2: Класичне хвильове рівняння
- Page ID
- 27012
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
Мета цього розділу полягає в тому, щоб дати досить короткий огляд хвиль у пружних середовищах різної форми - починаючи з натягнутої нитки, потім переходячи до еластичного аркуша, барабанної головки, спочатку прямокутної форми, потім круглої, і, нарешті, розглядаючи пружні хвилі на сферичній поверхні, як повітряна куля. Причина, по якій ми дивимося на цей матеріал тут, полягає в тому, що це «реальні хвилі», сподіваємось, не надто важко думати, і все ж математично вони є розв'язками того самого хвильового рівняння, яким підкоряється хвильова функція Шредінгера в різних контекстах, тому має бути корисним у візуалізації рішень цього рівняння, в зокрема для атома водню.
- 2.1: Одновимірне хвильове рівняння
- Математичний опис одновимірних хвиль можна висловити у вигляді розв'язків «хвильового рівняння». Не дивно, що не всі можливі хвилі задовольнять хвильовому рівнянню для конкретної системи, оскільки хвильові рішення повинні задовольняти як початковим умовам, так і граничним умовам. Це призводить до підмножини можливих рішень. У квантовому світі це означає, що граничні умови так чи інакше відповідають за явища квантування в главі 1.
- 2.2: Метод поділу змінних
- Метод поділу змінних є однією з найбільш широко використовуваних методик розв'язання рівнянь з частинними похідними і заснований на припущенні, що рішення рівняння роздільне, тобто кінцевий розв'язок може бути представлений у вигляді добутку декількох функцій, кожна з яких залежить тільки від єдина незалежна змінна. Якщо це припущення невірно, то явні порушення математичних принципів будуть очевидні з аналізу.
- 2.3: Коливальні розв'язки диференціальних рівнянь
- Характеристика просторової та часової складових хвилі вимагає розв'язання однорідних лінійних диференціальних рівнянь другого порядку з постійними коефіцієнтами. Це призводить до коливальних розв'язків (в просторі і часі). Ці рішення вирішуються за допомогою певних граничних умов, є стоячими хвилями.
- 2.4: Загальне рішення - це суперпозиція нормальних режимів
- Оскільки хвильове рівняння є лінійним диференціальним рівнянням, принцип суперпозиції тримається, а комбінація двох розв'язків також є рішенням.
- 2.5: Вібраційна мембрана
- Приємно виявити, що ці хвилі у вищих вимірах задовольняють хвильові рівняння, які є дуже природним продовженням того, який ми знайшли для рядка, і - дуже важливе - вони також задовольняють Принцип суперпозиції, іншими словами, якщо хвилі зустрічаються, ви просто додаєте внесок від кожної хвилі. У наступних двох абзацах ми заглибимося більш детально, але цей Принцип суперпозиції є вирішальним уроком.
- 2.E: Класичне хвильове рівняння (вправи)
- Це домашні вправи, які супроводжують главу 2 Маккуаррі та Саймона «Фізична хімія: молекулярний підхід» TextMap.