7.8: Рівняння Шредінгера

Якщо поведінку електрона можна описати так, ніби це хвиля, то вона імовірно може бути описана хвильовим рівнянням:

$$v^2 \nabla^2 \Psi = \ddot \Psi . \label{7.8.1}$$

$v$Ось швидкість електрона, а точніше, групова швидкість його хвильового прояву.

Періодичні$\Psi$ розв'язки для задаються$\ddot \Psi = - \omega^2 \Psi$, а, оскільки$\omega = kv$, Рівняння$\ref{7.8.1}$ можна записати у вигляді

$$\nabla^2 \Psi + k^2 \Psi = 0 . \label{7.8.2}$$

Загальна енергія$E$ - це сума кінетичної і потенційної енергій$T + V$, а кінетична енергія -$p^2 /(2m)$. Це, звичайно, нерелятивістська форма для кінетичної енергії, і ви можете судити самі з розрахунку, який ви зробили безпосередньо перед тим, як ми прийшли до Рівняння 7.4.5, наскільки це виправдано або не виправдано. Якщо замість$p$ вас підставити вираз де Бройля у вигляді Рівняння 7.7.3, ви прийдете до рівняння Шредінгера:

$$\nabla^2 \Psi + \frac{2m}{\hbar^2}(E-V) \Psi = 0 \label{7.8.3}$$

Щоб описати поведінку частинки в будь-якій конкретній ситуації, в якій вона опиняється - наприклад, якщо вона виявилася обмеженою внутрішньою частиною коробки, або прикріпленою до кінця пружини, або кружляє навколо протона - ми повинні поставити в Рівняння, як$V$ залежить від координат. Стаціонарні стани атома, тобто його енергетичні рівні, описуються стоячими, а не прогресивними хвилями, і ми бачили, що стоячі хвилі описуються як добуток функції простору і функції часу:

$$\Psi ( x,y,z;t) = \psi (x,y,z). \chi (t). \label{7.8.4}$$

Якщо ви покладете це в рівняння$\ref{7.8.3}$ (все, що вам потрібно зробити, це відзначити, що$\nabla^2 \Psi = \chi \nabla^2 \psi$ і це$\Psi = \psi \chi$), ви виявите, що незалежна від часу частина Рівняння Шредінгера задовольняє

$$\nabla^2 \psi + \frac{2m}{\hbar^2} (E-V) \psi = 0. \label{7.8.5}$$

Коли ми маємо справу з ситуаціями, що змінюються в часі - наприклад, коли атом взаємодіє з електромагнітною хвилею (світлом), ми повинні використовувати повне рівняння Шредінгера$\ref{7.8.3}$. При роботі зі стаціонарними станами (тобто енергетичними рівнями) ми маємо справу з незалежним від часу рівнянням$\ref{7.8.5}$.

Припустимо на мить, що ми обговорюємо не щось складне на кшталт атома водню, а просто частинку, що стабільно рухається вздовж$x$ -осі з імпульсом$p_x$. Спробуємо описати його як прогресивну хвильову функцію форми

$$\Psi = \text{constant} \times e^{i(kx - \omega t)}. \label{7.8.6}$$

(Це просто стислий спосіб написання$a \cos(kx − \omega t)+ b \sin(kx − \omega t)$.) Це означає, що

$$\frac{\partial \Psi}{\partial t} = -i \omega \Psi \quad \text{and} \quad \frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2} = -k^2 . \label{7.8.7}$$

Тепер давайте використаємо,$E = h \nu = \hbar \omega$ а$p = h / \lambda = \hbar k$ також (нерелятивістський, примітка) зв'язок між кінетичною енергією та імпульсом$E = p^2 / (2m)$, і ми дійдемо до

$$i \hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = - \frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2 \Psi}{\partial t^2} + V(x,t) \Psi . \label{7.8.8}$$

У трьох вимірах (тобто якщо частка не обмежувалася$x$ віссю, але рухалася в певному довільному напрямку в просторі), це виглядає так:

$$i \hbar \dot \Psi = - \frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \Psi + V(x,y,z;t) \Psi . \label{7.8.9}$$

Це називається рівнянням, залежним від часу Шредінгера.