2.6: Світлий конус

Враховуючи подію$P$, тепер ми можемо класифікувати всі причинно-наслідкові зв'язки, в яких$P$ можуть брати участь. У ньютонівській фізиці ці відносини поділялися на два класи: потенційно$P$ можуть спричинити будь-яку подію, яка лежить в її майбутньому, і могла бути викликана будь-якою подією в минулому. У просторовому часі Лоренца ми маємо трихотомію, а не дихотомію. Існує третій клас подій, які знаходяться занадто далеко від простору і занадто близькі$P$ в часі, щоб дозволити будь-які причинно-наслідкові зв'язки, оскільки максимальна швидкість причинно-наслідкового зв'язку є$c$. Оскільки ми працюємо в одиницях$c = 1$, в яких межа цієї множини формується лініями з нахилом ± 1 на$(t, x)$ ділянці. Це іменується світловим конусом, а при узагальненні від 1+1 до 3+1 розмірів він буквально стає (чотиривимірним) конусом. Термінологія походить від того, що світло трапляється подорожувати при c, максимальної швидкості причинно-наслідкового впливу. Якщо зробити розріз через конус, який визначається поверхнею постійного часу в майбутньому Р, то отриманий перетин є сферою (аналогічно колу, утвореному розрізом тривимірного конуса), і ця сфера інтерпретується як сукупність подій, на яких Р міг мати причинний ефект, випромінюючи світловий імпульс назовні на всі боки.

Малюнок$\PageIndex{1}$ : Світловий конус в розмірах 2+1.

Кажуть, що події, що лежать всередині світлих конусів один одного, мають часові стосунки. Події поза світловими конусами один одного є космічними по відношенню один до одного, і в разі, коли вони лежать на поверхнях світлових конусів один одного, термін є світлоподібним.

Світловий конус відіграє ту ж роль в геометрії Лоренца, що і коло в евклідовій геометрії. Істина чи неправдивість пропозицій в евклідовій геометрії залишається незмінною незалежно від того, як ми обертаємо фігури, і це виражається Е3 Евкліда, який стверджує існування кіл, які залишаються інваріантними при обертанні. Аналогічно, Лоренц підсилює збереження світлових конусів та правди пропозицій у кадрі Лоренца.

Вправа$\PageIndex{1}$

Самоперевірка: За яких обставин зберігається часове впорядкування подій P та Q під імпульсом Лоренца?

Малюнок$\PageIndex{2}$ : Коло відіграє привілейовану роль у евклідовій геометрії. При обертанні він залишається незмінним. Шматочок пирога не є інваріантним, як коло. Подібне привілейоване місце займає світловий конус в геометрії Лоренца. Під імпульсом Лоренца паралелограми просторового часу змінюються, але світловий конус - ні.

У єдиному просторі Лоренца всі світлові конуси шикуються як солдати з осями паралельно один одному. Однак, коли гравітація присутня, ця рівномірність порушується поблизу мас, які складають джерела. Світлі конуси, що лежать біля джерел, схиляються до джерел. Накладені поверх цього гравітаційного перекидання разом, останні спостереження продемонстрували систематичний ефект перекидання, який стає значним на космологічних шкалах відстані. Параметр λ, який встановлює силу цього ефекту, відомий як космологічна константа. Космологічна константа не пов'язана з наявністю будь-яких джерел (наприклад, негативних мас), і може бути інтерпретована натомість як тенденція до розширення простору з часом за власною ініціативою. У сучасну епоху космологічна константа подолала тяжіння маси Всесвіту, викликаючи прискорення розширення Всесвіту.

Вправа$\PageIndex{2}$: Tipping Light Cones

На нижній панелі малюнка 2.3.3 може спостерігач подивитися на властивості просторучасу в її безпосередній близькості і розповісти, наскільки її світлові конуси перекидаються, і в який бік? Порівняйте з малюнком 1.5.9.

Малюнок$\PageIndex{3}$ - Світлі конуси перекидаються з двох причин загальної відносності: через наявність мас, які мають гравітаційні поля, і через космологічної постійної. Шкали часу і відстані на нижньому малюнку на багато порядків більше, ніж у верхній.

Приклад 14: Ньютонівська чорна діра

У випадку чорної діри світловий конус нахиляється настільки далеко, що весь майбутній часоподібний регіон лежить всередині чорної діри. Якщо спостерігач присутній на такій події, то все потенційне майбутнє цього спостерігача лежить всередині чорної діри, а не за її межами. Розширюючи логічні наслідки цього твердження, ми приходимо до прикладу належного тлумачення відносності як теорії причинності, а не теорії об'єктів, що чинять сили один на одного, як у баченні Ньютона дії на відстані, або оригінальна інтерпретація Лоренца фактор$\gamma$, в якому скорочення довжини виникло внаслідок фізичного напруження, накладеного на атоми, що складають фізичне тіло.

Уявіть собі чорну діру з ньютонівської точки зору, як запропонував в 1783 році геолог Джон Мішель. Встановлюючи швидкість втечі, рівну швидкості світла, ми виявляємо, що це станеться для будь-якого гравітаційного сферичного тіла, досить компактного, щоб мати

$$\frac{M}{r} > \frac{c^{2}}{2G}.$$

Повністю релятивістський аргумент, як наведено в розділі 6.2, погоджується на

$$\frac{M}{r} \propto \frac{c^{2}}{G}$$

який фіксується одиницями. Правильний безодиничний фактор залежить від визначення$r$, який є гнучким в загальній теорії відносності.) Спалах світла, що випромінюється з поверхні такої ньютонівської чорної діри, впаде назад, як вода з фонтану, але, тим не менш, фізичні об'єкти могли б втекти, наприклад, якщо вони були підняті у відрі, що звисає з кабелю. Якщо кабель повинен витримати власну вагу, він повинен мати міцність на розрив на одиницю щільності не менше$\frac{c^{2}}{2}$, що приблизно на десять порядків більше, ніж у волокон вуглецевих нанотрубок. (Фактор$\frac{1}{2}$ не слід сприймати серйозно, оскільки він походить від нерелятивістського розрахунку.)

Малюнок$\PageIndex{4}$ - Матерія піднімається з ньютонівської чорної діри за допомогою відра. Пунктирна лінія представляє точку, в якій швидкість виходу дорівнює швидкості світла.

Причинно-наслідкова інтерпретація відносності говорить нам, що ця ньютонівська картина неправильна. Фізичний об'єкт, який наближається до відстані r концентрації маси M, при$\frac{M}{r}$ досить великій, не має причинно-наслідкового майбутнього, що лежить при більших значеннях r. висновок полягає в тому, що існує межа міцності на розрив будь-якої речовини, накладена суто загальною відносністю, і ми можемо констатувати ця межа, не знаючи нічого про фізичну природу міжатомних сил. Більш повне лікування натягу в мотузці наведено в прикладі 5. Cf. також проблема 4 та розділ 3.5, а також деякі посилання, наведені в зауваження наступного завдання 4.

Додавання швидкості

У класичній фізиці швидкості додають у відносному русі. Наприклад, якщо човен рухається щодо річки, а річка рухається щодо суші, то швидкість човна щодо суші виявляється шляхом векторного складання. Ця лінійна поведінка не може триматися релятивістично. Наприклад, якщо космічний корабель рухається на 0.60c відносно землі, і він запускає зонд$0.60c$ відносно себе, ми не можемо мати зонд рухатися$1.20c$ відносно землі, тому що це було б більше, ніж максимальна швидкість причини і наслідків,$c$. Щоб побачити, як додати швидкості релятивістично, ми почнемо з перезапису перетворення Лоренца як матриці.

$$\begin{pmatrix} \cosh \eta & \sinh \eta \\ \sinh \eta & \cosh \eta \end{pmatrix},$$

де

$$\eta = \tanh^{−1} v$$

називається стрімкістю. Ми гарантуємо, що матрицю можна записати в такому вигляді, оскільки її властивості, що зберігають площу, говорить про те, що детермінант дорівнює 1, а$\eta$ cosh ^{2 −sinh 2}$\eta$ = 1 є тотожністю гіперболічних тригових функцій. Тепер просто перевірити, що множення двох матриць цієї форми дає третю матрицю, яка також має таку форму, з

$$\eta = \eta_{1} + \eta_{2}.$$

Іншими словами, швидкість додається лінійно; швидкості - ні. У прикладі космічного корабля і зонда швидкість додається як

$$\tanh^{−1} 0.60 + \tanh^{−1} 0.60 = 0.693 + 0.693 = 1.386$$

даючи зонду швидкість танг 1,386 = 0,88 щодо землі. Таким чином можна додати будь-яку кількість швидкостей,

$$\eta_{1} + \eta_{2} + \ldots + \eta_{n}.$$

Вправа$\PageIndex{3}$: Rapidity

Інтерпретувати асимптоти графа на малюнку 2.3.5.

Малюнок$\PageIndex{5}$ - Швидкість,$\eta$ = tanh ⁻¹ v, як функція v.

Приклад 15: Парадокс космічного корабля Белла

Складне філософське питання полягає в тому, чи є «реальними» розширення часу та скорочення тривалості, передбачені відносністю. Це залежить, звичайно, від того, що мається на увазі під «реальним». Вони залежні від кадрів, тобто спостерігачі в різних системах відліку не погоджуються з ними. Але це мало говорить нам про їхню реальність, оскільки швидкості залежать від кадру в ньютонівській механіці, але ніхто не турбується про те, чи реальні швидкості. Джон Белл (1928-1990) запропонував фізикам у кафетерії ЦЕРН наступний експеримент, і виявив, що майже всі вони помилилися. Він сприйняв це як доказ того, що їх інтуїція була помилкова стандартним способом наближення до цього питання реальності скорочень Лоренца.

Нехай космічні кораблі A і B прискорюються, як показано на малюнку 2.3.6 по прямій лінії. Спостерігач С не прискорюється. Прискорення, як судять по С, постійні, і рівні для двох кораблів. Кожен корабель оснащений двором-плечем, а між двома руками зав'язується нитка. Чи розривається нитка через стиснення Лоренца? (Припускаємо, що прискорення досить м'яке, щоб нитка не зламалася просто через власну інерції.)

Малюнок$\PageIndex{6}$

Популярна відповідь у кафетерії CERN полягала в тому, що нитка не зламається, міркуючи, що стиснення Лоренца є залежним від кадру ефектом, і жодного такого скорочення не спостерігалося б у кадрі А та Б. Кораблі підтримують постійну відстань один від одного, тому C просто не погоджується з A і B щодо довжини нитки, а також інших довжин, таких як довжини космічних кораблів.

Помилка в цьому міркуванні полягає в тому, що прискорення A і B були вказані рівними і постійними в кадрі С, а не в А і Б. інтерпретація Белла полягає в тому, що залежність від кадру є відволіканням, що скорочення Лоренца в деякому сенсі є реальним ефектом, і тому відразу зрозуміло, що нитка повинна розірватися, навіть не турбуючись заходячи в будь-який інший кадр. Однак, щоб переконати своїх однолітків у кафетерії, Белл, мабуть, мав задовольнити їх щодо конкретних помилок у їхніх міркуваннях, і це вимагає, щоб ми чітко розглядали залежність від кадру.

Спочатку ми бачимо, що взагалі не можна різним спостерігачам домовитися про те, що мається на увазі під постійним прискоренням. Припустимо, що А і В згодні з С про сталість їх прискорення. Потім A і B переживають плавання, в якому швидкість зірок навколо них (і спостерігача С) з часом лінійно зростає. Коли швидкість наближається до нескінченності, і C, і зірки наближаються до швидкості світла. Але оскільки A і C погоджуються про величину їх швидкості відносно один одного, це означає, що швидкість А, виміряна C, повинна наближатися до c, і це суперечить передумові, що C спостерігає постійне прискорення для обох кораблів. Тому А і В не вважають власні прискорення постійними.

А і В не згодні з С про одночасність, а так як вони також не згодні з тим, що їх прискорення постійні, вони не вважають власні прискорення рівними в даний момент часу. Тому струна змінює свою довжину, і це узгоджується з оригінальним, простим відповіддю Белла, який не вимагав порівняння різних систем відліку. Щоб встановити, що струна потрапляє під напругу, а не йде слабину, ми можемо застосувати принцип еквівалентності. За принципом еквівалентності будь-які експерименти, проведені А і В, дають ті ж результати, як якщо б вони були занурені в гравітаційне поле. Провідний корабель B бачить A як переживає гравітаційне розширення часу. За словами B, slowpoke A не прискорюється так швидко, як слід, що призводить до розриву рядка.

Ці ідеї тісно пов'язані з тим, що загальна відносність не допускає жодного простору-часу, яке можна інтерпретувати як рівномірне гравітаційне поле (див. Задача 7).

Логіка

Трихотомічна класифікація причинно-наслідкових зв'язків має цікаві логічні наслідки. У класичній арістотелівської логіці кожне судження є або істинним, або хибним, але не обидва, і задані пропозиції p і q, ми можемо формувати пропозиції, такі як p q (як p, так і q) або p$\vee$ q (або p або q). Пропозиції про фізичні явища можна перевірити тільки спостереженням. Дозвольте p бути твердженням, що певне спостереження, проведене на події P дає певний результат, і аналогічно для q в Q. якщо PQ є космічним, то істина або брехня p q не можуть бути перевірені фізично подорожуючи до P і Q, тому що жоден спостерігач не зможе відвідувати обидві події. Істинне значення p q невідомо будь-якому спостерігачеві у Всесвіті до певного часу, в який відповідна інформація змогла поширюватися вперед і назад. Що робити, якщо P і Q лежать всередині двох різних чорних дір? Тоді істинне значення p q ніколи не може бути визначено жодним спостерігачем. Інший приклад - випадок, коли P і Q розділені такою великою відстанню, що через прискорюється розширення Всесвіту їх майбутні світлові конуси не перекриваються.

Ми робимо висновок, що Аристотелівська логіка не може бути належним чином застосована до релятивістського спостереження таким чином. Деякі працівники, які намагаються побудувати квантово-механічну теорію гравітації, запропонували ще більш радикально залежну від спостерігача логіку, в якій різні спостерігачі можуть суперечити один одному за істинно-значенням однієї пропозиції p ₁, якщо вони не домовилися заздалегідь про список p ₂ , p ₃,. з усіх інших пропозицій, які вони також мають намір перевірити. До цих питань ми повернемося пізніше.