2

Похилі декартові координати схожі на звичайні декартові координати в площині, але їх осі знаходяться під кутом одна$\varphi \neq \pi /2$ до одної. Показати, що метрика в цих координатах є

$$ds^2 = dx^2 + dy^2 + 2cos\varphi dxdy$$

Q3

Нехай рівнянням$U$ буде визначено$3$ -площину в координатах Мінковського$x = t$. Це площина простір, схожий на час, або світло? Знайдіть ковектор$S\to$, який є нормальним до$U$ в сенсі, описаному в розділі 7.6, описуючи його з точки зору його складових. Обчислити вектор$S$, також у вигляді компонента. Переконайтеся, що$S\to S = 0$. Показати,$\to S$ що дотичне до$M$.

Q4

Для косих декартових координат, визначених у задачі Q2, використовуйте детермінант метрики, щоб показати, що тензор Леві-Чивіта дорівнює

$$\epsilon = \begin{pmatrix} 0 & \sin \varphi \\ -\sin \varphi & 0 \end{pmatrix}$$

Q5

Використовуйте методику, продемонстровану в прикладі 7.6.6, щоб знайти об'єм одиничної сфери.