2.5: Конічні перерізи

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 2.4: Гіпербола
- 2.6: Загальний конічний розділ

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

До цих пір ми визначили еліпс, параболу та гіперболу без будь-якого посилання на конус. Багато читачів будуть знати, що плоский переріз конуса - це або еліпс, парабола або гіпербола, залежно від того, чи є кут, який площина робить з основою конуса, меншим, рівним або більшим за кут, який робить генератор конуса своїм підставою. Однак, враховуючи наведені нами визначення еліпса, параболи та гіперболи, потрібно доказ того, що вони насправді є конічними перерізами. У цей момент також можна згадати, що плоский переріз кругового циліндра також є еліпсом. Також, звичайно, якщо площина паралельна підставі конуса, або перпендикулярна осі циліндра, еліпс зводиться до кола.

альт
$\text{FIGURE II.36}$

Просте і чудове доказ можна привести в класичному Евклідове «Дана. Обов'язково. Будівництво. Доказ. Q.E.D.» стиль.

Доказ

Дано: Конус і площина такі, що кут, який робить площина з основою конуса, менше кута, який робить генератор конуса своїм підставою, а площина розрізає конус по замкнутій кривій $\text{K}$ . Малюнок $\text{II.36}$ .

Потрібно: Довести, що $\text{K}$ це еліпс.

Конструкція: Побудуйте сферу над площиною, яка торкається конуса всередині кола $\text{C}_1$ та площині в точці $\text{F}_1$ . Побудуйте також сферу під площиною, яка торкається конуса всередині кола $\text{C}_2$ і площині в точці $\text{F}_2$ .

Приєднайте точку $\text{P}$ на кривій $\text{K}$ до $\text{F}_1$ і до $\text{F}_2$ .
Намалюйте генератор, який проходить через точку $\text{P}$ і який перетинається $\text{C}_1$ в $\text{Q}_1$ і $\text{C}_2$ в $\text{Q}_2$ .

Доказ: $\text{PF}_1 = \text{PQ}_1$ (Дотичні до сфери від зовнішньої точки.)

$\text{PF}_2 = \text{PQ}_2$ (Дотичні до сфери від зовнішньої точки.)

$\therefore \text{PF}_1 + \text{PF}_2 = \text{PQ}_1 + \text{PQ}_2 = \text{Q}_1 \text{Q}_2$

і $\text{Q}_1\text{Q}_2$ не залежить від положення $\text{P}$ , так як це відстань між колами $\text{C}_1$ і $\text{C}_2$ вимірюється вздовж генератора.

$\therefore \ \text{K is an ellipse and } \text{F}_1 \text{ and } \text{F}_2 \text{ are its foci}. \tag{Q.E.D.}$

Подібний аргумент покаже, що плоский переріз циліндра також є еліпсом.

Читач також може розробити креслення, які покаже, що плоский переріз конуса, паралельного генератору, є параболою, і що площина крутіша, ніж генератор, розрізає конус в гіперболі. Малюнки найпростіше зробити папером, олівцем, циркулем і лінійкою, і зажадають деякої кмітливості. Хоча я бачив вищевказане доказ еліпса в декількох книгах, я не бачив відповідних доказів для параболи та гіперболи, але їх справді можна зробити, і читач повинен знайти це цікавим викликом. Якщо читач може використовувати комп'ютер, щоб зробити малюнки і може зробити краще, ніж мої погані зусилля з фігурою $\text{II.36}$ , він/вона досить добре з комп'ютером, що є ознакою неправильно витраченої молодості.