7.2: Трансформація векторів

Цілі навчання

• Поясніть, як трансформувати вектори

Тепер припустимо, ми хочемо перетворити вектор, компоненти якого виражаються в\((T,X)\) координатах в компоненти, виражені в\((t,x)\).

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Перетворення між координатами Мінковського\((t,x)\) та прискореними координатами\((T,X)\)

Нашим найпростішим прикладом вектора є зміщення\((∆T,∆X)\), і якщо ми зробимо це нескінченно малим,\((dT,dX)\) то нам не потрібно турбуватися про те, що діаграма на малюнку\(\PageIndex{1}\) має криві - крупним планом криві виглядають як прямі лінії. ¹ Якщо ми думаємо про координату\(t\) як функцію двох змінних\(t = t(T,X)\),\(t\) то змінюється з двох різних причин:\(T\) змінюється її перший вхід, а також другий вхід\(X\). \(t\)Якби була лише функція однієї змінної\(t(T)\), то зміна в\(t\) було б дано просто правилом ланцюга,\(dT = \frac{dt/dT}{d} T\). Оскільки він насправді має дві такі причини для зміни, ми додаємо дві зміни:

\[dt = \frac{\partial t}{\partial T} dT + \frac{\partial t}{\partial X} dX\]

Похідні є частковими похідними, і ці похідні існують, оскільки, як ми завжди будемо вважати, зміна координат плавна. Точно аналогічний вираз застосовується для\(dx\).

\[dx = \frac{\partial x}{\partial T} dT + \frac{\partial x}{\partial X} dX\]

Перш ніж провести подробиці цього розрахунку, зупинимося і відзначимо, що результати поки повністю загальні. Оскільки ми досі не використовували фактичні рівняння для цієї конкретної зміни координат, ці вирази застосовуватимуться до будь-якого такого перетворення, включаючи особливі випадки, з якими ми стикалися досі, такі як перетворення Лоренца та масштабування. (Наприклад, якби ми масштабували за коефіцієнтом\(α\), то всі часткові похідні просто дорівнювали б\(α\).). Крім того, наше визначення вектора полягає в тому, що вектор - це все, що перетворюється як вектор. Оскільки ми встановили, що наведені вище правила застосовуються до вектора зміщення, ми робимо висновок, що вони також застосовуватимуться до будь-якого іншого вектора, скажімо, вектору енергії-імпульсу.

Повертаючись до цього конкретного прикладу, застосування фактів

\[\frac{\mathrm{d} \sinh u}{\mathrm{d} u} = \cosh u\; \; \text{and}\; \; \frac{\mathrm{d} \cosh u}{\mathrm{d} u} = \sinh u\]

говорить нам, що вектор\((dT,dX)\) перетворюється на:

\[(dt,dx) = (X \cosh T dT + \sinh T dX ,\; X \sinh T dT + \cosh T dX)\]

Як приклад того, як це універсально застосовується до будь-якого типу вектора, припустимо, що спостерігач на борту космічного корабля зі світовою лінією\((T,X) = (τ,1)\) має улюблене прес-пап'є з масою\(m\). Згідно з вимірами, проведеними на борту її корабля, його енергетично-імпульсний вектор становить:

\[(p_T,p_X) = (m,0)\]

У неприскореному координатах це стає

\[\begin{align*} (p_t,p_x) &= (X \cosh T p_T + \sinh T p_X ,\; X \sinh T p_T + \cosh T p_X)\\ &= (mX\cosh T,\; mX\sinh T)\\ &= (m\cosh \tau ,\; m\sinh \tau ) \end{align*}\]

Оскільки функції cosh і sinh поводяться як\(e^x\) для великих\(x\), ми виявляємо, що після того, як космонавт витратив розумну кількість належного часу на\(τ\) прискорення, масова енергія та імпульс прес-пап'є виростуть до того моменту, коли це дивовижна зброя масового знищення, здатна знищення цілої галактики.

Посилання

¹ Тут ми використовуємо той факт, що зміна координат була плавною, тобто дифеоморфізм. Інакше криві можуть мати перегини в них, які все одно виглядали б як перегини при будь-якому збільшенні.