Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

14.1: Попередні етапи - конічні перерізи

  • Page ID
    75139
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    clipboard_e033332085192167ad0cdd0f77898f5f6.png

    Еліпси, параболи та гіперболи можуть бути створені шляхом розрізання конуса площиною (див. діаграми, з Вікісховища). Беручи конус бути\(x^{2}+y^{2}=z^{2}\), і підставляючи z в цьому рівнянні з плоского\(\vec{r} \cdot \vec{p}=p, \text { where } \vec{p}\) рівняння вектор, перпендикулярний площині від початку до площини, дає квадратне рівняння в\(x,y\). Це перетворюється на квадратне рівняння в площині - візьміть лінію перетину січної площини з\(x,y\) площиною як\(y\) вісь в обох, тоді одна пов'язана з іншою масштабуванням\(x^{\prime}=\lambda x\). Щоб ідентифікувати конічний конус, діагоналізуємо форму, і дивимося на коефіцієнти\(x^{2}, y^{2}\). Якщо вони один і той же знак, то це еліпс, навпаки, гіпербола. Парабола - винятковий випадок, коли один дорівнює нулю, інший прирівнюється до лінійного члена. Повчально побачити, як відразу з цієї конструкції випливає важлива властивість еліпса.

    clipboard_e21979780daa3a45c57da4d65a662f0a9.png

    Коса площина на малюнку вирізає конус в еліпс. Дві сфери всередині конуса, що мають кола зіткнення з конусом\(C, C^{\prime}\), підігнані за розміром так, щоб вони обидва просто торкалися площини, в точках\(F, F^{\prime}\) відповідно.

    Легко помітити, що такі сфери існують, наприклад, починаються з крихітної сфери всередині конуса біля точки, і поступово надувають її, зберігаючи сферичної і торкаючись конуса, поки він не торкнеться площини. Тепер розглянемо точку\(P\) на еліпсі. Намалюйте дві лінії: одну від\(P\) до точки,\(F\) де торкається маленька сфера, інша вгору по конусу, спрямовуючись на вершину, але зупиняючись в точці перетину з колом\(C\). Обидві ці лінії є дотичними до маленької сфери, і тому мають однакову довжину. (Дотичні до сфери з точки поза нею утворюють конус, всі вони однакової довжини.) Тепер повторіть с\(F^{\prime}, C^{\prime}\). Ми знаходимо\(P F+P F^{\prime}=P C+P C^{\prime}\), що відстані до кіл вимірюються вздовж лінії через вершину. Таким чином\(P F+P F^{\prime}=C C^{\prime} \text { in the obvious notation }-F, F^{\prime}\), очевидно, осередки еліпса.

    • Was this article helpful?