7.3: Перетворення метрики

Цілі навчання

• Поясніть перетворення метрики при зміні координат Мінковського

Продовжуючи приклад прискорених координат, давайте знайдемо, що відбувається з метрикою, коли ми змінюємо координати Мінковського. Координати Мінковського по суті визначаються так, що метрика має звичну форму з коефіцієнтами$+1$ і$-1$. У відносності часто представляють метрику, показуючи її результат при застосуванні до нескінченно малого зміщення$(dt,dx)$:

$$ds^2 = dt^2 - dx^2$$

Тут$ds$ би представляли належний час, в тому випадку, коли зміщення було схожим на час. Оскільки ми вже визначили, що

$$dt = X \cosh T dT + \sinh T dX$$

і

$$dx = X \sinh T dT + \cosh T dX$$

ми можемо просто підставити в вираз для ds, щоб знайти форму метрики в$(T,X)$ координатах. Використовуючи особистість$\cosh ^2 - \sinh ^2 = 1$, знаходимо

$$ds^2 = X^2 dT^2 - dX^2$$

Змінне значення$dT^2$ коефіцієнта насправді є саме таким ефектом розширення гравітаційного часу, існування якого ми передбачили в розділі 5.2 на основі принципу еквівалентності. Форма метрики виведена була

$$ds^2 ≈ (1 + 2∆Φ) dT^2 - dX^2$$

де$∆Φ$ - різниця гравітаційного потенціалу щодо деякої опорної висоти. Одним із використовуваних наближень було припущення, що діапазон висот$X$ був невеликим, але з урахуванням цього наближення два результати повинні погодитися. Для зручності розглянемо спостерігачів в тому регіоні$X ≈ 1$, де прискорення приблизно$1$. Тоді$∆Φ = Φ(1 + ∆X) - Φ(1) ≈ \text{(acceleration)(height)} ≈ X$, так коефіцієнт часу в другій формі метрики дорівнює$≈ 1+2∆Φ ≈ 1+2∆X$. Але щоб в межах бажаного рівня наближення, це те ж саме, що$X^2 = (1+∆X)^2 ≈ 1 + 2∆X$.

Процедура, застосована вище, працює в цілому. Для перетворення метрики з координат$(t,x,y,z)$ в нові$(t',x',y',z')$ координати отримуємо негрунтовані координати в терміні загрунтованих, беремо диференціали з обох сторін і усуваємо на користь$t, ..., dt, ...$$t', ...dt', ...$ в виразі for$ds^2$. У розділі 9.2 ми побачимо, що це приклад більш загального закону перетворення для тензорів, математичних об'єктів, які узагальнюють вектори та ковектори так само, як матриці узагальнюють вектори рядків і стовпців. Скаляр, без індексів, називається тензором рангу$0$. Вектори і ковектори, що мають один індекс, називаються ранг-$1$ тензорами.

Приклад$\PageIndex{1}$: A map projection

Оскільки земна поверхня вигнута, неможливо зобразити її на плоскій карті без спотворень. $φ$Дозволяти широта, θ кут, виміряний вниз від північного полюса (відомий як широта), обидва вимірюються в радіанах, і нехай a буде радіус землі. Тоді за визначенням радіанової міри нескінченно мале зміщення північ-південь на$dθ$ відстань$adθ$. Точка на заданій широті$θ$ лежить на відстані$a \sinθ$ від осі, тому для нескінченно малої відстані схід-захід ми маємо$a \sin θ dφ$. Для зручності нехай агрегати будуть обрані такі, що$a = 1$. Тоді метрика, з підписом$++$, є

$$ds^2 = dθ^2 +\sin^2 θ dφ$$

Одним з багатьох можливих способів формування плоскої карти є циліндрична проекція Ламберта,

$$x = φ$$

$$y = \cosθ$$

показано на малюнку$\PageIndex{1}$. Якщо ми бачимо відстань на карті і хочемо знати, наскільки вона насправді знаходиться на земній поверхні, нам потрібно

перетворити метрику в$(x,y)$ координати. Обернене перетворення координат дорівнює

$$φ = x$$

$$θ = \cos^{-1} y$$

Беручи диференціали з обох сторін, отримуємо

$$dφ = dx$$

$$d\theta = -\dfrac{dy}{\sqrt{1-y^2}}$$

Беремо метрику і усуваємо$θ$,$φ$,$dθ$, і$dφ$, знаходячи

$$ds^2 = (1 - y^2)dx^2 + \dfrac{1}{1 - y^2}dy^2$$

На малюнку$\PageIndex{1}$ візерунок в горошок складається з фігур, які насправді є колами, всі однакового розміру, на земній поверхні. Оскільки вони досить малі, ми можемо наблизити$y$ як мають одне значення для кожного кола, а це означає, що вони представлені на плоскій карті як приблизні еліпси з їх розмірами схід-захід розтягнуті на,$(1 - y^2)^{-1/2}$ а їх північ-південь зменшені$(1 - y^2)^{1/2}$. Оскільки ці два фактори зворотні один одному, площа кожного еліпса така ж, як і площа вихідного кола, і тому така ж, як і у всіх інших еліпсів. Вони є візуальним зображенням метрики, і вони демонструють рівноплову властивість цієї проекції.

Малюнок$\PageIndex{1}$: Візерунок в горошок складається з фігур, які фактично є колами, всі однакового розміру, на земній поверхні.