3.6: Деякі кінематичні ідентичності

Цілі навчання

• Перелік різних рівнянь і тотожностей кінематики

Крім відносин

$$D(v) = \sqrt{\frac{1+v}{1-v}}$$

і

$$v_c = \frac{v_1 + v_2}{1 + v_1 v_2}$$

наступні посвідчення можуть бути корисними. Якщо ви опинилися на безлюдному острові, ви повинні мати можливість відновити їх з нуля. Не запам'ятовуйте їх.

$$v = \frac{D^2 - 1}{D^2 + 1}$$

$$\gamma = \frac{D^{-1} + D}{2}$$

$$v\gamma = \frac{D - D^{-1}}{2}$$

$$D(v)D(-v) = 1$$

$$\eta = \ln D$$

$$v = \tanh \eta$$

$$\gamma = \cosh \eta$$

$$v\gamma = \sinh \eta$$

$$\tanh (x+y) = \frac{\tanh x + \tanh y}{1 + \tanh x \tanh y}$$

$$D_c = D_1 D_2$$

$$\eta _c = \eta _1 + \eta _2$$

$$v_C \gamma _c = (v_1 + v_2)\gamma _1 \gamma _2$$

Гіперболічні функції трига визначаються наступним чином:

$$\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$$

$$\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$$

$$\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x}$$

Їх інверси вбудовані в деякі калькулятори і комп'ютерне програмне забезпечення, але їх також можна обчислити за допомогою наступних співвідношень:

$$\sinh^{-1}x = \ln \left ( x + \sqrt{x^2 + 1} \right )$$

$$\cosh^{-1}x = \ln \left ( x + \sqrt{x^2 - 1} \right )$$

$$\tanh^{-1}x = \frac{1}{2}\ln \left ( \frac{1 + x}{1 - x} \right )$$

Їх похідними є, відповідно$\left ( x^2 + 1 \right )^{-1/2}$,$\left ( x^2 - 1 \right )^{-1/2}$ і$\left ( 1 - x^2 \right )^{-1}$.