Частинка в коробці
- Page ID
- 24734
Навички для розвитку
- Вивести рівняння Шредінгера (необов'язково)
- Вербалізувати розв'язок Рівняння Шредінгера (необов'язково)
Багато вступних підручників з хімії вводять рівняння Шредінгера, але студенти не розуміють, що це означає. Цей розділ необов'язковий; якщо ви хочете знати, звідки беруться орбіталі, він може допомогти вам зрозуміти. Простіше буде слідувати цьому розділу, якщо ви знаєте трохи числення (в основному, що таке похідна).
Рівняння Шредінгера є відправною точкою для опису рухів електронів як хвиль. Де Брольє припустив, що їх стабільні «орбіти» в моделі Бора були стоячими хвилями, аналогічними тим, що в гітарній струні. Шредінгер розширив цю теорію за допомогою хвильового рівняння та хвильової функції. Замість кругових орбіт хвилі Шредінгера були 3D і займали весь простір атома, більше нагадуючи вібрацію повітря в сферичній флейті, ніж вібрацію круглої струни. Хвильова функція ψ (x, y, z, t) описує амплітуду вібрації електронів в кожній точці простору і часу. Як не дивно, Шредінгер, здається, запропонував хвильову функцію, не повністю розуміючи, що це означає, але це спрацювало! Тут ми опишемо незалежне від часу рівняння Шредінгера для простоти, яке описує стоячі хвилі. Ми також розглянемо лише 1-мірну систему, таку як частка, яка рухається лише лінійно, також для простоти. Таким чином, знайдемо ψ (x) для дуже простої ситуації.
Шредінгер запропонував, що стояча хвиля описується хвильовою функцією ψ, коли вона підходить до наступного диференціального рівняння
\[H\Psi = E\Psi\]
де H - гамільтоновий оператор, який знаходить загальну енергію системи Е. (Цей підхід використовує лінійну алгебру концепції власної функції та свого стану, але не хвилюйтеся, якщо ви не знаєте, що це таке.) Кінетична енергія KE задається
\[KE = \frac{p^{2}}{2m}\]
де p - імпульс (р = мв). Для частинки, що рухається в 1D (вздовж х) Шредінгер припустив, що допустима загальна форма ψ дорівнює
\[\Psi (x,\; t) = Ae^{\frac{i(px\; -\; Et)}{\hbar}}\]
де A - константа, а i - уявне число (i 2 = -1). (Це походить від рівнянь E = hν та співвідношення де Броля λ = h/p Ці рівняння з'єднують енергію з часом і відстань до імпульсу через постійну Планка. Це також величини, які взаємно обмежені принципом невизначеності.) Якщо це вірно, похідна хвильової функції по відношенню до x дорівнює
\[\frac{d\Psi}{dx}=\frac{ip}{\hbar}\Psi\]
Зверніть увагу, що це ніби як рівняння Hψ = Eψ в тому, що ми отримуємо вихідну хвильову функцію, помножену на якусь важливу величину, як енергія або імпульс. Отже, оператор імпульсу p (як гамільтоновий оператор, який дає енергію) дає імпульс p, і може бути записаний так:
\[\textbf{p}\Psi(x,\; t)=-i\hbar \frac{d\Psi}{dx}\]
Ми можемо записати рівняння Шредінгера, використовуючи цей гамільтоніан (який дає загальну енергію, KE + PE)
\[H\Psi (x)=-\frac{\hbar^{2}}{2m} \frac{d^{2}\Psi}{dx^{2}}+V(x)\Psi (x)=E\Psi (x)\]
Потенційна енергія задається V (x), що якраз і залежить від положення. Кінетична енергія обчислюється за допомогою рівняння вище, використовуючи квадрат оператора імпульсу (таким чином, перша похідна в операторі імпульсу стає другою похідною при квадраті оператора). Тепер, якщо ми виберемо функцію V (x), ми можемо знайти хвильові функції, які підходять! Ми будемо використовувати простий приклад: частка в коробці (в 1-D). Потенціал дорівнює 0 всередині коробки і нескінченний поза коробкою. Таким чином, ми будемо просто знати, що частка повинна бути всередині коробки, але використовувати V = 0. Тоді наше рівняння Шредінгера виглядає так
\[H\Psi (x)=-\frac{\hbar^{2}}{2m} \frac{d^{2}\Psi}{dx^{2}}=E\Psi (x)\]
або в основному друга похідна від ψ - це постійна раз ψ. Існують різні форми рішення, але ми просто виберемо просту.
\[\frac{d}{dx}\; sin(ax)=a\; cos(ax)\]
\[\frac{d}{dx}\; cos(ax)=-a\; sin(ax)\]
Таким чином,
\[\frac{d^{2}}{dx^{2}}\; sin(ax)=-a^{2}\; sin(ax)\]
Таким чином, ми можемо вибрати гріх (сокиру) або cos (ax) або суму їх для хвильової функції:
\[\Psi (x) = sin(ax) + cos(bx)\]
Поки що немає квантування! Коефіцієнт а може мати будь-яке значення. Але так само, як струна на гітарі, амплітуда ψ повинна бути 0 по краях коробки. Якщо ми просто використовуємо ψ (x) = sin (ax), то якщо коробка від x = 0 до x = L, нам потрібно мати ціле число половинних довжин хвиль у коробці. Так
\[a=\frac{n\pi}{L}\]
так що
\[\Psi (0) = \Psi (L)=0\]
Підводячи підсумок,
\[\Psi = sin \left(\dfrac{n\pi x}{L}\right)\]
є розв'язком рівняння Шредінгера для системи 1-D частинок в коробці. Спробуйте покласти це і подивитися, що таке енергія! Ви повинні отримати
\[E_{n}=\frac{n^{2}\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}\]
Існує нескінченна кількість розв'язків, або хвильових функцій, які задовольняють рівнянню Шредінгера, що відповідає n = 1, 2, 3... і будь-яка сума цих хвильових функцій також є розв'язком. Що вони означають? Амплітуда хвилі частинки задається ψ. Наступний розділ більш детально пояснює значення хвильової функції, тепер, коли ви ознайомилися з математикою.