3.7: Оператор проекції

Last updated
Save as PDF

Page ID: 77324

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Цілі навчання

Поясніть оператор проекції

Частим джерелом плутанини в відносності є те, що ми записуємо рівняння, які залежать від координат, але забуваємо про залежність. Аналогічно можна писати вирази, які дійсні лише для одного вибору підпису. Наступні позначення, що визначають оператор проекції\(P\), є одним із інструментів для уникнення цих труднощів.

\[P_or = r - \dfrac{r\cdot o}{o\cdot o}o\]

Зазвичай\(o\) це майбутній часовий вектор, який представляє певного спостерігача, але визначення може бути застосовано до тих пір, поки\(o\) не є світлоподібним. Ідея, яка виражається, полягає в тому, що ми хочемо позбутися будь-якої частини\(r\), що\(o\) паралельно стрілці часу. У графіку, побудованому відповідно до\(o\) координат Мінковського, ми кидаємо\(r\) тінь вниз перпендикулярно до космічної осі, або космічної триплощини в\(3+1\) розмірах. Ось чому\(P\) його називають оператором проекції. Позначення іноді дозволяє нам висловити речі, які ми б інакше висловили, явно або неявно конструюючи та посилаючись на\(o\) космічні координати Мінковського.

Властивості оператора проекції

\(P\)володіє наступними властивостями:

\(o\cdot P_or = 0\)
\(r - P_or\)паралельно\(o\).
\(P_o o = 0\)
\(P_o P_or = P_or\)
\(P_{co} = P_o\)
\(P_o\)є лінійним, т.\(P_o(q +r) = P_oq + P_or\) Е.\(P_o(cr) = cP_or\)
\(\tfrac{d}{dx}P_or = P_o\tfrac{dr}{dx}\), де\(x\) є будь-яка змінна і\(o\) не залежить від\(x\).
Якщо\(o\) і\(v\) є як майбутнім часом, так і\(|o^2| = 1\), то можна висловити\(v\) як\(v = P_ov + \gamma o\), де\(\gamma\) є звичайна інтерпретація для світових ліній, які збігаються з цими двома векторами.

Усі вони тримаються незалежно від того, чи є підпис\(+---\) чи\(-+ ++\), і жодна з них не посилається на будь-які координати. Властивості 1 і 2 можуть служити альтернативою, геометричним визначенням\(P\). Власність 3 говорить про те, що спостерігач вважає себе в стані спокою. Властивість 4 є загальною властивістю всіх операторів проекції. Властивість 8 розбиває вектор на його просторову і часову частини відповідно до\(o\).

Іноді, якщо ми знаємо положення, швидкість або прискорення чотиривектора, ми хочемо з'ясувати, як це буде вимірюватися конкретним спостерігачем за допомогою годинника та лінійки. Наступна таблиця\(\PageIndex{1}\) показує, як перемикатися вперед і назад між двома представленнями. Ми використовуємо, наприклад, позначення для\(v_o\) позначення вектора швидкості форми,\((0,v_x,v_y,v_z)\) який буде вимірюватися спостерігачем, вектор швидкості якого є\(o\) (так що індекс - це «\(o\)» для «спостерігача», а не нуль). Оскільки цей тип вектора, виражений в координатах Мінковського спостерігача\(o\), має нульову часову складову, ми називаємо його трьохвекторним. У всіх цих виразах вектори швидкості\(o\) і\(v\) приймаються нормалізованими, а сигнатура приймається як\(+---\) (один підтекст\(o\cdot v\) - це просто\(\gamma\)).

Таблиця\(\PageIndex{1}\): Як перемикатися вперед і назад між двома представленнями.
Знаходження тривектора з чотиривекторного	Знаходження чотиривекторного з тривектора
\(X_o = P_oX\)
\(v_o = \dfrac{P_ov}{o\cdot v}\)	\(v = \gamma (o + v_o)\)
\(a_o = \dfrac{1}{(o\cdot v)^2}\left [ P_oa - (o\cdot a)v_o \right ]\)	\(a = \gamma ^3(a_o\cdot v_o)v + \gamma ^2a_o\), де\(v\) зустрічається, як зазначено вище

Як приклад того, як вони виведені, три швидкості\(v_o\) є\(x_o\) похідною щодо часової координати Мінковського\(o\) спостерігача\(t\), тоді як чотиришвидкісна визначається як похідна відносно\(τ\) належного часу світової лінії\(x\) спостерігаються. Тому ми маємо

\[\begin{align*} v_o &= \dfrac{\mathrm{dX_o} }{\mathrm{d} t}\\[5pt] &= \dfrac{\mathrm{d} P_oX}{\mathrm{d} t} \end{align*}\]

і застосовуючи властивість 7 оператора проекції, це стає

\[\begin{align*} v_o &= P_o\dfrac{\mathrm{dX} }{\mathrm{d} t}\\[5pt] &= P_o\dfrac{\mathrm{d} X}{\mathrm{d} \tau }\dfrac{\mathrm{d} \tau }{\mathrm{d} t}\\[5pt] &= \dfrac{1}{\gamma }P_o\dfrac{\mathrm{d} X}{\mathrm{d} \tau }\\[5pt] &= \dfrac{1}{o\cdot v}P_o\dfrac{\mathrm{d} X}{\mathrm{d} \tau }\\[5pt] &= \dfrac{P_o v}{o\cdot v} \end{align*}\]

Подібне, але більш безглузде виведення виразу для\(a_o\) є проблемою Q15. При маніпулюванні виразами такого типу ідентичність часто\(\dfrac{\mathrm{d} \gamma }{\mathrm{d} t} = \gamma ^3 a_o\cdot v_o\) є зручною.

Приклад\(\PageIndex{1}\): Lewis-Tolman paradox

Наступний приклад є формою парадоксу, обговорюваного Льюїсом і Толманом в 1909 році.

рис. 3.7.1.png — Малюнок\(\PageIndex{1}\): Кадр відліку спостерігача\(o\)

\(\PageIndex{1}\)На малюнку показана система відліку спостерігача,\(o\) в якій однакові частинки\(1\) і\(2\) знаходяться спочатку в спокої і розташовані на рівних відстанях\(l\) від початку координат по\(x\) осях\(y\) і. Зовнішні сили однакової сили діють в напрямках, показаних стрілками так, щоб виробляти прискорення величини\(α\). Система знаходиться в обертальному рівновазі\(dL/dt = 0\), тому що швидкість, з якою\(1\) частка набирає кутовий момент за годинниковою стрілкою, така ж, як і швидкість, з якою\(2\) набуває її в напрямку проти годинникової стрілки.

Тепер переходимо до кадру відліку o0, рухаючись вправо щодо\(o\) зі швидкістю\(v\). Відстань частинки\(2\) від походження Lorentz скорочується від\(l\) до\(l/\gamma\), тому її кутовий момент також зменшується на\(1/\gamma\). Тепер здається, що загальний кутовий імпульс системи збільшується за годинниковою стрілкою. Як ми можемо мати обертальну рівновагу в одному кадрі, але не в іншому?

Роздільна здатність парадоксу полягає в тому, що прискорення також трансформуються. У вихідному\(o\) кадрі чотиришвидкісні є\(v_1 = v_2 = (1,0,0,0)\), а чотириразові -\(a_1 = (0,α,0,0)\) і\(a_2 = (0,0,α,0)\). Застосовуючи перетворення Лоренца, ми маємо\(v_{1}^{'} = v_{2}^{'} = (\gamma ,-\gamma v,0,0)\) і

\[a_{1}^{'} = \alpha (-\gamma v,\gamma ,0,0)\\[5pt] a_{2}^{'} = \alpha (0,0,1,0) \nonumber\]

Наше визначення моменту моменту виражається термінами трьох-векторів, таких як\(a_{o'1}\) і\(a_{o'2}\), а не чотири-вектори, як\(a_{1}^{'}\) і\(a_{2}^{'}\). У нас є

\[\dfrac{\mathrm{d} L'}{\mathrm{d} t'} = ma_{o'1x}l - ma_{o'2y}\dfrac{l}{\gamma } \nonumber\]

Використовуючи відносини\(v_o = \gamma ^{-1}P_o v\) і\(a_o = \gamma ^{-2}\left [ P_o a - (o\cdot a)v_o\right ]\), знаходимо

\[v_{o'1x} = -v\]

\[a_{o'1x} = \dfrac{1}{\gamma ^2}\left [ \alpha \gamma - (-\alpha \gamma v)(-v) \right ] = \dfrac{\alpha }{\gamma ^3} \nonumber\]

\[a_{o'2y} = \dfrac{\alpha }{\gamma ^2} \nonumber\]

Результатом є

\[\dfrac{\mathrm{d} L'}{\mathrm{d} t'} = m\dfrac{\alpha }{\gamma ^3}l - m\dfrac{\alpha }{\gamma ^2}\dfrac{l}{\gamma } \nonumber\]

яка дорівнює нулю.