6.7: Абстрактне позначення індексу

Цілі навчання

• Розробка деяких математичних позначень, пов'язаних з хвилями

Ця глава зосереджена на фізиці хвиль, але по дорозі ми виявили корисним створити деякі математичні ідеї, такі як ковектори, які мають застосування в набагато ширшому фізичному контексті. У цьому розділі ми розробимо деякі пов'язані позначення.

Вирази в позначеннях birdtracks, такі як

може бути незручно друкувати на комп'ютері, тому ми вже іноді вдаються до більш лінійних позначень, таких як\((∇C)\to s\). Для більш складних пташиних доріжок діаграми іноді виглядають як складні електричні схеми, і проблема їх генерації на клавіатурі стає більш гострою. Насправді існує систематичний спосіб представлення будь-якого такого виразу, використовуючи лише звичайні індекси та верхні індекси. Це називається абстрактним позначенням індексу, і було введено Роджером Пенроузом приблизно в той же час, коли він винайшов пташині доріжки. З практичних причин саме абстрактне позначення індексу прижилося.

Ідея полягає в наступному. Припустимо, ми хотіли описати складний пташиний трек усно, щоб хтось інший міг її намалювати. Діаграма буде складатися з різних менших частин, типова виглядає щось на зразок скалярного добутку\(u\to v\). Словесні вказівки можуть бути такими: «У нас є об'єкт u зі стрілкою, що виходить з нього. Для довідки давайте позначимо цю стрілку як\(a\). Тепер пам'ятайте, що інший об'єкт, який\(v\) я мав, ви малювали раніше? Там була стрілка, яка входила в ту, яку ми також позначили а Тепер з'єднайте дві стрілки з позначкою a».

Скорочуючи цей довгий опис до мінімального мінімуму, Penrose робить його таким чином:\(u_a v^a\). Індекси зображують стрілки, що виходять із символу (подумайте про воду, що витікає з резервуара через трубу внизу). Надскрипти вказують на стрілки, що йдуть в. Коли одна і та ж буква використовується як верхній і нижній індекс, дві стрілки повинні бути об'єднані між собою.

Абстрактні позначення індексу еволюціонували з попередньої, яка називається конвенцією підсумовування Ейнштейна, в якій верхні та індекси посилалися на конкретні координати. Наприклад, ми можемо взяти,\(0\) щоб бути координатою часу,\(1\) бути\(x\), і так далі. Символ, як\(u_λ\) би тоді вказував на компонент подвійного вектора\(u\), який міг би бути його\(x\) компонентом, якщо взяти на\(λ\) себе значення\(1\). Повторні показники були підсумовані.

Перевага позначення birdtrack та абстрактних індексів полягає в тому, що вони незалежні від координат, так що рівняння, записане в них, дійсне незалежно від вибору координат. Позначення Ейнштейна та абстрактного індексу виглядають дуже схожими, тому, наприклад, якщо ми хочемо взяти загальний результат, виражений у абстрактно-індексних позначеннях, і застосувати його в певній системі координат, переклад по суті не потрібно. Насправді, два позначення виглядають настільки схожими, що нам потрібен явний спосіб сказати, що є, так що ми можемо сказати, чи є конкретний результат координатно-незалежним. Тому ми використовуємо угоду про те, що латинські індекси представляють абстрактні індекси, тоді як грецькі мають на увазі конкретну систему координат і можуть приймати числові значення, наприклад,\(λ = 1\).

Нижче наведено кілька прикладів еквівалентних рівнянь, записаних пліч-о-пліч у пташиних доріжках та абстрактних індексних позначеннях.

Зсув\(o\) спостерігача у просторовому часі є вектором:

\[\to o\; \; \; \; o^a\]

У нотації Ейнштейна незручно виражати вектор в цілому, тому що в позначенні\(o^λ\), як,\(λ\) передбачається взяти на себе певне значення. Якби ми мали\(o^λ\) на увазі весь вектор, це було б зловживанням позначеннями. У абстрактних позначеннях індексу, однак, a - це просто ім'я, яке ми дали трубі, що входить у вектор\(o\); той факт, що нам не потрібно посилатися на ім'я для того, щоб підключити його до якоїсь іншої труби, не має значення.

Частота хвилі - це ковектор:

\[\omega \to \; \; \; \; \omega _a\]

Спостерігач відчуває належний час\(τ\):

\[o \to o = \tau ^2 \; \; \; \; o_a o^a = \tau ^2\]

Зовнішніх стрілок у версії birdtracks немає, а в абстрактно-індексному варіанті всі нижні індекси (труби, що виходять) були спарені з верхніми індексами (труби, що надходять); це вказує на те, що належний час є скалярним, і тому незалежним від будь-якого вибору системи координат. У позначеннях Ейнштейна це стає\(o_\lambda o^\lambda\), з неявною сумою над повторюваним індексом,\(\sum _\lambda o_\lambda o^\lambda\). Це\(λ\) стосується певної системи координат, тому в позначеннях Ейнштейна більше не очевидно, що рівняння тримається незалежно від нашого вибору координат.

Світова лінія, вздовж якої хвиля поширюється, лежить вздовж вектора, ортогонального до частотного ковектора хвилі:

\[\omega \to u = 0 \; \; \; \; \omega _a u^a = 0\]

Частотний ковектор - це градієнт фази:

Наступні граматичні правила застосовуються як до абстрактно-індексного, так і до позначення Ейнштейна:

1. Повторні показники відбуваються парами, причому один вгору і один вниз і два множники один на одного.
2. Ігноруючи індекси, які є парними, як у правилі 1, всі інші індекси повинні відображатися рівномірно у всіх вираженнях та з обох сторін рівняння. «З'являтися рівномірно» означає, що індекс не може бути відсутнім і не може бути верхнім індексом у деяких місцях, а індексом у інших.
3. З причин, які слід пояснити в розділі 7.4, часткова похідна щодо координати, наприклад\(\partial /\partial x^k\), розглядається так, ніби індекс був індексом, і навпаки\(\partial /\partial x_k\) вважається, що має надскрипт\(k\).

У абстрактно-індексних позначеннях правило 1 випливає, оскільки індекси - це просто мітки, що описують, як у позначеннях birdtracks труби повинні бути підключені. Порушення правила 1, як і у виразі на\(v^a v^a\) кшталт, виробляє величину, яка насправді не поводиться як скаляр. Прикладом порушення правила 2 є\(v^a = ω_a\). Це не має сенсу, з тієї ж причини, що немає сенсу прирівняти вектор рядка до вектора стовпця в лінійній алгебрі. Навіть якщо рівняння, подібне до цього, тримається в одній системі відліку, воно не вдасться в іншому, оскільки ліва і права сторони змінюються по-різному під імпульсом.

У розділі 6.4 ми обговорювали поняття знаходження ковектора, який був подвійним до заданого вектора, і вектора подвійного до даного ковектора. Оскільки відмінність між векторами і ковекторами представлена в індексних позначеннях шляхом розміщення індексу зверху або знизу, релятивісти називають такого роду речі як підвищення і зниження індексів. Взагалі цей вид маніпуляцій називається «індексною гімнастикою». Ось як виглядає підвищення і зниження індексів.

Перетворення вектора в його ковекторну форму:

\[u_a = g_{ab}u^b\]

Зміна ковектора на відповідний вектор:

\[u^a = g^{ab}u_b\]

Символ\(g^{ab}\) відноситься до зворотної матриці\(g_{ab}\).