1.E: Геометрична теорія простору-часу (вправи)

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 1.6: Принцип еквівалентності (частина 2)
- 2: Геометрія плоского просторового часу

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Проблеми

У класичній механіці можна почути термін «прискорення сили тяжіння», що буквально не має сенсу, оскільки це об'єкти, які прискорюються. Поясніть, чому корисність цього терміна залежить від принципу еквівалентності.
Космічний зонд New Horizons спілкується з землею за допомогою мікрохвиль з частотою близько 10 ГГц. Оцініть розміри наступних зсувів частоти цього сигналу, коли зонд пролітає Плутоном у 2015 році, зі швидкістю ~ 10 а.у./рік:
1. доплерівський зсув за рахунок швидкості зонда;
2. доплерівський зсув за рахунок орбітальної швидкості Землі;
3. гравітаційний доплерівський зсув.
Аксіом Евкліда E1-E5 недостатньо, щоб довести, що на площині існує нескінченна кількість точок, і тому їх потрібно доповнити додатковою аксіомою, яка стверджує це (якщо не знайти нестандартні реалізації з скінченно великою кількістю точок, щоб бути досить цікавими для вивчення заради них). Довести, що аксіоми впорядкованої геометрії O1-O4 не мають цієї проблеми.
У науково-фантастичному романі «У скафандрі - буде подорожувати» Роберта Хайнлайна, Кіп, старшокласник, відповідає на виклик лиха радіо, стикається з літаючою тарілкою, і його вибивають і викрадають інопланетяни. Прокинувшись, він опиняється в замкненій камері з молодою дівчиною на ім'я Піві. Peewee стверджує, що вони знаходяться на борту прискорюється космічного корабля. «Якби це був космічний корабель», - думає Кіп. «Пол відчував себе міцним, як бетон і нерухомим».
Принцип еквівалентності може бути заявлений різними способами. Раніше було заявлено, що (1) гравітаційна та інерційна маса завжди пропорційні один одному. Альтернативною формулюванням є (2), що Кіп не має можливості, шляхом експериментів або спостережень всередині своєї запечатаної тюремної камери, визначити, чи він знаходиться в космічному кораблі, що прискорюється, або на поверхні планети, переживаючи його гравітаційне поле.
1. Покажіть, що будь-яке порушення заяви 1 також призводить до порушення заяви 2.
2. Якби ми мали намір побудувати геометричну теорію гравітації приблизно по лініях аксіом O1-O4, яка аксіома порушується в цьому сценарії?
Годинник А сидить на столі. Годинник B підкидається в повітря з тієї ж висоти, що і стіл, а потім повертається вниз. Порівняйте минулі часи.
(а) Знайдіть різницю в швидкості між годинником у центрі землі та годинником на південному полюсі. (b) Коли антена на землі отримує радіосигнал від космічного зонда, який знаходиться на гіперболічній орбіті у зовнішній Сонячній системі, сигнал покаже як кінематичний червоний зсув, так і гравітаційний синій зрушення. Порівняйте порядки цих двох ефектів.
Розглянемо наступні фізичні ситуації: (1) заряджений об'єкт лежить на столі на планеті Земля; (2) заряджений об'єкт обертається навколо землі; (3) заряджений об'єкт звільняється над земною поверхнею і опускається прямо вниз; (4) заряджений об'єкт піддається постійному прискоренню ракетним двигуном у зовнішній простір. У кожному конкретному випадку ми хочемо знати, чи випромінює заряд. Проаналізуйте фізику в кожному випадку (а) на основі збереження енергії; (б) визначаючи, чи є рух об'єкта інерційним у сенсі, призначеному Ісааком Ньютоном; (c) використовуючи найбільш пряму інтерпретацію принципу еквівалентності (тобто не турбуючись про питання, обговорювані на p. що оточують неоднозначне визначення місцевості).
Розглянемо фізичну обстановку, зображену на малюнку 1.5.12. Нехай ag - гравітаційне прискорення і a _r прискорення зарядженої частинки за рахунок випромінювання. Потім $\frac{a_{r}}{a_{g}}$ вимірюється порушення принципу еквівалентності. Мета цієї задачі полягає в тому, щоб зробити порядкову оцінку цього співвідношення у випадку нейтрона і протона на низькій навколоземній орбіті.
1. Нехай m маса кожної частинки, а q - заряд зарядженої частинки. Не роблячи повного розрахунку, подібного до тих, які проводили ДеВіттс і Грён і Несс, використовуйте загальні уявлення про частотно-масштабування випромінювання (див. Розділ 9.2), щоб знайти пропорційність, яка дає $\frac{a_{r}}{a_{g}}$ залежність від q, m та будь-яких зручних параметрів орбіти.
2. Виходячи з міркувань одиниць, вставте необхідні універсальні константи в свою відповідь з частини а.
3. Результат від частини b все одно буде відключений деяким безмежним фактором, але ми очікуємо, що це буде порядкова єдність. За цим припущенням зробіть порядкову оцінку порушення принципу еквівалентності у випадку нейтрона і протона на низькій навколоземній орбіті.