2.5: Лемма - Просторово-часова область інваріантна

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 2.4: Інші аксіоматизації
- 2.E: Основи (вправи)

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Цілі навчання

Довести з аксіом Р1 - Р6, що площа в $x - t$ площині інваріантна

У цьому розділі з аксіом Р1-Р6 доведено, що площа в $x - t$ площині є інваріантною, тобто вона не змінюється між рамками відліку. Цей результат був використаний у розділі 1.3 для пошуку форми метрики простору-часу. Розглянемо цифру $\PageIndex{1}$ .

рис. 2.5.1.png — Малюнок $\PageIndex{1}$ : Площа є скаляром.

Вектори $\overrightarrow{o_1}$ і $\overrightarrow{s_1}$ є ортогональними і мають однакову довжину, виміряну годинником і лінійкою (які калібруються в одиницях таких $c = 1$ , що, наприклад, секунди і світлові секунди). Квадратна решітка з білих горошок виходить з них шляхом багаторазового додавання. Припускаючи, що ця конструкція решітки можлива, ми неявно припускаємо постулат P2, площинність просторучасу.

Такі ж властивості тримаються для векторів $\overrightarrow{o_2}$ і $\overrightarrow{s_2}$ , які дають решітку чорних крапок. У міру необхідності дві решітки узгоджуються за своїми $45$ -градусними діагоналями. Тепер в межах $10 × 10$ частини білої решітки, показаної сірим відтінком, у нас є область $100$ . У тому ж регіоні ми підраховуємо близько $100$ або $101$ чорні точки — є певна неоднозначність через точки, які лежать на кордоні. Щільність білих і чорних крапок насправді точно рівна, як можна перевірити з будь-якою бажаною точністю, зробивши область досить великою. Іншими словами, діаграма намальована так, щоб площа збереглася, що ми збираємося показати потрібно. Якби це був спостерігач, $2$ а не той, $1$ хто малював діаграму, імовірно, вона вирішила б намалювати чорні точки у квадратній решітці та векторах $\overrightarrow{o_2}$ та $\overrightarrow{s_2}$ під прямим кутом. Для цього потрібні вектори $\overrightarrow{o_2}$ і $\overrightarrow{s_2}$ повинні бути відкриті під косим кутом, а біла решітка повинна бути неквадратною.

Тепер припустимо, ми не зробили площа консервованої. Що робити, якщо регіон, що містить $100$ білі точки, мав $200$ чорні? Підрахунок точок - це те, як спостерігачі визначають область, тому, якщо це сталося, їм доведеться погодитися, що прискорення $v$ , від кадру $1$ до кадру $2$ , подвоїло площу сірої області. Оскільки spacetime є плоским (P2) і однорідним (P3), можна взяти геометричну форму, вписану в певну область просторучасу, і переміщати, обертати або перевертати її. І за ізотропією простору (P3), приріст швидкості $v$ такий же, як фліп просторового виміру з подальшим $-v$ імпульсом та іншим перевертанням. Площа зберігається фліпом, тому ми виявляємо, що прискорення $-v$ , від кадру $2$ до кадру $1$ , також подвоює площу. Таким чином, $+v$ поштовх з подальшим підвищенням призведе до чотириразового $-v$ збільшення площі. Але пара рівних і протилежних підсилень скасовує, так що це протиріччя. Ми робимо висновок, що якщо ці принципи симетрії дотримуються, то просторово-часова площа однакова для будь-яких двох спостерігачів, тому вона є інваріантною.

Це може здатися надмірно незграбним, що ми використовували ідею підрахунку точок у вищезгаданому аргументі, але пам'ятайте, що наше основне використання цього результату полягає у отриманні форми метрики, і до того, як метрика була знайдена, у нас не було системи вимірювання відносності, тому ми мали лише дуже примітивні методи на нашому утилізація.