14.1: Попередні етапи - конічні перерізи
- Page ID
- 75139
Еліпси, параболи та гіперболи можуть бути створені шляхом розрізання конуса площиною (див. діаграми, з Вікісховища). Беручи конус бути\(x^{2}+y^{2}=z^{2}\), і підставляючи z в цьому рівнянні з плоского\(\vec{r} \cdot \vec{p}=p, \text { where } \vec{p}\) рівняння вектор, перпендикулярний площині від початку до площини, дає квадратне рівняння в\(x,y\). Це перетворюється на квадратне рівняння в площині - візьміть лінію перетину січної площини з\(x,y\) площиною як\(y\) вісь в обох, тоді одна пов'язана з іншою масштабуванням\(x^{\prime}=\lambda x\). Щоб ідентифікувати конічний конус, діагоналізуємо форму, і дивимося на коефіцієнти\(x^{2}, y^{2}\). Якщо вони один і той же знак, то це еліпс, навпаки, гіпербола. Парабола - винятковий випадок, коли один дорівнює нулю, інший прирівнюється до лінійного члена. Повчально побачити, як відразу з цієї конструкції випливає важлива властивість еліпса.
Коса площина на малюнку вирізає конус в еліпс. Дві сфери всередині конуса, що мають кола зіткнення з конусом\(C, C^{\prime}\), підігнані за розміром так, щоб вони обидва просто торкалися площини, в точках\(F, F^{\prime}\) відповідно.
Легко помітити, що такі сфери існують, наприклад, починаються з крихітної сфери всередині конуса біля точки, і поступово надувають її, зберігаючи сферичної і торкаючись конуса, поки він не торкнеться площини. Тепер розглянемо точку\(P\) на еліпсі. Намалюйте дві лінії: одну від\(P\) до точки,\(F\) де торкається маленька сфера, інша вгору по конусу, спрямовуючись на вершину, але зупиняючись в точці перетину з колом\(C\). Обидві ці лінії є дотичними до маленької сфери, і тому мають однакову довжину. (Дотичні до сфери з точки поза нею утворюють конус, всі вони однакової довжини.) Тепер повторіть с\(F^{\prime}, C^{\prime}\). Ми знаходимо\(P F+P F^{\prime}=P C+P C^{\prime}\), що відстані до кіл вимірюються вздовж лінії через вершину. Таким чином\(P F+P F^{\prime}=C C^{\prime} \text { in the obvious notation }-F, F^{\prime}\), очевидно, осередки еліпса.