3.7: Оператор проекції

Цілі навчання

• Поясніть оператор проекції

Частим джерелом плутанини в відносності є те, що ми записуємо рівняння, які залежать від координат, але забуваємо про залежність. Аналогічно можна писати вирази, які дійсні лише для одного вибору підпису. Наступні позначення, що визначають оператор проекції$P$, є одним із інструментів для уникнення цих труднощів.

$$P_or = r - \dfrac{r\cdot o}{o\cdot o}o$$

Зазвичай$o$ це майбутній часовий вектор, який представляє певного спостерігача, але визначення може бути застосовано до тих пір, поки$o$ не є світлоподібним. Ідея, яка виражається, полягає в тому, що ми хочемо позбутися будь-якої частини$r$, що$o$ паралельно стрілці часу. У графіку, побудованому відповідно до$o$ координат Мінковського, ми кидаємо$r$ тінь вниз перпендикулярно до космічної осі, або космічної триплощини в$3+1$ розмірах. Ось чому$P$ його називають оператором проекції. Позначення іноді дозволяє нам висловити речі, які ми б інакше висловили, явно або неявно конструюючи та посилаючись на$o$ космічні координати Мінковського.

Властивості оператора проекції

$P$володіє наступними властивостями:

1. $o\cdot P_or = 0$
2. $r - P_or$паралельно$o$.
3. $P_o o = 0$
4. $P_o P_or = P_or$
5. $P_{co} = P_o$
6. $P_o$є лінійним, т.$P_o(q +r) = P_oq + P_or$ Е.$P_o(cr) = cP_or$
7. $\tfrac{d}{dx}P_or = P_o\tfrac{dr}{dx}$, де$x$ є будь-яка змінна і$o$ не залежить від$x$.
8. Якщо$o$ і$v$ є як майбутнім часом, так і$|o^2| = 1$, то можна висловити$v$ як$v = P_ov + \gamma o$, де$\gamma$ є звичайна інтерпретація для світових ліній, які збігаються з цими двома векторами.

Усі вони тримаються незалежно від того, чи є підпис$+---$ чи$-+ ++$, і жодна з них не посилається на будь-які координати. Властивості 1 і 2 можуть служити альтернативою, геометричним визначенням$P$. Власність 3 говорить про те, що спостерігач вважає себе в стані спокою. Властивість 4 є загальною властивістю всіх операторів проекції. Властивість 8 розбиває вектор на його просторову і часову частини відповідно до$o$.

Іноді, якщо ми знаємо положення, швидкість або прискорення чотиривектора, ми хочемо з'ясувати, як це буде вимірюватися конкретним спостерігачем за допомогою годинника та лінійки. Наступна таблиця$\PageIndex{1}$ показує, як перемикатися вперед і назад між двома представленнями. Ми використовуємо, наприклад, позначення для$v_o$ позначення вектора швидкості форми,$(0,v_x,v_y,v_z)$ який буде вимірюватися спостерігачем, вектор швидкості якого є$o$ (так що індекс - це «$o$» для «спостерігача», а не нуль). Оскільки цей тип вектора, виражений в координатах Мінковського спостерігача$o$, має нульову часову складову, ми називаємо його трьохвекторним. У всіх цих виразах вектори швидкості$o$ і$v$ приймаються нормалізованими, а сигнатура приймається як$+---$ (один підтекст$o\cdot v$ - це просто$\gamma$).

Таблиця$\PageIndex{1}$: Як перемикатися вперед і назад між двома представленнями.

Знаходження тривектора з чотиривекторного	Знаходження чотиривекторного з тривектора
$X_o = P_oX$
$v_o = \dfrac{P_ov}{o\cdot v}$	$v = \gamma (o + v_o)$
$a_o = \dfrac{1}{(o\cdot v)^2}\left [ P_oa - (o\cdot a)v_o \right ]$	$a = \gamma ^3(a_o\cdot v_o)v + \gamma ^2a_o$, де$v$ зустрічається, як зазначено вище

Як приклад того, як вони виведені, три швидкості$v_o$ є$x_o$ похідною щодо часової координати Мінковського$o$ спостерігача$t$, тоді як чотиришвидкісна визначається як похідна відносно$τ$ належного часу світової лінії$x$ спостерігаються. Тому ми маємо

$$\begin{align*} v_o &= \dfrac{\mathrm{dX_o} }{\mathrm{d} t}\\[5pt] &= \dfrac{\mathrm{d} P_oX}{\mathrm{d} t} \end{align*}$$

і застосовуючи властивість 7 оператора проекції, це стає

$$\begin{align*} v_o &= P_o\dfrac{\mathrm{dX} }{\mathrm{d} t}\\[5pt] &= P_o\dfrac{\mathrm{d} X}{\mathrm{d} \tau }\dfrac{\mathrm{d} \tau }{\mathrm{d} t}\\[5pt] &= \dfrac{1}{\gamma }P_o\dfrac{\mathrm{d} X}{\mathrm{d} \tau }\\[5pt] &= \dfrac{1}{o\cdot v}P_o\dfrac{\mathrm{d} X}{\mathrm{d} \tau }\\[5pt] &= \dfrac{P_o v}{o\cdot v} \end{align*}$$

Подібне, але більш безглузде виведення виразу для$a_o$ є проблемою Q15. При маніпулюванні виразами такого типу ідентичність часто$\dfrac{\mathrm{d} \gamma }{\mathrm{d} t} = \gamma ^3 a_o\cdot v_o$ є зручною.

Приклад$\PageIndex{1}$: Lewis-Tolman paradox

Наступний приклад є формою парадоксу, обговорюваного Льюїсом і Толманом в 1909 році.

Малюнок$\PageIndex{1}$: Кадр відліку спостерігача$o$

$\PageIndex{1}$На малюнку показана система відліку спостерігача,$o$ в якій однакові частинки$1$ і$2$ знаходяться спочатку в спокої і розташовані на рівних відстанях$l$ від початку координат по$x$ осях$y$ і. Зовнішні сили однакової сили діють в напрямках, показаних стрілками так, щоб виробляти прискорення величини$α$. Система знаходиться в обертальному рівновазі$dL/dt = 0$, тому що швидкість, з якою$1$ частка набирає кутовий момент за годинниковою стрілкою, така ж, як і швидкість, з якою$2$ набуває її в напрямку проти годинникової стрілки.

Тепер переходимо до кадру відліку o0, рухаючись вправо щодо$o$ зі швидкістю$v$. Відстань частинки$2$ від походження Lorentz скорочується від$l$ до$l/\gamma$, тому її кутовий момент також зменшується на$1/\gamma$. Тепер здається, що загальний кутовий імпульс системи збільшується за годинниковою стрілкою. Як ми можемо мати обертальну рівновагу в одному кадрі, але не в іншому?

Роздільна здатність парадоксу полягає в тому, що прискорення також трансформуються. У вихідному$o$ кадрі чотиришвидкісні є$v_1 = v_2 = (1,0,0,0)$, а чотириразові -$a_1 = (0,α,0,0)$ і$a_2 = (0,0,α,0)$. Застосовуючи перетворення Лоренца, ми маємо$v_{1}^{'} = v_{2}^{'} = (\gamma ,-\gamma v,0,0)$ і

$$a_{1}^{'} = \alpha (-\gamma v,\gamma ,0,0)\\[5pt] a_{2}^{'} = \alpha (0,0,1,0) \nonumber$$

Наше визначення моменту моменту виражається термінами трьох-векторів, таких як$a_{o'1}$ і$a_{o'2}$, а не чотири-вектори, як$a_{1}^{'}$ і$a_{2}^{'}$. У нас є

$$\dfrac{\mathrm{d} L'}{\mathrm{d} t'} = ma_{o'1x}l - ma_{o'2y}\dfrac{l}{\gamma } \nonumber$$

Використовуючи відносини$v_o = \gamma ^{-1}P_o v$ і$a_o = \gamma ^{-2}\left [ P_o a - (o\cdot a)v_o\right ]$, знаходимо

$$v_{o'1x} = -v$$

$$a_{o'1x} = \dfrac{1}{\gamma ^2}\left [ \alpha \gamma - (-\alpha \gamma v)(-v) \right ] = \dfrac{\alpha }{\gamma ^3} \nonumber$$

і

$$a_{o'2y} = \dfrac{\alpha }{\gamma ^2} \nonumber$$

Результатом є

$$\dfrac{\mathrm{d} L'}{\mathrm{d} t'} = m\dfrac{\alpha }{\gamma ^3}l - m\dfrac{\alpha }{\gamma ^2}\dfrac{l}{\gamma } \nonumber$$

яка дорівнює нулю.