7.8: Рівняння Шредінгера

Якщо поведінку електрона можна описати так, ніби це хвиля, то вона імовірно може бути описана хвильовим рівнянням:

\[v^2 \nabla^2 \Psi = \ddot \Psi . \label{7.8.1}\]

\(v\)Ось швидкість електрона, а точніше, групова швидкість його хвильового прояву.

Періодичні\(\Psi\) розв'язки для задаються\(\ddot \Psi = - \omega^2 \Psi\), а, оскільки\(\omega = kv\), Рівняння\(\ref{7.8.1}\) можна записати у вигляді

\[\nabla^2 \Psi + k^2 \Psi = 0 . \label{7.8.2}\]

Загальна енергія\(E\) - це сума кінетичної і потенційної енергій\(T + V\), а кінетична енергія -\(p^2 /(2m)\). Це, звичайно, нерелятивістська форма для кінетичної енергії, і ви можете судити самі з розрахунку, який ви зробили безпосередньо перед тим, як ми прийшли до Рівняння 7.4.5, наскільки це виправдано або не виправдано. Якщо замість\(p\) вас підставити вираз де Бройля у вигляді Рівняння 7.7.3, ви прийдете до рівняння Шредінгера:

\[\nabla^2 \Psi + \frac{2m}{\hbar^2}(E-V) \Psi = 0 \label{7.8.3}\]

Щоб описати поведінку частинки в будь-якій конкретній ситуації, в якій вона опиняється - наприклад, якщо вона виявилася обмеженою внутрішньою частиною коробки, або прикріпленою до кінця пружини, або кружляє навколо протона - ми повинні поставити в Рівняння, як\(V\) залежить від координат. Стаціонарні стани атома, тобто його енергетичні рівні, описуються стоячими, а не прогресивними хвилями, і ми бачили, що стоячі хвилі описуються як добуток функції простору і функції часу:

\[\Psi ( x,y,z;t) = \psi (x,y,z). \chi (t). \label{7.8.4}\]

Якщо ви покладете це в рівняння\(\ref{7.8.3}\) (все, що вам потрібно зробити, це відзначити, що\(\nabla^2 \Psi = \chi \nabla^2 \psi\) і це\(\Psi = \psi \chi\)), ви виявите, що незалежна від часу частина Рівняння Шредінгера задовольняє

\[\nabla^2 \psi + \frac{2m}{\hbar^2} (E-V) \psi = 0. \label{7.8.5}\]

Коли ми маємо справу з ситуаціями, що змінюються в часі - наприклад, коли атом взаємодіє з електромагнітною хвилею (світлом), ми повинні використовувати повне рівняння Шредінгера\(\ref{7.8.3}\). При роботі зі стаціонарними станами (тобто енергетичними рівнями) ми маємо справу з незалежним від часу рівнянням\(\ref{7.8.5}\).

Припустимо на мить, що ми обговорюємо не щось складне на кшталт атома водню, а просто частинку, що стабільно рухається вздовж\(x\) -осі з імпульсом\(p_x\). Спробуємо описати його як прогресивну хвильову функцію форми

\[\Psi = \text{constant} \times e^{i(kx - \omega t)}. \label{7.8.6}\]

(Це просто стислий спосіб написання\(a \cos(kx − \omega t)+ b \sin(kx − \omega t)\).) Це означає, що

\[\frac{\partial \Psi}{\partial t} = -i \omega \Psi \quad \text{and} \quad \frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2} = -k^2 . \label{7.8.7}\]

Тепер давайте використаємо,\(E = h \nu = \hbar \omega\) а\(p = h / \lambda = \hbar k\) також (нерелятивістський, примітка) зв'язок між кінетичною енергією та імпульсом\(E = p^2 / (2m)\), і ми дійдемо до

\[i \hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = - \frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2 \Psi}{\partial t^2} + V(x,t) \Psi . \label{7.8.8}\]

У трьох вимірах (тобто якщо частка не обмежувалася\(x\) віссю, але рухалася в певному довільному напрямку в просторі), це виглядає так:

\[i \hbar \dot \Psi = - \frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \Psi + V(x,y,z;t) \Psi . \label{7.8.9}\]

Це називається рівнянням, залежним від часу Шредінгера.